Função Geradora de Momentos e Função Característica

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Notas de Aula
Função Geratriz de Momentos e Função Caracteŕıstica
Janeiro - 2021
Sumário
1 Função Geratriz de Momentos 2
1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Função geratriz de momentos de distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.4 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.5 Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Função Caracteŕıstica 4
2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Função caracteŕıstica de distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Outros exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
Caṕıtulo 1
Função Geratriz de Momentos
1.1 Definição
A Função geratriz de momentos é definida por M(t) = E[etX ], t ∈ R, onde X é uma variável aleatória.
1.2 Função geratriz de momentos de distribuições
1.2.1 Poisson
X ∼ Poisson(λ)
M(t) = E[etX ] =
∞∑
x=0
etxλxe−λ
x! =
e−λ
∑∞
x=0(e
tλ)x
x! = e
−λee
tλ = eλ(e
t−1), t ∈ R.
1.2.2 Binomial
X ∼ Binomial(n, p)
M(t) = E[etX ] =
n∑
x=0
etx
(
n
x
)
px(1− p)n−x =
n∑
x=0
(
n
x
)
(etp)x(1− p)n−x = (etp+ 1− p)n, t ∈ R.
1.2.3 Exponencial
X ∼ Exponencial(λ)
M(t) = E[etX ] =
∫∞
0
etxλe−λx dx = λ
∫∞
0
e−x(λ−t) dx = λλ−t , t < λ.
1.2.4 Normal
X ∼ Normal(0, 1)
M(t) = E[etX ] =
∫∞
−∞ e
tx 1√
2π
e−
1
2x
2
dx =
∫∞
−∞
1√
2π
e−
1
2x
2+tx dx =
∫∞
−∞
1√
2π
e−
1
2 (x
2−2tx+t2−t2) dx = e
t2
2
∫∞
−∞
1√
2π
e−
1
2 (x−t)
2
dx
= e
t2
2 , t ∈ R.
1.2.5 Gama
X ∼ Gama(α, β)
M(t) = E[etX ] =
∫∞
0
etx β
α
Γ(α)x
α−1e−βx dx = β
α
Γ(α)
∫∞
0
xα−1e−x(β−t) dx = β
α
Γ(α)
Γ(α)
(β−t)α =
(
β
β−t
)α
, t < β.
2
1.3 Propriedades
1. Seja Y = aX + b onde a e b são constantes e suponha que conhecemos MX(t)
MY (t) =MaX+b(t) = E[e
t(aX+b)] = E[etaXetb] = etbMX(at)
- APLICAÇÃO: Qual a f.g.m de uma N(µ, σ2)?
Y = σX + µ, onde X ∼ N(0, 1)
MY (t) = e
tµMX(σt) = e
tµe
σ2t2
2 , t ∈ R.
2. MX+Y = E[e
t(X+Y )] = E[etXetY ] = E[etX ]E[etY ] =MX(t)MY (t)
- OBS: Por indução mostra-se que se X1, X2, ..., Xn são v.a. independentes, então:
M∑n
i=1Xi
(t) =
∏n
i=1MXi(t)
- APLICAÇÃO: Vimos que se X ∼ Exponencial(λ): MX(t) = λλ−t , t < λ
então se Y ∼ Gama(n, λ), temos: MY (t) =
(
λ
λ−t
)n
, t < λ.
3. M
(k)
X (0) =
[
∂kMX(t)
∂tk
]
t=0
= E[Xk]
- EXEMPLO: Para k = 1: ∂MX(t)∂t =
E[etX ]
∂t = E[
∂etX
∂t ] = E[Xe
tX ]
t=0−−→ E[X]
1.4 Exemplos
1. X ∼ Poisson(λ), MX(t) = eλ(e
t−1). Encontre V (X).
1º - Achar o primeiro momento:
M ′X(0) = E[X]
M ′X(t) = e
λ(et−1)λet
t=0−−→M ′X(0) = λ = E[X]
2º - Achar o segundo momento:
M ′′X(0) = E[X
2]
M ′′X(t) = e
λ(et−1)λetλet + eλ(e
t−1)λet
t=0−−→M ′′X(0) = λ2 + λ = E[X2]
3º - Calcular a variância:
V (X) = λ2 + λ− (λ)2 = λ
Exerćıcio: Repita o exemplo supondo X ∼ Gama(α, β).
- OBS: Qual a f.g.m. de X quando X ∼ χ2(n)?
Sabemos que: X ∼ χ2(n) ∼ Gama(
n
2 ,
1
2 ). Então MX(t) =
(
1
2
1
2−t
)n
2
=
(
1
1−2t
)n
2
, t < 12 .
2. Sejam Xi ∼ Exponencial( 1θ ) independentes, i = 1, 2, ..., n e θ > 0. Seja T =
∑n
i=1Xi, qual a distribuição de Y =
2T
θ ?
(Use f.g.m.)
Sabemos que MXi(t) =
1
θ
1
θ−t
, t < 1θ
MY (t) =M 2T
θ
(t) = E[et
2T
θ ] =MT
(
2t
θ
)
=
∏n
i=1MXi
(
2t
θ
)
=
(
MX
(
2t
θ
))n
=
(
1
θ
1
θ−
2t
θ
)n
=
(
1
1−2t
)n
⇒ Y ∼ χ2(2n) ∼ Gama(n,
1
2 )
Caṕıtulo 2
Função Caracteŕıstica
2.1 Definição
Seja X v.a. a função caracteŕıstica de X, denotada ψX(t), é definida por : ψX(t) = E[e
itX ].
2.2 Propriedades
1. |ψX(t)| ≤ 1, ∀t ∈ R.
- DEMONSTRAÇÃO:
|ψX(t)| = |E[eitX ]| ≤ E[|eitX |] = E[|cos(tX) + isen(tX)|] = E[
√
sen2(tX) + cos2(tX)] = E[1] = 1
- APLICAÇÃO: E[X] existe se E[|X|] <∞. Logo E[eitX ] existe se E[|eitX |] <∞, mas E[|eitx|] = 1.
Conclusão: A FUNÇÃO CARACTERÍSTICA SEMPRE EXISTE!
2. ψX(t) = ψX(−t)
- DEMONSTRAÇÃO:
ψX(t) = E[e
itX ] = E[cos(tX) + isen(tX)] = E[cos(tX)] + iE[sen(tX)]
Logo, ψX(t) = E[cos(tX)]− iE[sen(tX)]
Por outro lado,
ψX(−t) = E[e−itX ] = E[cos(−tX) + isen(−tX)] = E[cos(tX)− isen(tX)] = E[cos(tX)]− iE[sen(tX)]
3. Se X e Y são independentes, então: ψX+Y (t) = ψX(t)ψY (t)
- OBS: Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, então: ψ∑n
i=1Xi
(t) =
n∏
i=1
ψXi(t)
4. Seja X variável aleatória com função caracteŕıstica ψX(t) e a, b ∈ R, então: ψaX+b(t) = E[eit(aX+b)] = eitbψX(at)
5. A função caracteŕıstica determina a distribuição da variável aleatória associada por meio da fórmula da inversão (que
relaciona FX com ψX).
6. Caso existam, podemos encontrar os momentos de uma variável aleatória X por meio de ψX(t), fazendo:
ψ
(k)
X (t) =
[
∂kψX(t)
∂tk
]
t=0
= ikE[Xk]
4
7. Se X é variável aleatória simétrica em torno do zero, então: ψX(t) = ψX(t)
- DEMONSTRAÇÃO: X é variável aleatória simétrica em torno de zero ⇔ P [X ≤ x] = P [X ≥ −x] ∀x ∈ R. Então:
P [X ≤ x] = P [X ≥ −x] = P [−X ≤ x] = F−X(t)
Logo:
FX(t) = F−X(t), ∀x⇒ X e [−X] têm a mesma distribuição
⇒ ψX(t) = ψ−X(t) = ψX(−t) = ψX(t)
2.3 Função caracteŕıstica de distribuições
Vamos encontrar a função caracteŕıstica associada a alguns modelos probabiĺısticos conhecidos baseando-se no fato de que
ψX(t) = E[e
itx] =MX(it).
2.3.1 Normal
Qual é a função caracteŕıstica da N(0, 1)?
Sabemos que MX(t) = e
t2
2 , t ∈ R. Então:
ψX(t) = e
(it)2
2 = e
−t2
2 , t ∈ R.
E quando X ∼ N(µ, σ2)?
Se Y ∼ Normal(0, 1) ⇒ X = σY + µ ∼ Normal(µ, σ2).
Sabemos que: MX(t) = e
tµMY (σt) = e
tµe
t2σ2
2 , t ∈ R. Logo, ψX(t) = eitµe
−t2σ2
2 , t ∈ R.
- OBS: Forma alternativa de obter ψX(t), X ∼ N(0, 1):
ψX(t) = E[e
itx] =
∞∫
−∞
eitx 12π e
1
2x
2
dx
Exerćıcio: Finalizar a integral. Dica: use a substituição ’u=x-it’ e use limites.
2.3.2 Uniforme
Exerćıcio: Seja X ∼ U(a, b), encontre ψX(t) e utilize-a para obter E[X].
2.4 Outros exemplos
1. Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias iid’s com distribuição N(0, 1). Encontre a função caracteŕıstica de X =
∑n
i=1
Xi
n .
ψX(t) = ψ∑n
i=1
Xi
n
(t) = ψ∑n
i=1Xi
(
t
n
)
=
∏n
i=1 ψXi
(
t
n
)
=
(
ψXi
(
t
n
))n
=
[
e−
t2
2n2
]n
= e
−t2
2n , t ∈ R.
Logo, X ∼ N(0, 1n ).
2. Seja X ∼ N(0, 1), qual a distribuição de Z = X2?
MZ(t) = E[e
tZ ] = E[etX
2
] =
∫∞
−∞ e
tx2 1
2π e
x2
2 dx =
∫∞
−∞
1
2π e
x2
2 (1−2t) dx =
(
1
1−2t
) 1
2
, t < 12 .
3. fX(x) =
e−|x|
2 , x ∈ R. Encontre ψX(t) e E[X].
E[X] = 0 pois é simétrica em zero.
ψX(t) = E[e
itX ] =
∫∞
−∞ e
itx e−|x|
2 dx =
1
2
[ ∫ 0
−∞ e
itxex dx +
∫∞
0
eitxe−x dx
]
= 12
[
ex(1+it)
(1+it)
∣∣∣0
−∞
− e
−x(1−it)
(1−it)
∣∣∣∞
0
]
= 12
[
1
1+it +
1
1−it]
= 12
[
1−it+1+it
1−(it)2
]
= 11−(it2) =
1
1+t2 , t ∈ R.
Então: ∂(1+t
2)−1
∂t = (−1)
2t
1+t2
∣∣∣
t=0
= 0 ⇒ E[X] = 0
Exerćıcio: Seja Y ∼ U(0, 1) e [X|Y = y] ∼ Binomial(n, y). Qual a distribuição de X?
Faça com seus conhecimentos de distribuição condicional e utilizando a função geratriz de momentos.