Compilado_ Calculo3

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Aula 1 
1a Questão 
 
Determine a parametrização para a função f(x) = x 2 , utilizando a parametrização natural. 
 
 
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( t,t) 
 
(t, log t) 
 
(t, t 2) 
 
(a sent , a cos t) 
 
 2a Questão 
 
 Seja a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero. 
 
 
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(10,9) 
 
(0,3) 
 
(4,4) 
 
(9,4) 
 
 3a Questão 
 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
 
 
f (t) = (t, t -4) 
 
f (t) = (t, t2 -4) 
 
f (t) = (t, t3 - 5) 
 
f (t) = (t, t2) 
 
f (t) = (t, t3 -4) 
 
 4a Questão 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 
(- cos t, sen t , 1) 
 
(- sen t, cos t , 1) 
 
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(sen t, cos t , 1) 
 
(- sen t, cos t , t) 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
4xy - 34x = 0 
 
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3y + 2x2 -10 = 0 
 
3y + 2x - 10 = 0 
 
Não representa nenhuma curva. 
 
 
 6a Questão 
 
Seja a função σ(t) 
contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a cuva C no 
R3 para cada t ∈ I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈ 
C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t 
é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
 7a Questão 
 
Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9. 
 
 
(t) = (2t ,6t+9). 
 
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(t) = (t ,t). 
 
(t) = (t ,6t+9). 
 
(t) = (t ,t+9). 
 
 8a Questão 
 
Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) 
que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também 
que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é 
proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do 
movimento em P = (0,0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 2 
2a Questão 
 
Sabendo que representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada 
instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 7a Questão 
 
Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função 
(4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de uma partícula. 
 
 
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V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) 
 
V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
3a Questão 
 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 
(2t , cos t, 3t2) 
 
(2t , - sen t, 3t2) 
 
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(t , sen t, 3t2) 
 
(2 , - sen t, t2) 
 
 
 3a Questão 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
(2,sen 1, 3) 
 
(2,0, 3) 
 
(2,cos 4, 5) 
 
(2,cos 2, 3) 
 
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6a Questão 
 
Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de uma estrada 
cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3. 
 
 
(2)1/2(e3 -1) 
 
 2(e3 -1) 
 
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e-1 
 
e 
 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
3a Questão 
 
Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
x = 3t+1 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 
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x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
 4a Questão 
 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 
Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 
 5a Questão 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos 
por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Observandol o tempo 
que cada carro chega ao ponto P conclua quem chega primeiro. 
 
 
O carro R2 chega primeiro de que o carro R1 
 
O carro R1 chega primeiro de que o carro R2 
 
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Os dois carros nao conseguem chegar 
 
Os dois carros chegam juntos 
 
 6a Questão 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos 
por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de 
velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos carros 
será multado e se for o caso qual deles será multado. 
 
 
Nenhum dos dois carros será multado 
 
O carro R1 será multado. 
 
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O carro R2 será multado. 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
Aula 4 
1a Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > 
como vetor normal? 
 
 
x + y + z + 3 = 0 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
x - y + 3 = 0 
 
x - y + z = 0 
 
y - z + 3 = 0 
 
 2a Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
 3a Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 > 
como vetor normal? 
 
 
6x + 3y + 2z + 34 = 0 
 
3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 
3x - 2y - 6z = 0 
 
 4a Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
x + 2y + 3z - 9 = 0 
 
6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 5a Questão 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção 
com o eixo z. 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
 6a Questão 
 
Seja 4y + 2z - 12= 0. Esta equação define 
 
 
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É uma esfera 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
 
É um cilindro reto 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). 
 
Aula 5 
3a Questão 
 
Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? 
 
 
9x2 - 4z2 - 36y = 0 
 
4x2 + 9y2 + z2 = 36 
 
x2 = y2 - z2 
 
x2 + 16z2 = 4y2 - 16 
 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 
 
 4a Questão 
 
Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 
 
 
Parabola 
 
Cone 
 
elipsoide 
 
parabolóide 
 
esfera 
 
 5a Questão 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual 
a zero. 
 
 
(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
(a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
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(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 6a Questão 
 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos afirma 
que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo 
z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do 
eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z 
é um cone. 
 
 
III é verdadeira. I e II falsas 
 
I, II, III são falsas 
 
I, II e III são verdadeiras 
 
II é verdadeira. I e III são falsas 
 
I é verdadeira . II e III são falsas 
 
 7a Questão 
 
Determine o traço do elipsóide no plano xy 
 
 
Plano xy - Elipse 
 
Plano xy - vazio 
 
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Plano xy - reta 
 
Plano xy - plano 
 
1a Questão 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / 
b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / 
b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) -
(z2 / c2)= 1 
 
 
I e II sao verdadeiras e III falsa. 
 
I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
I, II e III são falsas 
 
I e III sao falsas e II verdadeira 
 
I, II e III sao verdadeiras 
 
 
 
Aula 6 
a Questão 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
O limite existe e tem valor 5 
 
O limite não existe 
 
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O limite existe e tem valor 4 
 
O limite existe e tem valor zero 
 7a Questão 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
3/6 
 
7/9 
 
3 
 
5/6 
 
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6a Questão 
 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
 
 
O limite será 0. 
 
O limite será 5x 
 
O limite será 8. 
 
O limite será 8xy. 
 
O limite será 5. 
 
 
 8a Questão 
 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
O limite será 0. 
 
O limite será 14. 
 
O limite será xy. 
 
O limite será 14xy. 
 
O limite será 1. 
 
 4a Questão 
 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
 
 
tende a 1 
 
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tende a x 
 
tende a 9 
 
tende a zero 
 
2a Questão 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
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{(x,y)  2| x+y ≥ 2} 
 
{(x,y)  2| x+y2 ≥ 2} 
 
 {(x,y)  2| x+y = 2} 
 
{(x,y)  3| x+y ≥ - 2} 
 
 
 
5a Questão 
 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o 
capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são 
 
 
 
 
Aula 7 
a Questão 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). 
 
 
o Limite será 5. 
 
o Limite será 0. 
 
o Limite será 9. 
 
o Limite será 12. 
 
o Limite será 1 
 
 3a Questão 
 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-
1,2). 
 
 
O limite será 0. 
 
O limite será 7. 
 
O limite será 9. 
 
O limite será 2. 
 
O limite será 3. 
 
 
2a Questão 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t
2) com t maior ou igual a 
zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 
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v(t) = 20 
 
v(t) =30 
 
v(t) = 1 
 
v(t) = 50 
 
 
 4a Questão 
 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o 
limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) podemos afirmar que: 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 5a Questão 
 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
A parametrização de uma curva não é única. 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
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Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
 
7a Questão 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição 
analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
 
 
A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
A função não é harmônica. 
 
A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
 8a Questão 
 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
 
 
fx = 2y e fy = 2x 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4x 
 
fx = 2y e fy = 2x - 4 
 
fx = 2x e fy = 2xy 
 
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Aula 8 
 
 
 
 
 
 
Aula 9 
 
1a Questão 
 
Dada a função f(x,y) = 1/(xy) que representa uma superfície S no R 3. Determine os pontos dessa 
superfície S mais próximos de (0,0,0). 
 
 
Os pontos são: (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 
 
Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 
 
Os pontos são: (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 
 
Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,1,-1) 
 
Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,-1,1) 
 
 2a Questão 
 
Determine a curvatura da função y = x2 na origem 
 
 
55 
 
4 
 
5 
 
2 
 
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 3a Questão 
 
Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 1 + x2 + y2, analise a função e encontre seu ponto crítico. 
 
 
O ponto crítico será (0,1). 
 
O ponto crítico será (1,2). 
 
O ponto crítico será (0,0). 
 
O ponto crítico será (1,0). 
 
O ponto crítico será (2,1). 
 
 4a Questão 
 
Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 2 x3 + y3 - 3x2 - 3y, analise a função e encontre o ponto crítico 
da função. 
 
 
Temos como pontos críticos: (0,1), (1,1) e (1,-1) 
 
Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1) e (1,-1) 
 
Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1)e (1,1) 
 
Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1), (1,1) e (1,-1) 
 
Temos como pontos críticos: (0,-1) 
 
 5a Questão 
 
Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). 
 
 
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2 
 
45 
 
3/4 
 
 6a Questão 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
 7a Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 
0 ) e ( 0, 0, 2 ) ? 
 
 
x + y + z - 3 = 0 
 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 8a Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, -3 > 
como vetor normal? 
 
 
-x + 2y + 3z + 1 = 0 
 
-x - 2y + 3z + 1 = 0 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
2x + 3y - z + 1 = 0 
 
3x + 2y - z + 1 = 0 
 
 
Aula 10 
 
2a Questão 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 3a Questão 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Maximizar xy 
Sujeito a: x + 2y = 20 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) 
 
 
L(x,y,λ) = - λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y + 20) 
 
L(x,y,λ) = xy + λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = λ (x + 2y - 20) 
 
 4a Questão 
 
Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida por (t) = (a cos t, a sen 
t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] 
 
 
1/a 
 
a/2 
 
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pi 
 
a 
 
 5a Questão 
 
Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. Aplicando o Método 
dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: 
y- λ = 0 
x - 2λ = 0 
-x - 2y + 20 = 0 
A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa. 
 
 
50 m2 
 
20 m2 
 
60 m2 
 
40 m2 
 
100 m2 
 
 6a Questão 
 
Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que: 
I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. 
II: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. 
III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. 
 
 
I , II e II sào falsas. 
 
I , II e II sào verdadeiras. 
 
II é verdadeira. I e II são falsa. 
 
II é falsa. I e II são verdadeira. 
 
I, II é verdadeira. III é falsa. 
 
 7a Questão 
 
A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) = (0,0). 
Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da afirmação. 
 
 
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No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende a 
(0,0) ao longo de um único caminho e concluímos que o limite existia. Portanto é contínua 
no ponto (0,0). 
 
No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende 
a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite não existia. Portanto 
não é contínua no ponto (0,0). 
 
No ponto (0,0) a função esta definida. Portanto é contínua no ponto (0,0). 
 
No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende a 
(0,0) ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite existia. Portanto é 
contínua no ponto (0,0). 
 
 8a Questão 
 
Calcule o comprimento da hélice circular (cos t, sen t , t) , t no intervalo [0,2pi] 
 
 
2pi 
 
pi 
 
3pi 
 
2pi (2) 1/2 
 
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