Prova 2 (com respostas) de Cálculo 1 UnB 2.2018

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
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NOTA
Cálculo 1
2aProva – 2/2018
Nome: Mat.: / Turma:
Atenção: Esta prova contém 3 questões discursivas. Elas devem ser resolvidas, prefe-
rencialmente a lápis, no local indicado após seu enunciado. Se necessário, utilize o verso.
Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
1) [4,0 pts] Calcule:
(a) [1,0 pts] a derivada da função f(x) = e
√
1+sen2(x);
(b) [1,0 pts] a derivada da função g(x) = ln
(
x2 + 1
x2
)
;
(c) [1,0 pts] y′(2) onde y = y(x) está definida implicitamente pela equação x2+xy−y2 = 1;
(d) [1,0 pts] o lim
x→0+
(
e2x + x
) 1
x , usando a regra de L’Hôpital.
(a) [1,0 ponto] Solução: Usando a Regra da Cadeia, obtemos:
f ′(x) = e
√
1+sen2(x) 1
2
√
1 + sen2(x)
(2 sen(x) cos(x)) =
e
√
1+sen2(x)√
1 + sen2(x)
sen(x) cos(x).
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta. Não aplica
a Regra da Cadeia.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Esquece de derivar alguma
parcela.
– Erro leve: retirar 25% dos pontos.
Exemplos de erros leves: Errar a análise do sinal.
Cálculo 1 Prova 2 2/2018 – 1/7
(b) [1,0 ponto] Solução: Usando a Regra da Cadeia e a regra do quociente e lembrando
que x = 0 não está no domı́nio de f , obtemos:
f ′(x) =
1
x2 + 1
x2
(
2x3 − 2x3 − 2x
x4
)
=
1
x2 + 1
x2
(
−2
x3
)
= − 2
x3 + x
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta. Não aplica
a Regra da Cadeia/quociente.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Esquece de derivar alguma
parcela. Erra a regra do quociente
– Erro leve: retirar 25% dos pontos.
Exemplos de erros leves: Errar a análise do sinal. Esquece algum termo.
(c) [1,0 ponto] Solução: Veja que da equação x2 + xy − y2 = 1, quando x = 2, temos
y = −1 ou y = 3. Derivando implicitamente: 2x + y + xy′ − 2yy′ = 0, logo x = 2
temos:
caso 1: y = −1, logo y′(2) = −3
4
. caso 2: y = 3, logo y′(2) =
7
4
.
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Esquece de derivar alguma
parcela implicitamente.
– Erro leve: retirar 25% dos pontos.
Exemplos de erros leves: Errar a análise do sinal. Esquece algum termo.
Cálculo 1 Prova 2 2/2018 – 2/7
(d) [1,0 ponto] Solução: Quando x se aproxima de zero temos uma indeterminação do
tipo “1∞”. Nesse caso, escrevemos: aplicando a Regra de L’Hôpital,
(
e2x + x
) 1
x = exp
(
ln
((
e2x + x
) 1
x
))
= exp
(
1
x
ln
(
e2x + x
))
.
Agora vemos que, lim
x→0
1
x
ln (e2x + x) é do tipo “0/0”. Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim
x→0
=
1
x
ln
(
e2x + x
)
lim
x→0
=
2e2x + 1
1
= 3.
Portanto lim
x→0+
(
e2x + x
) 1
x = e3.
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas.
– Erro leve: retirar 25% dos pontos.
Exemplos de erros leves: Errar a análise do sinal. Esquece algum termo. Não
justifica o uso da regra.
2) [3,0 pts] Considere a função f(x) = −x4 + 4x3 + 5.
(a) [0,5 pts] Determine as asśıntotas verticais e horizontais ao gráfico de f(x), caso existam.
(b) [1,0 pts] Calcule f ′(x) determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x).
(c) [1,0 pts] Calcule f ′′(x) e determine os intervalos onde f(x) é côncava para cima e onde
é côncava para baixo.
(d) [0,5 pts] Faça um esboço do gráfico de f(x).
(a) [0,5 ponto] Solução: A função f(x) não tem asśıntotas verticais e nem horizontais pois
lim
x→±∞
= +∞.
– Creio que nesse item não faz sentido analisar respostas parciais.
Cálculo 1 Prova 2 2/2018 – 3/7
(b) [1,0 ponto] Solução: Como f ′(x) = 4x2(3 − x), temos que f ′ > 0 quando x < 3 e
f ′ < 0 quando x > 3. Portanto f(x) é crescente em (−∞, 3) e decrescente (3,+∞).
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta.
Obs.: Por ser um polinômio, caso o aluno erre a derivada, creio não deve ganhar
nenhum ponto no item.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Análise de sinal, trocar os
intervalos.
(c) [1,0 ponto] Solução: Como f ′′(x) = 12x(2−x), temos que f ′′ < 0 quando x ∈ (−∞, 0)
e quando x ∈ (2,+∞). Por outro lado, f ′′ > 0 quando x ∈ (0, 2). Portanto o gráfico
é côncavo para baixo em (−∞, 0) e em (2,+∞) e para cima em (0, 2).
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta.
Obs.: Por ser um polinômio, caso o aluno erre a derivada (considerando f ′
obtida no item anterior), creio não deve ganhar nenhum ponto no item.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Análise de sinal, trocar os
intervalos e concavidades.
(d) [1,0 ponto] Solução: Combinado as informações dos ı́tens anteriores, temos que:
2 3 x
y
– Creio que esse item não há muitas opções. Deixo a cargo de cada um avaliar o
gráfico baseando-se nas respostas que cada aluno obteve nos itens.
Cálculo 1 Prova 2 2/2018 – 4/7
3) [3,0 pts] Uma caixa metálica, sem tampa, será constrúıda recortando-se de uma chapa plana
pequenos quadrados congruentes de seus cantos e dobrando-se os lados para cima. Con-
siderando que as dimensões da chapa sejam 12cm x 12cm e que os quadrados congruentes
têm lados medindo x cent́ımetros como ilustra a figura, resolva os seguintes ı́tens abaixo:
(a) [1,0 pts] Verifique que o volume da caixa em função de
x é dado por V (x) = 144x− 48x2 + 4x3 e determine
o domı́nio V (x).
(b) [1,0 pts] Determine os pontos cŕıticos de V (x).
(c) [1,0 pts] Determine as dimensões dos quadrados con-
gruentes para que a capacidade da caixa seja
máxima.
x
x
x
12
x
12
(a) [1,0 ponto] Solução: Segundo o procedimento descrito no comando da questão teremos
um sólido com dimensões x cm de altura e com um quadrado de lados medindo
(12− 2x) cm. Portando V (x) = x(12− 2x)2 = 144x− 48x2 + 4x3. Veja ainda que
x > 0 e 12− 2x > 0, logo x ∈ [0, 6].
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Erra o domı́nio.
– Erro leve: retirar 25% dos pontos.
Exemplos de erros leves: Esquece algum termo.
(b) [1,0 ponto] Solução: Calculando a derivada, obtemos: V ′(x) = 12(12 − 8x + x2) =
12(x− 2)(x− 6). Logo V ′(x) = 0 quando x = 2 ou x = 6. Portanto o único ponto
cŕıtico de V em (0, 6) é o ponto x = 2.
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Erro de contas.
– Erro leve: retirar 25% dos pontos.
Exemplos de erros leves: Esquece algum termo.
Cálculo 1 Prova 2 2/2018 – 5/7
(c) [1,0 ponto] Solução: Dos ı́tens (a) e (b) temos que os candidatos a max/min de V (x)
são x = 0, x = 2 e x = 6. Como V (0) = V (6) = 0, e V (2) = 128, temos que x = 2
é um ponto de max. Consequentemente as dimensões são: x× x, isto é 2cm x 2cm.
– Erro grave: retirar 100% dos pontos.
Exemplos de erros graves: Apenas resultado, sem nenhuma conta.
– Erro médio: retirar 50% dos pontos.
Exemplos de erros médios: Simplificações indevidas. Erro de contas. Não
fornecer as dimensões, porém ter feito as contas de forma correta.
– Erro leve: retirar 25% dos pontos.
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