Lista 2 GA

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Profa. Ma. Eliana Contharteze Grigoletto
LISTA 2 de Geometria Analítica e Álgebra Linear
1. Desenhe no plano R2 os seguintes pontos: A = (3, 1), B = (0, 2), C = (−3,−2),D = (4, 3),
E = (4,−3), F = (−4,−3), G = (4, 0), H = (0,−1), I = (0, 0), J = (
√
2, 1), K = (π, 1) e
L =
(
1
2
, 3
4
)
.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
2. Desenhe no plano os triângulos cujos vértices são:
(a) (0, 4), (2,−1) e (5, 1). (b) (4, 4), (−2, 3) e (2,−3).
3. O gráfico1 da função f(x) = 3x + 1 é a reta que passa pelos pontos (1, 4) e (−1,−2)
apresentado na figura abaixo:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Considere x ∈ R e desenhe no plano R2 o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) = 3x+ 2 (b) f(x) = 3x− 2 (c) f(x) = 3
2
x+ 1 (d) f(x) = 2x
1Dada uma função real f na variável x, uma equação da forma y = f(x) estabelece uma relação entre os
valores de x e y. Em termos matemáticos, o gráfico de f é o conjunto G(f) =
{
(x, y) ∈ R2/y = f(x)
}
.
4. Determine a função cujo gráfico é a reta que passa pelos pontos:
(a) (−3, 2) e (2, 1) (b) (1, 0) e (0,−4)
5. Dados os pontos A = (0, 1) e B = (1, 2), determine e esboce no plano o segmento orientado
(vetor) que parte de A e termina em B.
6. Desenhe no espaço R3 os seguintes pontos: A = (1,−1, 3), B = (1, 0, 2), C = (−3, 0,−2),
D = (4, 3, 0), E = (1, 4,−3), F = (−4, 0,−3), G = (4, 0, 1), H = (0,−1, 0), I = (0, 0, 0),
J = (
√
2, 1,−1), K = (2, π, 1) e L =
(
1
2
, 3
4
, 0
)
.
7. Considere os vetores u, v e w apresentados abaixo:
Esboce os vetores dados por:
(a) u+ v (b) u− 2v (c) u+ v + w (d) 1
2
u− w
8. Sejam u = (2,−7), v = (1, 6) e w = (
√
3,−π) vetores do plano. Calcule os vetores:
(a) u+ 2v (b) u+ v − w (c) 3u− 1
π
w (d) 2u− 3v + (0, 32).
9. Dado um vetor u = (x, y) ∈ R2, verifique que ele pode ser escrito como u = x(1, 0)+y(0, 1).
Nesse caso, dizemos que u é escrito como uma combinação linear dos vetores (1, 0) e (0, 1).
10. Determine escalares α e β tais que (1, 2) = α(1, 1) + β(−1, 1). Nesse caso, dizemos que
(1, 2) representa uma combinação linear dos vetores (1, 1) e (−1, 1).
11. Dados os vetores u = (1, 1) e v = (−1,−1), existem escalares α, β ∈ R tais que
αu+ βv = (1, 0)? Justifique sua resposta.
12. Verifique que a reta que passa pelos pontos (3, 0) e (5, 5) pode ser expressa como o
conjunto {(x, y) ∈ R2/(x, y) = λu+ v, λ ∈ R}, onde u = (2, 5) e v = (3, 0) são vetores do
plano.
13. Dados os vetores u = (2,−3, 3), v = (1, 1, 5) e w = (1, 3,−4), calcule:
(a) u+ 3w (b) (u− v)− w (c) v + 2 (v − u) (d) 2w − 3 (u− v)
14. Dados os pontos A = (0, 1,−1) e B = (1, 2,−1), determine e esboce no espaço o segmento
orientado (vetor) que parte de A e termina em B.
15. Dados os pontos u1 = (1,−2, 3), u2 = (2, 1,−4) e u3 = (−1,−3, 1), determine as
componentes do vetor v tal que (u2 − u1) + (v − u3) = 0.
16. Dados os vetores u1 = (2, 3,−1), u2 = (1,−1, 1) e u3 = (−3, 4, 0), encontre os números
reais a1, a2 e a3 tais que a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 = (−2, 13,−5).
17. Dados os pontos A = (1,−1, 3) e B = (3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o
segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique?
18. Dados pontos arbitrários P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) no espaço, determine uma
expressão que forneça as coordenadas do ponto médio M do segmento de reta P1P2.
19. Calcule o produto interno (produto escalar) 〈~u,~v〉 dos seguintes vetores do plano:
(a) u = (1, 1) e v = (−1, 1) (b) u = (1, 1) e v = (−1,−1)
(c) u =
(√
2
2
,
√
2
2
)
e v =
(√
2
2
, 0
)
(d) u =
(√
3
2
,
√
1
2
)
e v =
(√
3
3
, 4
)
20. Calcule o produto interno (produto escalar) 〈~u,~v〉 dos seguintes vetores do espaço:
(a) u = (−1,−1,−1) e v = (−3,−3,−2) (b) u = (−2, 2, 2) e v = (−3, 0, 2)
(c) u = (−2, 1, 2) e v = (0, 0,−1) (d) u = (1, 0,−1) e v = (2,−3, 0)
21. Calcule o produto vetorial ~u× ~v dos seguintes vetores do espaço:
(a) u = (−1,−1,−1) e v = (−3,−3,−2) (b) u = (−2, 2, 2) e v = (−3, 0, 2)
(c) u = (−2, 1, 2) e v = (0, 0,−1) (d) u = (1, 0,−1) e v = (2,−3, 0)
22. A área do triângulo ABC é
√
6. Sabendo-se que A = (2, 1, 0), B = (−1, 2, 1), e que o
vértice C está no eixo Y , encontre as coordenadas de C.
23. Se u, v e w são vetores no espaço, u 6= 0 e u× v = 0 = u× w, então v × w = 0?
24. Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u = (3,−1, 4), v =
(2, 0, 1) e w = (−2, 1, 5).
25. Calcule o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
v1 = (0,−1, 2), v2 = (−4, 2,−1) e v3 = (3,m,−2) seja 33.
26. Calcule a norma dos seguintes vetores:
(a) u = (1, 3, 0) (b) u = (1,−1, 2) (c) u = (−1, 2) (d) u = (0, 1)
27. Encontre as equações vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos seguintes
pontos:
(a) A = (3, 5, 1) e B = (−2, 3, 2) (b) A = (4, 5, 5) e B = (−2, 3,−7)
(c) A = (1, 2) e B = (3,−2)
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