Relatório de Queda Livre

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE ENSINO
Queda Livre
Discentes: Sarah Roberta Sarmento Rosa Siqueira e Nathalia Ketilly dos
Santos Moraes
Roteiro de Física Experimental 1
Experimento 5
Maceió
2021
Sumário
1 Introdução 2
2 Objetivo 3
3 Material 3
4 Procedimento 4
5 Discussão 6
6 Conclusão 11
7 Referência 12
8 Anexo 12
1
https://docs.google.com/document/d/1tDtn5PHujWwvaMrUJ6fP6FUtuhzB9zxz6VxnVK43DYY/edit#heading=h.gjdgxs
https://docs.google.com/document/d/1tDtn5PHujWwvaMrUJ6fP6FUtuhzB9zxz6VxnVK43DYY/edit#heading=h.30j0zll
https://docs.google.com/document/d/1tDtn5PHujWwvaMrUJ6fP6FUtuhzB9zxz6VxnVK43DYY/edit#heading=h.1fob9te
https://docs.google.com/document/d/1tDtn5PHujWwvaMrUJ6fP6FUtuhzB9zxz6VxnVK43DYY/edit#heading=h.3znysh7
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https://docs.google.com/document/d/1tDtn5PHujWwvaMrUJ6fP6FUtuhzB9zxz6VxnVK43DYY/edit#heading=h.tyjcwt
1 Introdução
Um corpo abandonado de certa altura h (com relação ao solo) está sujeito a uma
aceleração. Tal aceleração é chamada de aceleração gravitacional terrestre (g). Ela varia
ligeiramente com a latitude e com altitude. O movimento do corpo sob a ação da
gravidade é descrito pelas equações clássicas da cinemática. Assim, a expressão h(t)
para um corpo que é abandonado de certa altura em relação ao solo é dada por:
(1)ℎ = 12 𝑔𝑡²
A altura é a distância atravessada após um tempo t0. No tempo ℎ0 =
1
2 𝑔 𝑡0( )²
a esfera cai a uma altura de . E no𝑡02 ℎ
𝑡0
2( ) = 12 𝑔 𝑡02( )² = 14( ) 12 𝑔 𝑡0( )² = 14 ℎ0
tempo a esfera cai de uma altura . Se selecionarmos as distâncias de𝑡04 ℎ
𝑡0
4( ) = 116 ℎ0
queda na razão 1 : 1/4 : 1/16, os tempos de queda correspondentes serão 1 : ½ : ¼. De
acordo com a expressão (1) temos:
(2)𝑔 = 2ℎ𝑡²
Para cada distância h, a aceleração da gravidade efetiva pode ser calculada. A
expressão de velocidade x tempo pode também ser verificada com os valores medidos,
se assumirmos que a velocidade média medida é:
𝑣 = 12 𝑔𝑡 = 𝑔𝑡' ⇒ 
𝑡
𝑡' =
2𝑔
𝑔 = 2 
Correspondendo a velocidade instantânea v após um tempo de queda .𝑡' = 𝑡2
Sabendo dessas informações e partindo da definição de aceleração (a = g = cte);
. Partindo daí, integramos:𝑔 = 𝑑𝑣 𝑡( )𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑣 𝑡( ) = 𝑔𝑑𝑡 
𝑣 𝑡0( )
𝑣 𝑡( )
∫ 𝑑𝑣 𝑡'( ) =
𝑡0
𝑡
∫ 𝑔𝑑𝑡' ⇒ 𝑣 𝑡( ) − 𝑣 𝑡0( )[ ] = 𝑔 𝑡 − 𝑡0( )
Adotando que t0 = 0 e v(t0) = v0:
(3) 𝑣 𝑡( ) = 𝑣0 + 𝑔𝑡
Assim, está provada a equação horária da velocidade da Queda Livre. E ainda,
partindo dela, temos:
𝑣 𝑡( ) = 𝑑𝑦 𝑡( )𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑦 𝑡( ) = 𝑣 𝑡( )𝑑𝑡
Substituindo v(t) por (3):
𝑑𝑦 𝑡( ) = 𝑣0 + 𝑔𝑡( )𝑑𝑡
Agora, integramos:
2
𝑦 𝑡0( )
𝑦 𝑡( )
∫ 𝑑𝑦 𝑡( ) =
𝑡0
𝑡
∫ 𝑣0𝑑𝑡 +
𝑡0
𝑡
∫ 𝑔𝑡'𝑑𝑡' ⇒ 𝑦 𝑡( ) − 𝑦 𝑡0( )[ ] = 𝑣0 𝑡 − 𝑡0( ) + 𝑔2 𝑡² − 𝑡0²( )
Considerando t0 = 0 e y(t0) = y0, temos:
(4)𝑦 𝑡( ) = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 + 𝑔2 𝑡²
E fica provada a equação horária da posição da Queda Livre.
2 Objetivo
Obter o valor da aceleração da gravidade local.
3 Material
Descrição Quantidade
Tripé de ferro 3 kg com sapatas niveladoras 1
Haste de alumínio 90 cm, escala milimetrada e fixador plástico 1
Eletroímã com dois bornes e haste 1
Esferas de aço: Ø10 mm, Ø15 mm, Ø20 mm e Ø25 mm 4
Cabos de ligação conjugado 1
Chave liga-desliga 1
Sensores infravermelhos com fixadores corrediços 2
Cabo de ligação com conector 5 pinos para chave liga-desliga 1
Saquinho para contenção da esfera 1
Cronômetro digital multifunções com fonte DC 12 V 1
Cabo de ligação para chave liga-desliga com pino P10 1
Trena 1
4 Procedimento
Parte I – Posição inicial igual zero
1. Montar o equipamento conforme a figura 1.
3
Figura 1: Equipamento montado - Fonte: Referência [2]
2. Fixar o eletroímã na haste de alumínio com escala milimetrada e presilha (ver
detalhes a e b da figura 1).
3. Conectar o eletroímã à unidade de controle de tensão variável deixando em série a
chave liga-desliga segundo o esquema da figura 2. Conecte também o sensor à
entrada correspondente.
Figura 2: Cronômetro conectado com a chave liga-desliga e com o sensor - Fonte: Referência [2]
4. Colocar a esfera de aço em contato com o eletroímã e regular a tensão elétrica
para que a esfera fique na iminência de cair.
5. Ajustar o sensor a 20 cm abaixo da esfera (esta medida deve ser efetuada a partir
da parte inferior da esfera até o centro do sensor). Medir com uma trena o primeiro
deslocamento 20 cm.
4
Figura 3: Sensor sendo ajustado abaixo da esfera - Fonte: Referência [2]
6. Ajustar as sapatas do tripé para que a haste fique vertical.
7. No cronômetro escolher a função F2 e zerar (reset).
8. Desligar o eletroímã através da chave liga-desliga, liberando a esfera, e anotar na
tabela 1 o intervalo de tempo indicado pelo cronômetro.
9. Repetir o procedimento acima para os deslocamentos de 30cm, 40cm, 50cm e
60cm.
10. Calcular a aceleração da gravidade e preencher a tabela 1.
Nº y0 (m) y(m) Δy (m) t(s) g (m/s²)
1
0,000
0,200 0,200 0,203 9,706
2 0,300 0,300 0,250 9,600
3 0,400 0,400 0,287 9,712
4 0,500 0,500 0,321 9,705
5 0,600 0,600 0,353 9,630
𝑔 = 9,670
Tabela 1: aceleração da gravidade
11. Calcular a velocidade final de cada percurso e preencher a tabela 2.
5
Nº t(s) g (m/s²) v0 (m/s) v (m/s)
1 0,203 9,706
0,000
1,970
2 0,250 9,600 2,400
3 0,287 9,712 2,787
4 0,321 9,705 3,115
5 0,353 9,630 3,390
Tabela 2: velocidade final
12.Considerando a margem de erro adotada pelo fabricante (5%), pode-se afirmar que
a aceleração da gravidade permaneceu constante?
13.Construir o gráfico y = f(t) usando os dados do experimento. Qual a sua forma?
14.Linearizar o gráfico y = f(t). Para linearizar, formar a tabela t²(s²) versus ∆y(m).
15.O gráfico mostra que as grandezas deslocamento e intervalo de tempo ao
quadrado são: ___________________. (diretamente proporcionais/inversamente
proporcionais).
16.Determinar os coeficientes angular e linear do gráfico y = f(t²).
Coeficiente angular A = ________
Coeficiente linear B = ________
17.Comparar o coeficiente linear do gráfico y = f(t²) com o valor da posição inicial.
Qual é o significado físico do coeficiente linear?
18.Comparar o coeficiente angular do gráfico y = f(t²) com o valor da aceleração
média da tabela. Qual é o significado físico do coeficiente angular?
19.Obter a equação horária do movimento em queda livre.
20.Construir o gráfico de v = f(t). Qual é a sua forma?
21.Determinar os coeficientes angular e linear do gráfico de v = f(t).
Coeficiente angular A = ________
Coeficiente linear B = ________
22.Comparar o valor do coeficiente angular com o valor da aceleração média da
tabela.
23.Qual é o significado físico do coeficiente angular do gráfico v = f(t)?
24.Qual é o significado físico do coeficiente linear do gráfico v = f(t)?
25.Obter a equação da velocidade do movimento em queda livre.
5 Discussão
Durante a realização do experimento, os seguintes dados foram tomados: variação
do espaço percorrido (Δy) e o tempo gasto nesse percurso (t); após a medição desses
dados, alguns outros tornaram-se possíveis de calcular: aceleração da gravidade local (g)
e a velocidade do objeto (v).
Como mostrado nas tabelas, a aceleração da gravidade local foi calculada pela
seguinte fórmula:
6
𝑦 𝑡( ) = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 + 𝑔2 𝑡²
Logo após isso, foi determinada a margem de erro da aceleração proposta pelo
fabricante. Da seguinte maneira:
➢ Para calcular o desvio:
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = |𝑎𝑚−𝑎1|+|𝑎𝑚−𝑎2|+|𝑎𝑚−𝑎3|+|𝑎𝑚−𝑎4|+|𝑎𝑚−𝑎5|+|5
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = |9,706−9,670|+|9,600−9,670|+|9,712−9,670|+|9,705−9,670|+|9,630−9,670|5
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = 0,036+0,07+0,042+0,035+0,045
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 = 0, 0446
➢ Para calcular o erro percentual:
𝐸𝑟𝑟𝑜(%) = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 × 100
𝐸𝑟𝑟𝑜(%) = 0, 0446 × 100
𝐸𝑟𝑟𝑜(%) = 4, 46%
Com esses cálculos, é possível afirmar que a aceleração da gravidade local
manteve-se constante, já que o erro percentual está dentro do esperadopelo fabricante.
Tendo provado que a gravidade local é constante, partimos então em busca de
calcular a velocidade desse objeto, utilizando-se da seguinte equação:
 𝑣 𝑡( ) = 𝑣0 + 𝑔𝑡
Após calcular e tomar nota em tabela desses valores de velocidade e aceleração da
gravidade, foi dada continuidade ao experimento construindo um gráfico contendo y =
f(t), para melhor visualização dos dados propostos e o que eles representam. Veja:
7
Gráfico 1: altura (m) x tempo (s)
Após uma minuciosa análise gráfica, fica fácil perceber alguns pontos
importantes:
➢ Esse movimento dá indícios de um movimento parabólico, visto que formou uma
leve curva. Fica fácil comprovar isso analisando simultaneamente ao gráfico, a
equação horária da posição desse movimento:
𝑦 𝑡( ) = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 + 𝑔2 𝑡²
Comprovadamente trata-se de uma parábola visto que a função horária da posição
nos dá uma equação de segundo grau.
➢ É possível notar também que as duas grandezas apresentadas no gráficos,
relacionam-se entre si de maneira diretamente proporcional, ou seja, quanto maior
for a altura, mais tempo esse corpo levará para atingir o solo e vice-versa.
➢ Nota-se que o termo muito nos fala sobre a concavidade da parábola:𝑔2
→ Se , então a concavidade da parábola para cima 𝑔2 > 0
→ Se , então a concavidade da parábola para baixo 𝑔2 < 0
Após essa análise, o gráfico foi linearizado, ou seja, foi construído por y = f(t2),
veja:
8
Gráfico 2: altura (m) x tempo² (s²)
Ao analisar o gráfico, ficou fácil perceber a linearização, visto que o que era uma
parábola passou a ser uma reta. Ainda assim, o gráfico continua nos fornecendo algumas
informações:
➢ As grandezas continuam se relacionando de forma diretamente proporcional.
➢ A gravidade nos diz algo, mas agora através da direção da reta:
→ Reta crescente, então g > 0
→ Reta decrescente, então g < 0
Agora, iremos analisar graficamente a relação entre velocidade e tempo desse
movimento. Veja:
9
Gráfico 3: velocidade (m/s) x tempo (s)
Após uma minuciosa análise gráfica, fica fácil perceber alguns pontos
importantes:
➢ A representação do movimento é dada por uma reta. Fica fácil comprovar isso
analisando simultaneamente ao gráfico, a equação horária da velocidade desse
movimento:
 𝑣 𝑡( ) = 𝑣0 + 𝑔𝑡
Comprovadamente trata-se de uma reta, visto que a função horária da posição nos
dá uma equação de primeiro grau.
➢ É possível notar também que as duas grandezas apresentadas no gráficos,
relacionam-se entre si de maneira diretamente proporcional, ou seja, quanto mais
tempo durar o movimento, maior a velocidade que esse corpo atingirá o solo e
vice-versa. Isso nos afirma que esse movimento sofre aceleração durante o
movimento, sendo ela a aceleração da gravidade como já provado anteriormente.
➢ Analisando simultaneamente o gráfico e a equação horária da velocidade, algumas
informações são facilmente percebidas:
→ Se a reta gráfica for crescente, então g > 0
→ Se a reta gráfica for decrescente, então g < 0
Dispostos todos esses dados, fica fácil escrever as equações horárias da posição e da
velocidade para esse movimento e, ainda, determinar seus coeficientes. Comparando a
10
fórmula geral das equações do primeiro e segundo grau com as equações horárias da
velocidade e da posição da Queda Livre, temos:
f(x) = ax + b⇒ v(t) = gt + v0
a = g = coeficiente angular
b = v0 = coeficiente linear da reta
f(x) = ax² + bx + c⇒ y(t) = (g/2)t²+ v0t +y0
a = (g/2) = coeficiente angular
b* = v0 = coeficiente da reta tangente em (0,c)
c** = y0 = ponto de encontro da parábola com o eixo y
*O sinal desse coeficiente é dado pelo sentido em que a reta tangente ao ponto (0,c)
está direcionada.
→ Se essa reta tangente for crescente, então b > 0
→ Se essa reta tangente for decrescente, então b < 0
→ Se essa reta tangente for perfeitamente horizontal, então b = 0
**Esse coeficiente nos diz em qual ponto do eixo y a parábola está tocando (0,c), isso
acontece pois nesse ponto x = 0.
Sabendo disso, podemos encontrar e as equações horárias do movimento:
● Velocidade
v(t) = gt + v0⇒ v(t) = 9,670t + 0⇒ v(t) = 9,670t
● Posição
y(t) = (g/2)t²+ v0t +y0⇒ y(t) = 4,835t²+ 0t + 0⇒ x(t) = 4,835t²
6 Conclusão
Como proposto pelo experimento, foi investigado o valor da gravidade no local
quando um corpo é largado verticalmente com velocidade inicial v0 = 0. Apesar de ter
ocorrido variação da aceleração da gravidade durante os procedimentos realizados,
estando dentro dos 5% de erro predisposto pelo fabricante do material, essa variação
pôde ser desconsiderada. Sendo assim, fica comprovado que durante um movimento
onde um corpo é solto verticalmente (v0 = 0), esse corpo sofre interferência da
aceleração da gravidade durante seu percurso.
11
7 Referência
● KELLER, Frederick. Física Volume 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2004.
● Manual de instruções e guia de experimentos Azeheb, Trilho de ar linear.
● Material complementar elaborado pelo Prof. Noelio Oliveira Dantas.
8 Anexo
12