Prova 2 de Cálculo 1 UnB 1.2018

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
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NOTA
Cálculo 1
2aProva – 1/2018
Nome: Mat.: / Turma:
Atenção: Esta prova contém 3 questões discursivas. Elas devem ser revolvidas, prefe-
rencialmente à lápis, no local indicado após seu enunciado. Se necessário, utilize o verso.
Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
1) Resolva os itens abaixo justificando suas respostas:
a) [0,5] Calcule f ′(x) para f(x) = ln(x2/3) + sen(x2 + 1);
b) [0,5] Calcule g′(x) para g(x) =
√
x2 + ex2 ;
c) [1,0] Calcule y′ para y = y(x) uma função definida implicitamente por x2y3 +x = y;
d) [1,0] Calcule lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
.
Solução
Cálculo I Prova 2 1.o/2018 – 1/7
Solução
Cálculo I Prova 2 1.o/2018 – 2/7
2) Suponha que uma viga retangular, de largura x e altura y, deva ser cortada de um cilindro
de seção circular de raio 1. A resistência R dessa viga é dada por R = kx.y2, onde k > 0
é constante. Observe que a resistência R = R(x) pode ser expressa apenas em função da
largura da viga x, onde x varia de 0 até o diâmetro 2 do cilindro circular.
a) [0,5] Expresse a altura y = y(x) em função de x;
b) [1,0] Obtenha a expressão da resistência R como
função de x;
c) [1,0] Calcule os pontos cŕıticos da função R no
domı́nio (0, 2);
d) [0,5] Calcule os pontos de máximo e mı́nimo (global)
da função R;
e) [0,5] Calcule o valor máximo da resistência que pode
ser obtido entre as vigas cortadas do cilindro.
x
y
Solução
Cálculo I Prova 2 1.o/2018 – 3/7
Solução
Cálculo I Prova 2 1.o/2018 – 4/7
3) Considere a função f(x) = 4x
x2+4
.
a) [0,5] Determine o domı́nio da função f ;
b) [0,5] Calcule os pontos cŕıticos de f ;
c) [0,5] Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f ;
d) [1,0] Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico de f é voltada para
baixo e os intervalos em que a concavidade é voltada para cima;
e) [0,5] Determine as (posśıveis) asśıntotas da função f ;
f) [0,5] Esboce o gráfico da função f .
Solução
Cálculo I Prova 2 1.o/2018 – 5/7
Solução
Cálculo I Prova 2 1.o/2018 – 6/7
Rascunho
Cálculo I Prova 2 1.o/2018 – 7/7