6 - Análise Combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Considere os seguintes problemas: 
■ De quantos modos distintos oito pessoas podem se sentar lado a lado em uma fila de 
cinema? 
■ Quantas placas de automóveis podem ser formadas sem repetição de letras e de 
algarismos? 
■ De quantos modos distintos pode ocorrer o resultado de um sorteio da mega-sena? 
 
Princípio Fundamental da Contagem (PFC) 
 
Exemplos 
1. Um quiosque de praia em Florianópolis lançou a seguinte promoção durante uma 
temporada de verão: “Combinado de sanduiche natural e suco a R$ 8,00”. Nesse 
combinado, constam quatro opções de sanduiche (frango, atum, vegetariano e queijo 
branco) e três opções de suco (laranja, uva e morango). De quantas formas distintas uma 
pessoa pode escolher o seu combinado? 
2. Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Quais são as sequências possíveis 
de faces obtidas nesses lançamentos? 
 
Em resumo 
Se um evento A tem x possibilidades (distintas) de ocorrer e um evento B tem y possibilidades 
distintas de ocorrer, então, o total de possibilidades de ocorrerem A e B simultaneamente é xy. 
 
Exemplos 
1. De quantas maneiras diferentes se pode vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 
calças, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos? 
2. Considerando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, responda: 
a) Quantos números de três algarismos podemos formar? 
b) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 
c) Quantos números impares de três algarismos distintos podemos formar? 
 
Fatorial de um número 
 
𝒏! = 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏) ∙ (𝒏 − 𝟐) ∙ … ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 
 
Exemplos: 3!, 6!, 8!, 11!. 
𝒏! = 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏)! 
 
Observação: 
1! = 1 
0! = 1 
 
Simplificando expressões com fatorial: 
a) 
7!
4!
 
b) 
20!
18!
 
c) 
3!5!
4!6!
 
d) 
𝑛!
(𝑛−2)!
 
e) 
48! + 49!
50!
 
 
Permutação simples 
 
■ Sinônimo de trocar, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção 
de misturar. 
■ Sejam 𝑛 elementos distintos e 𝑃𝑛 o número de permutações possíveis desses 𝑛 elementos, 
temos que: 
 
𝑷𝒏 = 𝒏! 
 
Exemplos: 
1. Quantos são os anagramas da palavra amor? 
2. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas podem sentar-se num banco de 5 lugares 
para tirar uma foto? 
3. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, 
ficando pai e mãe sempre juntos, em qualquer ordem? 
 
Permutações com elementos repetidos 
 
𝑷𝒏
(𝒏,𝒏𝟏,𝒏𝟐,…,𝒏𝒕) =
𝒏!
𝒏𝟏! 𝒏𝟐! … 𝒏𝒕!
 
 
Exemplos: 
1. Quantos anagramas são formados pela palavra banana? 
2. Um casal tem três meninos e duas meninas. De quantos modos distintos pode ter 
ocorrido a ordem dos nascimentos das crianças? 
3. Sabendo que o volante da mega-sena contém 60 números, de 1 a 60, e que o resultado 
de um sorteio e formado por seis números sorteados entre os 60, calcule de quantos 
modos distintos pode ocorrer o resultado de um sorteio. 
 
Arranjos 
 
Arranjos simples de um conjunto de n elementos é qualquer agrupamento ordenado formado 
por p elementos distintos (p ≤ n) escolhidos entre os n elementos do conjunto. 
 
An, p = 
𝒏!
(𝒏−𝒑)!
 
 
Onde: 
“An” representa o número de arranjos possíveis. 
“n” representa o número de elementos distintos 
“p” representa o número de elementos a serem ordenados 
 
Exemplos: 
1. Dado o conjunto das vogais V = {a, e, i, o, u}, determine a quantidade de arranjos que 
podemos formar com três elementos de V. 
2. A senha de um cartão magnético bancário, usado para transações financeiras, é uma 
sequência de duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguida por uma sequência 
de três algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas? 
 
Combinações 
 
Chama-se combinação de um conjunto de n elementos qualquer agrupamento não ordenado 
formado por p elementos distintos (p ≤ n) escolhidos entre os n elementos do conjunto. 
 
Cn, p = 
𝒏!
(𝒏−𝒑)! .𝒑!
 = n! 
 
Onde: 
“Cn” o número de combinações possíveis 
“n” representa o número de elementos distintos 
“p” o número de elementos a serem ordenados 
 
Exemplos: 
1. Em uma academia trabalham sete professores de musculação e dez de ginástica 
aeróbica. Quantas equipes de dois professores de musculação e dois de ginástica 
aeróbica podem ser formadas? 
2. No jogo de truco paulista, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas. De 
quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas cartas?