Transformadas (Laplace e Fourier)

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DESCRIÇÃO
Aplicação dos conceitos da Transformada de Laplace e da Transformada de Fourier.
PROPÓSITO
Compreender as Transformadas de Laplace e Fourier e algumas de suas aplicações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
MÓDULO 2
Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
MÓDULO 3
Aplicar a Transformada de Laplace
MÓDULO 4
Formular a série e a Transformada de Fourier
TRANSFORMADA DE LAPLACE E FOURIER
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
CONCEITOS INICIAIS DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para resoluções de alguns problemas matemáticos, existem métodos que transformam os termos originais em outros
que permitem simplificar a solução.
POR EXEMPLO, A RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
É MUITO MAIS COMPLEXA, NA GRANDE MAIORIA DOS CASOS, DO
QUE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA. ASSIM, PODE SE BUSCAR UMA
TRANSFORMAÇÃO PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL ESTUDADA.
Existe uma metodologia, denominada de Transformadas Integrais, que utiliza uma transformação da equação
diferencial em uma equação algébrica, e após resolver essa equação algébrica, utiliza a transformação inversa para
obter a equação da solução diferencial.
 VOCÊ SABIA
Essa transformação é obtida pela multiplicação de cada termo da equação diferencial por uma função, que
denominamos de núcleo. A integração desse termo em relação a variável independente da equação.
Analisando de outra forma, isso se assemelha a um procedimento de se obter uma substituição de variável, resolver,
e de depois obter a substituição inversa para alcançar a resposta no domínio da variável inicial.
Esse tipo de transformação é conhecida como Transformadas Integrais, sendo a Transformada de Laplace uma
das integrais mais utilizadas. 
Vamos agora definir a Transformada de Laplace, cuja notação será ℒ.
DEFINIÇÃO
Seja uma função
f ( t )
definida para
t ≥ 0
. A Transformada de Laplace da função
f
será definida por:
F (S ) =L [F (T ) ] = ∫
∞
0E -STF (T )DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para uma função f(t) que atende algumas particularidades, essa integral imprópria convergirá para certos valores de
s, caso em que se definirá uma função em s chamada de Transformada de Laplace de f, com simbologia F(s).
REPARE QUE O NÚCLEO DA TRANSFORMADA INTEGRAL DE
LAPLACE SERÁ A FUNÇÃO
E−ST
. NÓS MULTIPLICAMOS A FUNÇÃO POR
E−ST
E POSTERIORMENTE INTEGRAMOS DE ZERO ATÉ O INFINITO.
Obs.: Vamos relembrar como se determina uma Integral Imprópria:
∫
∞
0E -STF (T )DT= LIM
Z→∞
∫
Z
0E -STF (T )DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, seu valor será dado pelo valor do limite e ela convergirá se tal valor for um número real.
EXEMPLO 1
Determine a Transformada de Laplace para a função
f ( t ) = t
, para
t ≥ 0
.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F ( s ) =L [ t ] = ∫
∞
0e - st t dt
∫
∞
0e - stt dt = lim
z → ∞
∫
z
0e - stt dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫
z
0e− stt dt
Usando integração por partes:
u = t → du = dt
e
dv = e− stdt → v = −
1
s
e− st
Assim,
∫
z
0e - stt dt = -
1
s t e - st
z
0 - ∫
z
0 -
1
s e - st dt = -
1
s t e - st
z
0 -
1
s2 e - st
z
0
∫
z
0e - stt dt = -
1
s
z e - sz + 0 -
1
s2
e - sz -
1
s2
=
1
s2
1 - e - sz - sze - sz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
lim
z → ∞
∫
z
0e - stt dt = lim
z → ∞
1
s2 1 - e - sz - sze - sz =
1
s2 ( 1 - 0 - 0 ) =
1
s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
F ( s ) = L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a Transformada de Laplace para a função f(t)=e^{kt}, com k real.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
Fs=Lekt=∫0∞e-st ekt dt
∫0∞e(k-s)t dt=limz→∞∫0ze(k-s)t dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral \int_{0}^{z}{e^{(k-s)t}\ \ dt}
∫0zek-st dt=1k-s ek-st0z=1k-s ek-sz-1k-s
[ ] ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
limz→∞∫0ze(k-s)t dtlimz→∞1k-s ek-sz-1k-s=∞ , para k ≥s1s-k, para k<s 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
Fs=ℒ[t]= 1s-k, para s>k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Determine a Transformada de Laplace para a função
ft=0, 0<t≤4e4t, t>4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Usando a definição
Fs=Lft=∫0∞e-stf(t) dt=∫04 0.e-stdt+∫4∞ e4te-stdt
Fs=∫4∞ e(4-s)tdt=limz→∞∫4ze(4-s)t dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral \int_{4}^{z}{e^{(4-s)t}\ \ dt}
∫4ze4-st dt=14-s e4-st4z=14-s e4-sz-14-s e4-s4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
limz→∞∫0ze(4-s)t dt=∞ , para s≤41s-4e-4(s-4), para s>4 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
Fs=1s-4e-4(s-4), para s>4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA GARANTIR A EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE, UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA É QUE A FUNÇÃO F(T)
DEVE SEGUIR O COMPORTAMENTO: SER CONTÍNUA POR PARTES
EM TODO INTERVALO [0, \INFTY).
 RELEMBRANDO
Lembre-se de que ser contínua por partes é ser contínua no intervalo, a não ser, possivelmente, em alguns pontos
finitos. Assim, ela pode até conter, por exemplo, um número finito de salto de descontinuidade, que continuará ser
contínua em cada uma de suas partes.
O que a função não pode ter é um intervalo de descontinuidade dentro do seu domínio. Essa é apenas uma condição
necessária, mas não é suficiente. Para a Integral de Laplace existir, a Integral Imprópria além de existir, tem que
convergir.
Se analisarmos o integrando, teremos e–st f(t), assim a função f(t) não pode divergir mais rápido do que a
convergência da função e–st, para quando tende ao infinito. Se isso acontecer, o integrando sempre convergirá.
Por isso, uma condição suficiente para existência da Transformada de Laplace é que f(t)<Ce-kt, em que C e K são
números reais. A função será de ordem exponencial se atender a tal condição, garantindo, assim, a convergência
nos intervalos em que essa condição existe.
TEOREMA DA EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
SE A FUNÇÃO F(T) É CONTÍNUA POR PARTES PARA T>0 E DE
ORDEM EXPONENCIAL À MEDIDA QUE T\RIGHTARROW\INFTY,
ENTÃO, EXISTIRÁ A TRANSFORMADA DE LAPLACE
\MATHCAL{L}\LEFT[F\LEFT(T\RIGHT)\RIGHT].
São exemplos de funções que possuem Transformadas de Laplace: 1, ktn, senkt, coskt, ekt , entre outras.
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Vamos, agora, citar algumas propriedades da Transformada de Laplace. Essas propriedades podem ser
demonstradas pela definição da Transformada. E caso seja do seu interesse, podem ser encontradas nas obras de
referência deste conteúdo.
LINEARIDADE
A Transformada de Laplace é uma transformação linear, assim, atende a propriedade da Linearidade.
Lk1f1t+k2f2t=k1Lf1(t)+k2Lf2(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função f\left(t\right)=senh(kt), com k real.
Solução:
Lembre-se de que senhkt=ekt-e-kt2
Usando a propriedade da linearidade
 Lsenh(kt) =Lekt-e-kt2=12Lekt- 12Le-kt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo anterior, já obtivemos a Transformada de Laplace da função e^{kt}. Assim,
Lsenh(kt)=121s-k-121s--k
Lsenh(kt)=12s+k-(s-k)(s-k)(s+k)=ks2-k2,s > k.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA
Se a Transformada da função f(t) é conhecida, F(s), então, podemos obter facilmente a Transformada de Laplace da
função g(t)=e^{kt}f(t), sendo k uma constante. Para isso, utilizaremos a propriedade da translação:
Lektf(t)=F(s-k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função e^{mt}senh(kt), com k em reais.
Solução:
No exemplo anterior, obtivemos
Lsenh(kt)=Fs=ks2-k2, para s>k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
L [ emtsenh(kt) ] =F( s – m) =k(s-m)2-k2, para s-m>k→s>m+k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADE E MUDANÇA DE ESCALA
Se a Transformada da função f(t) é conhecida, F(s), então, podemos obter facilmente a Transformada de Laplace da
função g(t)=f(kt), sendo k uma constante.
Para isso, utilizaremos a propriedade da translação:
L[ fkt ]=1kFsk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função f(t)=5t.
Solução:
Em exemplos anteriores, obtivemos
Fs=L t= 1s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da mudança de escala. Se
ft=5t então L[5t]=15 Fs5=15 1s52=5s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui também poderia ser utilizada a Linearidade
L[5t] =5 L[t] = 5s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA
FUNÇÃO F(T)=3.
A) 1s+3
B) 3s
C) 3s+9
D) ss2+9
E) ss2-9
2. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO F(T) VALE SS2+9N+1,
SENDO $$N$$ UM NÚMERO INTEIRO, OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE
E5TF(T).
A) ss2-10s+16n+5
B) ss2-10s+25n+1
C) s-5s2-10s+25n+1
D) ss2-10s+34n+1
E) s-5s2-10s+34n+1
3. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$F(T)$$ VALE E4SS+1,
OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE $$F(2T)$$.
A) e4ss+2
B) e2ss+1
C) 2e2ss+2
D) e2ss+2
E) 4e2ss+1
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA
FUNÇÃO
FT= 0, 0<T≤1T, T>1
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 1s2+1s
B) 1s2+1s
C) e-s1s2+1s
D) 1s2 e-s
E) 1s e-s
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA
FUNÇÃO FT=COSH(KT), COM $$K$$ REAL.
A) ss2-k2
B) 1s2-k2
C) ss2+k2
D) 1s2+k2
E) 1s2
6. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA
FUNÇÃO FT=COS (KT), $$K$$ REAL.
A) 1s2-k2
B) 1s2+k2
C) ks2+k2
D) ss2+k2
E) ss2-k2
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função f(t)=3.
A alternativa "B " está correta.
Usando a definição
Fs=L [3]=∫0∞3e-st dt=limz→∞∫0z3e-st dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral ∫0ze-st dt
∫0ze-st dt=1-s e-st0z=-1s e-sz+1s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
limz→∞∫0z3e-st dt=limz→∞3s(1- e-sz)=-∞ , para s<03s, para s>0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Fs=ℒ[3]= 3s, para s>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabendo que a Transformada de Laplace da função f(t) vale ss2+9n+1, sendo $$n$$ um número inteiro,
obtenha a Transformada de Laplace de e5tf(t).
A alternativa "E " está correta.
Pelas propriedades da Transformada de Laplace, sabe-se que
L [ ektf(t) ]= F ( s –k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como Fs=ss2+9n+1 e k = 5, teremos
L e5tft= F s –5=s-5(s-5)2+9n+1=s-5s2-10s+34n+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Sabendo que a Transformada de Laplace da função $$f(t)$$ vale e4ss+1, obtenha a Transformada de
Laplace de $$f(2t)$$.
A alternativa "D " está correta.
Pelas propriedades da Transformada de Laplace, sabe-se que
L [ f(kt) ]=1kFsk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como Fs=10 e4ss+1, então:
L f2t=12Fs2=12 e4s2s2+1=e2s2. s+22=e2ss+2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função
ft= 0, 0<t≤1t, t>1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Usando a definição
Fs=ℒ[f(t)]=∫0∞e-stf(t) dt=∫01 0 . e-stdt+∫1∞ e-sttdt
Fs=∫1∞ e-sttdt=limz→∞∫1ze-stt dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, calcular a integral ∫1ze-stt dt
Usando integração por partes:
u=t →du=dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
dv=e-stdt→v=-1se-st
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫1ze-stt dt=-1st e-st1z-∫1z-1se-st dt=-1st e-st1z-1s2e-st1z
∫1ze-stt dt=-1sz e-sz+1s e-s-1s2e-sz-1s2e-s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
limz→∞∫1ze-stt dt=0+1s e-s-0+1s2e-s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
Fs=L [t]= e-s1s2+1s, s > 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função ft=cosh(kt), com $$k$$ real.
A alternativa "A " está correta.
Lembre-se de que
coshkt=ekt+e-kt2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℒ[cosh(kt)]=ℒekt+e-kt2=12ℒekt+12ℒe-kt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já obtivemos a Transformada de Laplace da função $$e^{kt}$$.
Assim,
L[ cosh(kt) ]=121s-k+121s--k
L[cosh(kt) ]=12s+k+(s-k)(s-k)(s+k)=ss2-k2 , s > k.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função ft=cos (kt), $$k$$ real.
A alternativa "D " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A função degrau unitário é definida por
ut-t0=0, t<t01, t≥t0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo t_0 o ponto onde a função dá um salto de descontinuidade.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Vamos determinar a Transformada de Laplace de u(t-t_0) e de u(t – 1)e^{2t} .
RESOLUÇÃO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$F(T)$$ VALE 1S2+42,
OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FT2.
A) 18s2+12
B) 4s2+42
C) 16s2+12
D) 8s2+42
E) s8s2-42
2. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA A FUNÇÃO F(T) =T2.
A) 2ss2+1
B) 1s2
C) 2s3
D) 1(s+1)2
E) s+1s2
GABARITO
1. Sabendo que a Transformada de Laplace da função $$f(t)$$ vale 1s2+42, obtenha a Transformada de
Laplace de ft2.
A alternativa "A " está correta.
 
Sabe-se que
L [ f(kt) ]=1kFsk→L [ f(0,5t) ]=2F2s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
F2s=2(2s)2+42=24s2+42=216s2+12=18s2+12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a Transformada de Laplace para a função f(t) =t2.
A alternativa "C " está correta.
 
Usando a definição
Fs=L [t2] =∫0∞e-st t2 dt
∫0∞e-stt dt=limz→∞∫0ze-stt2 dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, calcular a integral ∫0ze-stt2 dt
Usando integração por partes: u= t2→du=2tdt e dv=e-stdt→v=-1se-st
Assim,
∫0ze-stt dt=-1st2 e-st0z-∫0z-1se-st(2t) dt
∫0ze-stt dt=-1st2 e-st0z+2s∫0zte-st dt
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver a integral ∫0zte-st dt, vamos usar novamente a integração por partes:
Usando integração por partes: u= t→du=dt e dv=e-stdt→v=-1se-st
Logo,
∫0ze-stt dt=-1st e-st0z-∫0z-1se-st dt=-1st e-st0z-1s2e-st0z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo,
∫0ze-stt dt=-1st2 e-st0z+2s-1st e-st0z-2s1s2e-st0z
∫0ze-stt dt=-1st2 e-sz+1sz2-2s2z e-sz+2s2z-2s3e-sz+2s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
limz→∞∫0ze-stt2 dt=0-0+0-0+0+2s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, Fs=2s3 , s > 0.
MÓDULO 2
 Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO NA TRANSFORMADA DE
LAPLACE>
DERIVAÇÃO NA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Vamos estudar as propriedades da Transformada de Laplace que envolve a derivação e a integração. Iniciaremos
com a Transformada de Laplace da derivada de uma função, propriedade de grande aplicação na solução de
equações diferenciais.
TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DA FUNÇÃO
F(T):
Seja a função f(t) com Transformada de Laplace F(s).
LF'(T)=∫0∞F'(T)E-STDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes
U=E-ST→DU=(-S)E-STDT
DV=F'(T)DT→V=F(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫0∞f'(t)e-stdt=e-stf(t)0∞-∫0∞(-s)e-stf(t)
∫0∞f'(t)e-stdt=-f0+s∫0∞e-stf(t)dt
ℒf'=-f0+sℒf=sFs–f0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo, sucessivamente, esse procedimento, obtemos
ℒf''=s2Fs-sf0-f'0
ℒf'''=s3Fs-s2f0-sf'0-f''(0)
...
ℒf(n)=snFs-sn-1f0-sn-2f'0-…-sfn-2(0)-fn(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, obtivemos a fórmula para a Transformada de Laplace da derivada de qualquer ordem para uma
função. Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 4
Obtenha a Transformada de Laplace da função t^2, sabendo que a Transformada de Laplace da função t^4 vale
24s5:
RESOLUÇÃO
Seja a função f(t)\ =\ t^4. Sabe-se que f’(t) = 4 t^3 e f’(t) = 12 t^2
Assim,
Lf''=L 12 t2=12 L t2
Lf''=s2Fs-sf0-f'0=s224s5-s.04-4.03=24s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
12 L t2=24s3→L t2=2s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Obtenha a equação na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação diferencial y’’+2 y’+3y=0, sabendo
que y(0)=a e y’(0)=b, com a e b reais:
RESOLUÇÃO
Usando a propriedade
Lf'=sF(s)–f(0)
Lf''=s2Fs-sf0-f'(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Função f(t) = y
Aplicando a Transformada de Laplace nos termos da esquerda, sabe-se que a Transformada de Laplace do termo da
direita vale 0.
L [ y’’ + 2 y’ + y ]=L [y’’] + 2 L [ y’] + L[y]
= s2Ys-s y0-y'0+ 2 s Y(s) – 2y(0) +Y(s)=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando em uma equação algébrica
s2+2s+1Ys=s+2y0+y'0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
Ys=s+2y0+y'0s2+2s+1=s+2a+bs2+2s+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Estudaremos no próximo módulo a Transformada inversa que permitirá sair de Y(s) e obter a solução da Equação
Diferencial Ordinária — EDO.
 ATENÇÃO
A Transformada de Laplace só permite solucionar problemas de valores iniciais, isto é, que forneçam as condições
na origem. Caso as condições forem dadas em outros pontos, devemos usar a substituição de variável para
transformar nas condições na origem.
Vamos analisar, agora, o que acontece se derivarmos a Transformada de Laplace.
Seja a Transformada de Laplace F(s) da função f(t):
FS=ℒ [F(T)]=∫0∞E-ST FT DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos derivar ambos os lados em relação a variável s:
DFDSS=DDS∫0∞E-STF(T) DT=∫0∞DDS(E-ST) F(T) DT
DFDSS=∫0∞(-1)T(E-ST) F(T) DT=∫0∞(-1)TF(T)(E-ST) DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
DFDSS=L(-1)1T F(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando mais uma vez,
D2FDS2S=DFDS∫0∞-1E-STTF(T) DT=∫0∞DFDSE-ST-1TF(T) DT
D2FDS2S=∫0∞-1T E-ST-1TF(T) DT
D2FDS2S=∫0∞(-1)2T2 E-STF(T) DT
D2FDS2S=ℒ(-1)2T2 F(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo-se os passos, prova-se que
DNFDSNS=L (-1)NTN F(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se, então, dizer que
LTNF(T)=(-1)NDNFDSN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PORTANTO, SE MULTIPLICARMOS A FUNÇÃO PELA FUNÇÃO T^N,
DERIVAMOS A TRANSFORMADA DE LAPLACE EM UMA ORDEM N.
Vamos analisar os exemplos a seguir:
EXEMPLO 6
Obtenha a Transformada de Laplace da função f(t)\ =\ t^3:
RESOLUÇÃO
Poderíamos achar essa Transformada por meio da definição da Transformada de Laplace. Nessa solução,
usaríamos várias vezes a integração por partes, mas existe um caminho mais simples:
Poderemos considerar a função f(t)\ =\ t^3\ =\ t^3.1 e obter a Transformada de Laplace de f(t) = 1.
Usando a definição
Fs=L [1]=∫0∞e-st dt
∫0∞e-st dt=limz→∞∫0ze-st dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral \int_{0}^{z}{e^{-st}\ dt}:
∫0ze-st dt=1-s e-st0z=-1s e-sz+1s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
limz→∞∫0ze-st dt=limz→∞1s(1- e-sz)=-∞ , para s<01s, para s>0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos usar a propriedade:
L tnf(t)=(-1)ndnFdsn
L t3.1=(-1)3d3Fds3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Fs= 1s→F's=-1s2→F''s=2s3→F'''s=-6s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
L t3.1=(-1)3d3Fds3=6s3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAÇÃO NA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aqui, faremos um raciocínio análogo para as propriedades envolvendo a integração, iniciando com a integração da
Transformada de Laplace.
Seja a Transformada de Laplace F(s) da função f(t):
FS=ℒ [F(T)]=∫0∞E-ST FT DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos integrar ambos os lados em relação a variável s
∫S∞FSDS=∫S∞∫0∞E-ST FT DTDS
∫S∞FSDS=∫0∞FT∫S∞E-ST DS DT
∫S∞FSDS=∫0∞FT1TE-STDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫S∞FSDS=L 1TF(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, pode se dizer que
L1TF(T)=∫S∞FSDS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POR ISSO, SE CONHECERMOS A TRANSFORMADA DE F(T)
PODEMOS OBTER A TRANSFORMADA DE 1TF(T) POR MEIO DE
UMA INTEGRAÇÃO DE F(S). SE DESEJARMOS A TRANSFORMADA
DE 1T2FT, INTEGRAREMOS DUAS VEZES E, ASSIM,
SUCESSIVAMENTE.
Confira os exemplos a seguir:
EXEMPLO 7
Obtenha a Transformada de Laplace da função g(t) = 1t:
RESOLUÇÃO
Já calculamos a Transformada de Laplace de f(t)\ =\ 1.
F(s)= 1s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo
gt=1t=1t . 1,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
L1tf(t)=∫s∞Fsds
ℒ1t=ℒ1t1=∫s∞1sds=lnss∞=∞-lns=∞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, essa Integral Imprópria não existe, pois não deu como resultado um número real.
Desse modo, não existe Transformada de Laplace da função g(t)=\frac{1}{t}.
Por fim, vamos aproveitar e ver uma propriedade que ainda não foi vista, que determinaa Transformada de Laplace
da integração de uma função f(t). Assim:
ℒ∫0tfwdw=∫0∞∫0tfwdwe-stdt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes:
u=∫0tfvdv→du=f(t)dt
dv=e-stdt→v=-1se-st
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
∫0∞∫0tfwdwe-stdt=-1se-st∫0tfvdv0∞-∫0∞-1se-stf(t)dt
∫0∞∫0tfwdwe-stdt=0+1s∫0∞e-stftdt= 1sF(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a propriedade nos diz que
L∫0tfwdw=1sF(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare, portanto, que basta dividir a Transformada de Laplace de F(s) por s que se obtém a Transformada da
integral de uma função.
EXEMPLO 8
Sabendo que a Transformada de Laplace de f(t) = cos (2t) vale Fs=ss2+4. Determine a Transformada da função
f(t) = sen (2t).
RESOLUÇÃO
Sabe-se que
∫0tcos(2t)dt=12sen 2t0t=12sen2t
L∫0tcos2tdt=1sFs,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo F(s) a Transformada de cos(2t)
L∫0tcos2tdt= L12sen(2t)=12Lsen(2t)=1s. ss2+4=1s2+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Lsen(2t)=2s2+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA
FUNÇÃO $$T^3$$, SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO
$$T^5$$ VALE 120S6.
A) 3s3
B) 2s5
C) 6s3
D) 9s3
E) 6s4
2. DETERMINE A EQUAÇÃO ALGÉBRICA NA VARIÁVEL DE LAPLACE QUE AUXILIARÁ NO
CÁLCULO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y’’ - 3Y’ + 5Y = 0, SABENDO QUE Y(0) = 5 E
Y’(0) = 1.
A) 5s+14s2-3s+5
B) 5s-14s2-3s+5
C) 5ss2-3s+5
D) 5s+14s2+3s-5
E) ss2+3s+5
3. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO G(T)=T COS T, SABENDO
QUE L [COS T]=SS2+1.
A) 2s2-1s2-12
B) s-1s+1
C) 1-s2s2+12
D) s2-1s2+12
E) s2s2+12
4. USANDO A TRANSFORMADA DA INTEGRAL DE $$F(T)$$, OBTENHA A
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE F(T) = COS (4T), SABENDO QUE A TRANSFORMADA
DE SEN (4T) VALE FS=4S2+16.
A) ss2+16
B) s+1s2-16
C) 2ss2-16
D) 4s2+16
E) s2s2+16
5. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO HT=T2ETCOST.
A) s2-2s-2(2+2s)s2-2s+22
B) s2+2s+2(2-2s)s2-2s+23
C) -s2+2s+2(2-2s)s2-2s+23
D) -s2+2s+2(2+2s)s2-2s+23
E) -s2-2s-2s2-2s+23
6. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO GT=SEN(T)T.
A) arctg(s)
B) arctgs+π2
C) π2
D) π2-arctg(s)
E) ln(s)
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace da função $$t^3$$, sabendo que a
Transformada de Laplace da função $$t^5$$ vale 120s6.
A alternativa "E " está correta.
Seja a função f(t) = t5.
Sabe-se quef’(t) = 5 t4 e f’’(t) = 20 t3
Assim,
Lf''=L 20 t3=20 L t3
Lf''=s2Fs-sf0-f'0=s2120s6-s.05-5.04=120s4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
20L t3=120s4→L t3=6s4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a equação algébrica na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação diferencial
y’’ - 3y’ + 5y = 0, sabendo que y(0) = 5 e y’(0) = 1.
A alternativa "B " está correta.
Usando a propriedade
Lf'=sF(s)–f(0)
Lf''=s2Fs-sf0-f'(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função f(t) = y
Aplicando a Transformada de Laplace nos termos da esquerda; Sabe-se que a Transformada de Laplace do termo
da direita vale 0.
L[ y’’-3y’+5y]=ℒ[y’’]- 3ℒ[y’]+ 5 L[y]
= s2Ys-s y0-y'0 – 3s Y(s)+ 3 y(0) +5 Y(s)=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando em uma equação algébrica
s2-3s+5Ys=s-3y0+y'0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Ys=s-3y0+y'0s2-3s+5=s-35+1s2-3s+5=5s-14s2-3s+5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a Transformada de Laplace da função g(t)=t cos t, sabendo que L [cos t]=ss2+1.
A alternativa "D " está correta.
Sabemos pela propriedade que
Ltnf(t)=(-1)ndnFdsn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
Lg(t)=ℒtf(t)=(-1)1dFds
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como Fs=ss2+1:
F’s=1.s2+1-s(2s)s2+12=1-s2s2+12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
Lg(t)=–1 1-s2s2+12=s2-1s2+12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Usando a Transformada da integral de $$f(t)$$, obtenha a Transformada de Laplace de f(t) = cos (4t),
sabendo que a Transformada de sen (4t) vale Fs=4s2+16.
A alternativa "A " está correta.
Sabe-se que
∫0tsen 4t dt=-14cos 4t0t=14-14cos 4t
ℒ∫0tsen4tdt=1sFs,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo $$F(s)$$ a Transformada de sen (4t)
ℒ∫0tsen4tdt=1s. 4s2+16=4ss2+16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℒ∫0tsen4tdt= L14-14cos 4t=14L1-14Lcos(4t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Lcos(4t)= L1-4L ∫0tsen4tdt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já sabemos que L[1] = 1s
Portanto,
Lcos(4t)= 1s-44ss2+16=s2+16-16ss2+16=s2ss2+16=ss2+16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Obtenha a Transformada de Laplace da função ht=t2etcost.
A alternativa "C " está correta.
6. Obtenha a Transformada de Laplace da função gt=sen(t)t.
A alternativa "D " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos obter a solução do problema de valor inicial dado pela equação y’–y =0 com y(0)=1.
RESOLUÇÃO
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando a propriedade da derivada, isto é, L f'=s F(s) –
 f(0)
L [ y’ – y ] = L [ 0] = 0 
sYs-y(0)-Ys=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
Ys=y0s-1=1s-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já sabemos que 1s-1 é a transformada de Laplace da função e^t
Assim, y(t)=e^t.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA
FUNÇÃO
FT=14SEN2T+T2COS2T,
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
SABENDO QUE É A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE T4SEN(2T) VALE SS2+42.
A) ss2+42
B) s2s2+42
C) s2s2+4
D) s2s2-42
E) 2s2s2+s2
2. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO GT =ET-1T.
A) ss-1
B) ss+1
C) lnss-1
D) ln[ss-1]
E) es+1
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace da função
ft=14sen2t+t2cos2t,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sabendo que é a Transformada de Laplace de t4sen(2t) vale ss2+42.
A alternativa "B " está correta.
 
Seja a função
gt=t4sen(2t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabe-se que
g't=14sen2t+t2cos(2t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é a função desejada.
Assim,
Lg'=sGs – g0=sss2+42-04sen0=s2s2+42
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Obtenha a Transformada de Laplace da função gt =et-1t.
A alternativa "C " está correta.
 
Pela propriedade
L1tf(t)=∫s∞Fsds
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Precisamos descobrir a Transformada de Laplace de ft= et-1
L[ et –1]=L[et]–L[1]=1s-1-1s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L1tet-1=∫s∞1s-1-1s ds
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma integral imediata
L1tet-1=lns-1s∞-lnss∞=0-lns-1-0+lns
L1tet-1=lns-lns-1=lnss-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a Transformada de LaplaceTABELA DA TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE E SUAS
APLICAÇÕES
TABELA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Até aqui, definimos a Transformada de Laplace e aprendemos a obter as Transformadas de diversas funções. No
entanto, existem, na literatura, tabelas que já apresentam as Transformadas das principais funções matemáticas, não
sendo necessário, às vezes, calculá-las. Neste módulo, vamos analisar como aplicar a Tabela das Transformadas,
bem como definiremos a Transformada Inversa de Laplace.
FUNÇÃO TRANSFORMADA
1 1s
tn n!sn+1
ekt 1s-k
sen(kt) ks2+k2
cos(kt) ss2+k2
senh(kt) ks2-k2
cosh(kt) ss2-k2
ewtsen(kt) k(s-w)2+k2
t sen(kt) 2kss2+k2
ewtcos(kt) s(s-w)2+k2
t cos(kt) s2-k2s2+k2
tn-1ektn-1! 1(s-k)n (n≥1)
12k3(senkt-ktcoskt) 1s2+k22
t2ksenkt ss2+k22
∫0tt2nL-11s2+k2ndt 1s2+k2n+1
t2nL-11s2+k2n ss2+k2n+1
u(t – t0 ) e-t0ss
u(t – t0 )f(t – t0) e-t0s F(s)
u(t – t0 )f(t) e-t0s F(s+t0)
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela - Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
FUNÇÃO TRANSFORMADA
k1ft+k2gt k1Fs+k2Gs
f’(t) sF(s) – f(0)
f’’(t) s2Fs-sf0-f'0
f(n)(t) s2Fs-sn-1f0-…-fn-10
∫otftdt Fss
∫ktftdt Fss-1s∫okftdt
ektf(t) F(s – k )
tnft -1ndnFdsns
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela - Propriedades das Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 9
Obtenha a Transformada de Laplace de:
h(t) = 4 cos (3t) + 8 e2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
L [ cos (kt)]=ss2+k2eL [ ekt]=1s-k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
L[ cos (3t)]=ss2+9eL [ e2t]=1s-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
L [ 4 cos (3t) + 8 e2t ]=4L[cos(3t)]+8L[ e2t]=
=4ss2+9+81s-2=4ss-2+8(s2+9)(s2+9)(s-2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 10
Obtenha a Transformada de Laplace de:
gt=∫0t∫0tcosh(t)dtdt:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
O enunciado pede a Transformada da função, que é obtida integrando-se duas vezes a função cosh(t).
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
L [ cosh (kt)] =ss2-k2→L [ cosh (t)] = ss2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L [∫otftdt]=F(s)s,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então
L[∫0t∫0tf(t)dtdt]=1sF(s)s=F(s)s2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas Fs=ss2-1
Assim,
L [∫0t∫0tftdtdt]=Fss2=1ss2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Determine a Transformada de Laplace para a função
ft=0, t<2t4, t≥2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A função representa uma função multiplicada por um degrau que inicia em t=2.
Analisando a tabela, obtemos
L [ tn]=n!sn+1→L[ t4]=4!s4+1=24s5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L [ u(t –t0)f(t)]=e-t0s F(s+t0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L [ u(t –2)f(t)]=e-2s 24(s+2)5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSFORMADA INVERSA
Como já analisamos, a Transformada de Laplace permite transformar uma variável, usando uma transformação
integral. A pergunta é:
COMO FAZER A TRANSFORMAÇÃO INVERSA PARA QUE,
APÓS A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA, OBTENHAMOS A
RESPOSTA NA VARIÁVEL ORIGINAL?
Existem algumas formas de se fazer isso. Neste módulo, analisaremos juntos o procedimento, por meio da
observação da tabela de Transformadas de Laplace, se for o caso, com o método das frações parciais.
Representaremos a Transformada inversa pelo símbolo ℒ-1.
Logo,
L-1[F(S)] = F(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Antes de aplicarmos a teoria nos exemplos, vamos ver algumas propriedades da Transformada Inversa, que podem
ser úteis:
A
LINEARIDADE:
L-1 [ k1 F1(s) + k2 F2(s) ]= k1 L-1 [F1(s)] + k2 L-1 [ F2(s)]
B
DESLOCAMENTO:
L-1 [ F (s – k)] = ekt L-1 [F(s)]
C
L-1 [ s F(s)] = ddt L-1[F(s)]
D
L-1F(s)s=∫0tL-1Fsdt
As propriedades das letras C e D garantem que, ao se verificar a inversa, podemos desconsiderar os termos s que
multiplicam ou dividem, para depois apenas derivar ou integrar, respectivamente, a função inversa obtida:
E
L-1F(ks)=1kftk
F
L-1dnFdsn(s)=(-t)nL-1[Fs]
Assim, para determinarmos a inversa de uma derivada devemos obter a inversa da função e depois multiplicar pelo
fator {(-t)}^n. As demonstrações dessas propriedades podem ser analisadas nas referências deste conteúdo.
Vejamos, agora, um exemplo de aplicação direta da tabela:
EXEMPLO 12
Determine a função f(t), sabendo que
Fs =5ss2+64.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Analisando a tabela Transformadas de Laplace, verifica-se que existe uma função que tem Transformada ss2+64,
que é a função cos(8t).
Pela linearidade
L-1 [ 5 F1(s) ] = 5 L-1 [F1(s)] 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, f(t) será 5 cos (8t)
Poderíamos também fazer por outro caminho
Fs =5ss2+64=5 s 1s2+64=58s8s2+64
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que
L-18s2+64=sen(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L-1[sF(s)]=ddtL-1[F(s)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
L-18ss2+64=ddtsen8t=8cos(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela linearidade
L-1[58F1(s)]=58L-1[F1(s)]=5cos(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nem sempre esses termos são a resposta que procuramos, necessitando, às vezes, de uma manipulação
matemática.
EXEMPLO 13
Determine a função f(t), sabendo que
Fs =(s-1)s2-2s+2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Observando o numerador, verifica-se que existe um descolamento s–1.
Assim, vamos ver se o denominador aparece também com esse fator:
s2-2s+2=s2-2s+1+1=s-12+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
Fs = Gs –1=(s-1)s-12+1
L–1[ G (s – k)] = ekt L–1 [G(s)]
L–1 [ G (s – 1)] = et L–1 [G(s)]=et L-1 [ss2+1]= et cos(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Nos problemas mais complexos, necessitaremos usar o método das frações parciais, que já aprendemos quando
estudamos métodos de integração. Por meio das frações parciais, podemos transformar uma fração em várias
parcelas e depois tentar associar cada uma à Transformada Inversa que se encontra na tabela.
FRAÇÕES PARCIAIS
O método de frações parciais é um método de fatoração de polinômios que transforma um polinômio de certo grau,
em uma sucessão de multiplicações de polinômios de menor grau.
O MÉTODO SE INICIA FATORANDO O POLINÔMIO DO
DENOMINADOR, Q(X), EM FATORES LINEARES DO TIPO X-
P, P REAL, E FATORES QUADRÁTICOS IRREDUTÍVEIS DO
TIPO \LEFT(AX^2+BX+C\RIGHT), SENDO A, B E C REAIS E
A2-4BC<0.
Existe um teorema da álgebra que garante que sempre será possível fazer essa fatoração. Os fatores lineares
correspondem às raízes reais do polinômio Q(x) e os fatores quadráticos irredutíveis às raízes complexas
conjugadas do polinômio Q(x).
Dividiremos o método em quatro casos:
Q(X) APENAS COM RAÍZES REAIS SEM MULTIPLICIDADE
Seja o polinômio Q(x) de grau n, que apresenta apenas n raízes reais sem multiplicidade.Para esse caso, após a
fatoração de Q(x), ele será transformado em um produto de fatores lineares diferentes entre si:
Qx=kx-α1x-α2…x-αn,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com k real e \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n raízes reais.
Assim, a função
fx=P(x)Q(x)=P(x)kx-α1x-α2…x-αn=A1x-α1+A2x-α2+…+Anx-αn,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com A_1, A_2, \ ...\ , \ A_n reais.
Cada raiz real \alpha_j corresponderá a uma parcela do tipo Ajx-αj.
Os valores de A_1,\ A_2,\ ...,\ A_n serão obtidos colocando-se o lado direito com o mesmo denominador e igualando-
se P(x) com o numerador que se obterá na direita.
Veja o exemplo a seguir:
5x+2x2-2x-3=5x+2(x+1)(x-3)=A(x+1)+B(x-3)=Ax-3+B(x+1)(x+1)(x-3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, escrever
5x+2(x+1)(x-3)=Ax-3+B(x+1)(x+1)(x-3)
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Uma vez que os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores
5x+2=Ax-3+B(x+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos reescrever da seguinte forma
5x+2=A+Bx-3A+B
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Igualando os fatores, temos
5x=A+Bx2=-3A+B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solucionando o sistema, temos: A=34 e B=6
Q(X) APRESENTA RAÍZES REAIS COM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá apenas raízes reais, porém, algumas sem e outras com multiplicidade.
Lembre-se de que multiplicidade é o número de vezes que a mesma raiz aparece no polinômio.
Após a fatoração de Q(x), ele será transformado em um produto de fatores lineares elevados à sua multiplicidade.
Qx=k(x-α1)r1(x-α2)r2…(x-αn)rn,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com k real, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n, reais e r_1, r_2, \ldots, r_n naturais diferentes de zero. O número r_j
corresponde à multiplicidade da raiz α_j.
O raciocínio é análogo ao caso anterior. Toda raiz real \alpha_j sem multiplicidade, ou que seria sinônimo, de
multiplicidade 1 (r=1), será transformada em uma parcela do tipo Ajx-αj.
Toda raiz real \alpha_i com multiplicidade (r\neq1) será transformada em r termos do tipo:
B1x-αj+B2x-αj2+…+Brx-αjr, com B1, B2,…, Br reais
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Após a transformação de fx=P(x)Q(x) na soma de parcelas que foram definidas, a solução segue os mesmos passos
do primeiro caso.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS SEM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá pelo menos um par de raízes complexas sem multiplicidade. Lembre-se
de que na álgebra as raízes complexas aparecem em pares (complexos conjugados).
Assim, Q(x), após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas sem repetição, um termo do tipo
(ax^2+bx+c), com b^2-4ac, que são fatores quadrados irredutíveis, isto é, não podem ser transformados no produto
de dois fatores lineares.
Cada par de raízes complexas terá uma parcela associada do tipo Ax+Bax2+bx+c com A,B, a,b e c reais.
As raízes reais com ou sem multiplicidade, que podem aparecer, seguem o raciocínio dos itens anteriores. Os
demais passos são idênticos aos casos apresentados.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS COM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com multiplicidade r. Desse
modo, Q(x), após a fatoração, apresentará para cada par de raízes complexas com multiplicidade r um termo
quadrático irredutível elevado a sua multiplicidade, ou seja, {(ax^2+bx+\ c)}^r, com a, b e c reais e r natural maior do
que 1.
Cada par de raízes complexas com multiplicidade r estará associada a uma soma de parcelas do tipo
Ax+Bax2+bx+c +Cx+Dax2+bx+c2 +…+Ex+Fax2+bx+cr 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo r a multiplicidade do par de raízes.
As demais raízes reais e complexas que aparecerem sem multiplicidade seguem os termos vistos nos casos
anteriores. Os demais passos são idênticos aos apresentados.
Vejamos um exemplo de Transformada Inversa usando frações parciais:
EXEMPLO 14
Determine a função cuja Transformada de Laplace vale 3s-2s3+s2+4s+4.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o método de frações parciais para desenvolver melhor o quociente
3s-2s3+s2+4s+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo as raízes do denominado
Q(x)=s3+s2+4s+4=(s+1)(s2+4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, usando o método das frações parciais
3s-2s3+s2+4s+4=As+1+Bs+Cs2+4
3s –2≡As2+4+Bs+Cs+1=As2+4A+Bs2+Bs+Cs+C
3s –2≡(A+B)s2+B+Cs+4A+C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
A+B=0B+C=34A+C=-2→4A+3+A=-2→A=-1→B=1→C=2
3s-2s3+s2+4s+4=-1s+1+s+2s2+4=-1s+1+ss2+4+2s2+4
L–13s-2s3+s2+4s+4=L–1-1s+1+L–1ss2+4+L–12s2+4
L–13s-2s3+s2+4s+4=-e-t+sen2t+cos2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE, USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A TRANSFORMADA DE
LAPLACE DA FUNÇÃO
F(T)=9 COSH(3T).
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 9s2-9
B) 9ss2-9
C) ss2-9
D) 9ss2+9
E) ss2+9
2. DETERMINE A FUNÇÃO $$G(T)$$, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE VALE 1(S-2)3.
A) t2et4
B) t2e2t4
C) t2et2
D) te2t2
E) t2e2t2
3. USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA
FUNÇÃO
F(T)=6T E3TSEN(2T)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
É IGUAL A:
A) 4(s-3)s2+6s+132
B) (s+3)s2-6s+32
C) 24(s-3)s2-6s+132
D) 24(s+3)s2-6s+92
E) (s+3)s2-6s+132
4. DETERMINE A FUNÇÃO $$F(T)$$, SABENDO QUE
FS=S+8S2+16S.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) e–8t cos(8t)
B) e–8tcosh(8t)
C) e–4tcosh(4t)
D) e–4tcosh(8t)
E) e8tcosh(8t)
5. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA A FUNÇÃO
FT=0, T<3COS(2T), T≥3
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) e-s(s+3)s2+6s+13
B) e-3s(s-3)s2-6s+13
C) e+3s(s-3)s2-6s+13
D) e-3s(s+3)s2+6s+13
E) e3sss2+6s+13
6. DETERMINE A FUNÇÃO, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE VALE 2S2+1S3+2S2
A) 12-32cos(2t)
B) 12+32sen(2t)
C) 12+32cos(2t)
D) 12-32sen(2t)
E) 12+32cos(2t)
GABARITO
1. Determine, usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
f(t)=9 cosh(3t).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Analisando as tabelas, verificamos que
L [cosh (kt)]=ss2-k2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L [ cosh (3t) ]=ss2-9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
L [9cosh (3t)] = 9 L cosh 3t=9ss2-9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função $$g(t)$$, cuja Transformada de Laplace vale 1(s-2)3.
A alternativa "E " está correta.
Analisando a tabela, temos
Ltn-1ektn-1!=1(s-k)n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com o enunciado L–11(s-2)3, isso é $$n=3$$ e $$k=2$$.
Portanto,
L–11(s-2)3=t3-1e2t3-1!=t2e2t2!=t2e2t2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
f(t)=6t e3tsen(2t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é igual a:
A alternativa "C " está correta.
Analisando as tabelas, verificamos que
L[sen 2t]=2s2+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L [e3t sen 2t]=Gs=Fs – 3=2(s-3)2+4=2s2-6s+13
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma que
L [t gt]=–11G’s=–2(6-2s)s2-6s+132=2(2s-6)s2-6s+132
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
L [ 6t e3t sen2t]=64(s-3)s2-6s+132=24(s-3)s2-6s+132
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a função $$f(t)$$, sabendo que
Fs=s+8s2+16s.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Observando o numerador, vemos que existe um descolamento $$s+8$$.
Então, vamos verificar se o denominador aparece também com esse fator.
s2+16s=s2+16s+64-64=s+82-64
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Fs= G(s +8) =(s+8)s+82-64
L–1[G(s–k)]=ekt L–1[G(s)]
L–1 [G (s +8)] = e–8t L–1 [G(s)]= e–8t L-1 ss2-64= e–8t cosh(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a Transformada de Laplace para a função
ft=0, t<3cos(2t), t≥3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
A função representa uma função multiplicada por um degrau que inicia em $$t = 3$$.
Analisando a tabela Transformadas de Laplace, obtém-se
L [cos(kt)]=ss2+k2→L [cos(2t)]=ss2+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L [u(t –t0)f(t)]=e-t0s Fs+t0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
ℒ [ u(t – 3) f( t ) ] =e-3s(s+3)(s+3)2+4=e-3s(s+3)s2+6s+13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a função, cuja Transformada de Laplace vale 2s2+1s3+2s2
A alternativa "E " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Obtenha a solução da equação diferencial y’’+2y’+y =et ou y(0)=y’(0)=0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE, USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A TRANSFORMADA DE
LAPLACE DA FUNÇÃO
F(T) = COSH(4T) – 2 SENH(2T).
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) s3+4s2+4s+64(s-4)(s+4)(s-2)(s+2)
B) s3-4s2-4s+64(s-4)(s+4)(s-1)(s+1)
C) s3-4s2-4s+64(s-4)(s+4)(s-16)(s+16)
D) s3-4s2-4s+64(s-4)(s+4)(s-2)(s+2)
E) s3-64(s-4)(s+4)(s-2)(s+2)
2. DETERMINE A FUNÇÃO $$G(T)$$, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE VALE 1(S-4)5.
A) t4e4t24
B) t2e2t4
C) t4e4t6
D) te2t2
E) t2e2t2
GABARITO
1. Determine, usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
f(t) = cosh(4t) – 2 senh(2t).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
 
verificamos que
ℒ[cosh(kt)]=ss2-k2eℒ[senh(kt)]=ks2-k2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
ℒ[cosh(4t)]=ss2-16
ℒ[senh(2t)]=2s2-4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
ℒ[cosh(4t)–2senh(2t)]=Lcosh 4t-2L senh 2t=ss2-16-22s2-4
ℒ[cosh(4t)–2senh(2t)]=s3-4s2-4s+64(s-4)(s+4)(s-2)(s+2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função $$g(t)$$, cuja Transformada de Laplace vale 1(s-4)5.
A alternativa "A " está correta.
 
Temos
ℒtn-1ektn-1!=1(s-k)n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com o enunciado ℒ-11(s-4)5, ou seja, $$n = 5$$ e $$k = 4$$.
Portanto,
ℒ-11(s-4)5=t5-1e4t5-1!=t4e4t4!=t4e4t24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Formular a série e a Transformada de Fourier
SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER
SÉRIES DE FOURIER
A série de Fourier é uma série trigonométrica e de grande aplicação na aproximação de funções periódicas. Neste
módulo, estudaremos como calcular os termos da série e como aproximar uma função por meio da série de Fourier.
 VOCÊ SABIA
Para funções não periódicas, a série de Fourier se torna uma Transformada Integral denominada de Transformada
de Fourier, que pode ser utilizada nas soluções de problemas em várias áreas da Ciência e da Engenharia.
VOCÊ JÁ CONHECE A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA?
Seja a_n uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções do tipo
SNX=∑0NANCOSNX+BNSEN(NX)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com sua soma dada por
SX=∑0∞ANCOSNX+BNSEN(NX)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
O nome trigonométrica vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da série são funções
trigonométricas em seno e cosseno.
Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno quanto a função cosseno são
periódicas.
Vamos, agora, definir uma série trigonométrica que convergirá para funções definidas no domínio [– π, π]. Esta será
a série de Fourier.
FX=∑0∞ANCOSNX+BNSEN(NX)=A02+∑1∞ANCOSNX+BNSEN(NX)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seus coeficientes, denominados de coeficientes de Fourier, são determinados pelas seguintes equações:
A0=1Π∫-ΠΠFXDX
AN=1Π∫-ΠΠFXCOSNXDX, N ≥1
BN=1Π∫-ΠΠFXSENNXDX, N ≥1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESSALTA-SE QUE ESSA SÉRIE CONVERGIRÁ PARA UMA
FUNÇÃO F(X) NO INTERVALO [– Π, Π], DESDE QUE ESSA FUNÇÃO
SEJA CONTÍNUA POR PARTES ATÉ A SUA SEGUNDA DERIVADA.
REPARE QUE ESSA SÉRIE SE REPETE A CADA PERÍODO DE X =
2Π. ASSIM, S_N\LEFT(X\RIGHT)=S_N\LEFT(X+2K\PI\RIGHT) E S(X) =
S(X+2KΠ), COM K INTEIRO.
As equações dos coeficientes de Fourier podem ser encontradas nas obras de referência deste conteúdo.
EXEMPLO 15
Seja a função f(x) = x no intervalo de [– π, π]. Determine a série de Fourier para essa função f(x).
RESOLUÇÃO
Determinando os coeficientes
a0=1π∫-ππfxdx=1π∫-ππxdx=1πx22-ππ=0
an=1π∫-ππfxcosnxdx=1π∫-ππxcosnxdx=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que o integrando é uma função ímpar, por isso, as duas integrais resultaram no valor zero
bn=1π∫-ππfxsennxdx=1π∫-ππxsennxdx=2π ∫0πxsennxdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo por integração por partes
u=2πx→du=2πdx
dv=sennxdx→v=-1ncos(nx)
bn=2π∫0πxsennxdx=2πx-1ncos(nx)0π-2π∫0π-1ncos(nx)dx
bn=2π-xncos(nx)0π+2π-1n2sen(nx)0π
bn=-2ππncosnπ=-2ncos(nπ)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cos(nπ) terá valor de 1 para n par e – 1 para n ímpar. Então, podemos colocar na seguinte fórmula:
bn=(-1)n+12n, para n≥1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a série de Fourier será:
fx=∑1∞(-1)n+12nsen(nx)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que é uma série ímpar, pois f(x) = x também é ímpar.
No entanto, podemos definir uma série de Fourier para qualquer outro intervalo de convergência diferente de [– π ,
π]. Considere uma função definida agora no período T_0, assim, iremos criar uma série de Fourier para o domínio de
-T02,T02. Vamos definir a frequência f como o inverso do período f=1T0 e w = 2πf.
Assim, a série de Fourier será dada por
FX=∑0∞ANCOSNWX+BNSEN(NWX)=A02+∑1∞ANCOSNWX+BNSEN(NWX)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com coeficientes de Fourier dados por
A0=2T0∫-T0/2T0/2FXDX
AN=2T0∫-T0/2T0/2FXCOSNWXDX , N ≥1
BN=2T0∫-T0/2T0/2FXSENNWXDX, N ≥1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se usarmos a definição de seno e cosseno pelas exponenciais:
COSNWX=EJNWX+E-JNWX2 E SENNWX=EJNWX-E-JNWX2J
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo j a unidade imaginária j^2= –1.
Podemos, então, representar a série, substituindo as expressões acima, obtendo
FX=A02+12∑1∞(AN-JBN)EJNWX+12∑1∞(AN+JBN)E-JNWX Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal série será igual a cada período de T_0, sendo, por isso, utilizada para aproximar funções periódicas, pois, a cada
período, a série dará os mesmos valores.
 ATENÇÃO
Um ponto importante: os coeficientes representam as amplitudes dos senos e dos cossenos, enquanto o valor de w
representa as frequências ou períodos dos senos e dos cossenos.
Observe que para T_0 = 2π, temos w = 1 e a série geral se transforma na série para uma função no período de [– π,
π].
O QUE ACONTECE SE O PERÍODO T_0 TENDER AO
INFINITO?
Teremos uma função de período infinito, o que significa se tratar de uma função não periódica. Neste caso, a série de
Fourier vai se tornar a Transformada de Fourier. Podemos, portanto, dizer que a série é um caso particular da
Transformada de Fourier quando f(t) for periódica, desde que a função f(t) atenda determinadas condições.
POR ISSO, DIZ-SE QUE A SÉRIE É EMPREGADA EM FUNÇÕES
PERIÓDICAS E A TRANSFORMADA SERÁ EMPREGADA PARA
QUALQUER FUNÇÃO, MESMO AS NÃO PERIÓDICAS.
Vamos estudar agora a Transformada de Fourier.
TRANSFORMADAS DE FOURIER
Assim como a Transformada de Laplace, a Transformada de Fourier é uma Transformada integral.
 EXEMPLO
Ela permite tornar uma equação diferencial lineares de coeficientes constantes em equações algébricas. Enquanto a
série de Fourier é bastante utilizada para sinais periódicos, a Transformada de Fourier pode ser aplicada em um
grupo de funções, não periódicas, bem amplo.
A Transformada de Fourier irá decompor uma função em um somatório de senos e cossenos de diferentes
amplitudes, frequência e fases.
Seja uma função f(t) contínua, a Transformada de Fourier de f(t) será definida por
ℱ[F(T)]=F(W)=∫-∞∞F(T)E-JWTDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a Transformada inversa de Fourier definida por
ℱ–1[F(W)]=F(T)=12Π∫-∞∞F(W)EJWTDW
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEMBRE-SE DE QUE
E-JWT=COSWT-JSEN(WT)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 16
Determine a Transformada de Fourier para a função
ft =e-kt, t≥00, t<0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com k > 0.
RESOLUÇÃO
ℱ[f(t)]=F(w)=∫-∞∞f(t)e-jwtdt
Fw=∫0∞e-kte-jwtdt=∫0∞e-(k+jw)tdt=-1k+jwe-jwt0∞=1k+jw
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de analisar, é que a Transformada de Fourier transforma uma função f(t) no domínio do tempo, para uma
função F(w) no domínio da frequência. Não iremos apresentar matematicamente como a série se torna a
Transformada, ou vice-versa.
FICA O CONCEITO DE QUE QUANDO O PERÍODO T_0 TENDE AO
INFINITO E O NÚMERO DE TERMOS N DA SÉRIE CRESCE
INFINITAMENTE, O SOMATÓRIO VIRA UMA INTEGRAL E A SÉRIE
SE CONVERTE NA TRANSFORMADA DE FOURIER.
Para se existir uma Transformada de Fourier, basta que a integral imprópria que a define apresente como valor um
número real, isto é, seja convergente.
Vejamos algumas propriedades da série de Fourier (Considere que F(w) = ℱ[f(t)]):
LINEARIDADE
DESLOCAMENTO NO TEMPO
MUDANÇA DE ESCALA
LINEARIDADE
ℱk1ft+k2g(t)=k1F(w)+k2G(w)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESLOCAMENTO NO TEMPO
ℱft-k=e-jkwF(w)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MUDANÇA DE ESCALA
Fkft=1kFwk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 17
Determine a Transformada de Fourier para a função g(t)=e-kt, com k > 0.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a Transformada da função
Ft =e-kt, t≥00, t<0→Fw=1k+jw
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que podemos definir a função g(t) desse exemplo em função da função f(t)
gt=e-kt, t≥0ekt, t<0→gt=ft+f-t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando as propriedades linearidade
ℱ [ g(t) ] = ℱ [ f(t)] + ℱ [ f(– 1)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da mudança de escala para ℱ [ f(– 1)] = F(– 1 )
ℱ [ g(t) ]=G(w)=F(w) + F(– w) =1k+jw+1k-jw=2kk2+w2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivada:
Ff't=jwFft
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que a Transformada da derivada é a Transformada da função multiplicada pelo fator jw.
Para sucessivas derivadas
ℱf(n)t=jwnℱft
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SEJA A FUNÇÃO
 FX=0 , -Π≤X<02, 0≤X≤Π
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
DETERMINE A SÉRIE DE FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 2+∑1∞2πnsennx
B) 4+∑1∞4πncosnx
C) 1+∑1∞1πncosnx
D) 4+∑1∞4πnsennx
E) 2+∑1∞2πncosnx
2. DETERMINE A TRANSFORMADA DE FOURIER PARA FUNÇÃO
FT=2 , -K≤T≤K0, DEMAIS CASOS ,
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
QUE É UM PULSO RETANGULAR DE AMPLITUDE 2 E ABERTURA 2K CENTRADO NA
ORIGEM.
A) sen(kw)8wj
B) 2cos(kw)wj
C) sen(kw)wj
D) 4sen(kw)w
E) 2cos(kw)w
3. OBTENHA A SÉRIE DE FOURIER PARA A FUNÇÃO
GT=Π-T, 0≤T<Π-Π-T, -Π≤T<0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) ∑1∞2ncosnx
B) ∑1∞2πnsennx
C) ∑1∞2πncosnx
D) ∑1∞1nsennx
E) ∑1∞2nsennx
4. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO FT=EJW0T VALE
FW=2ΠΔ(W-W0), SENDO Δ A FUNÇÃO IMPULSO, DETERMINE, POR MEIO DAS
PROPRIEDADES, A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO G(T)=COS(W0T).
A) 2π[δw-w0]
B) jπ[δw-w0+δ(w+w0)
C) jπ[δw-w0-δ(w+w0)
D) π[δw-w0+δ(w+w0)
E) 2π[δ(w+w0)]
5. SEJA A FUNÇÃO F(X)=2X2 NO INTERVALO DE $$[– Π, Π]$$. DETERMINE A SÉRIE DE
FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) π23+∑1∞(-1)n8n2cos(nx)
B) 2π23+∑1∞(-1)n+18n2sen(nx)
C) 4π23+∑1∞(-1)n8n2cos(nx)
D) 4π23+∑1∞(-1)n8n2sen(nx)
E) 4π23+∑1∞(-1)n+14n2cos(nx)
6. DETERMINE A TRANSFORMADA DE FOURIER PARA A FUNÇÃO TRIANGULAR
FT=1-T, -1≤1≤10, DEMAIS CASOS
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 2-2cos(w)jw2
B) 2-2cos(w)w2
C) 2+2sen(w)w2
D) 2-2sen(w)w2
E) 2+2cos(w)w2
GABARITO
1. Seja a função
 fx=0 , -π≤x<02, 0≤x≤π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a série de Fourier para essa função $$f(x)$$.
A alternativa "B " está correta.
Determinando os coeficientes
a0=1π∫-ππfxdx=1π∫-π00dx+1π∫0π2dx=2π2x0π=4
an=1π∫-ππfxcosnxdx=1π∫-π00dx+1π∫0π2cosnxdx
an=2π1nsen(nx)0π=0
bn=1π∫-ππfxsennxdx=1π∫-π00 . sennxdx+1π∫0π2sennxdx
bn=2π-1ncos(nx)0π=4πn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a série de Fourier será
fx=4+∑1∞4πncosnx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a Transformada de Fourier para função
ft=2 , -k≤t≤k0, demais casos ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é um pulso retangular de amplitude 2 e abertura 2k centrado na origem.
A alternativa "D " está correta.
ℱ[f(t)]=F(w)=∫-∞∞f(t)e-jwtdt
Fw=∫-kk2 e-jwtdt=-2jwe-jwt-kk=2jwejwk-e-jwk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
senwk=ejwk-e-jwk2j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Fw=4sen(kw)w
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Obtenha a série de Fourier para a função
gt=π-t, 0≤t<π-π-t, -π≤t<0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Determinando os coeficientes:
Repare que a função $$g(t)$$ é ímpar, ou seja, $$g(t) = – g(– t)$$ , assim, os termos a0 e an serão nulos. Se você
resolver as integrais dos coeficientes, verificará que se anulam.
Calculandobn
bn=1π∫-ππftsenntdt=2π∫0πftsenntdt,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
pois o integrando será uma função par
bn=2π∫0π(π-t)senntdt=2π∫0ππsenntdt-2π∫0πtsenntdt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo as integrais
a)∫0ππsenntdt=-πncos(nt)0π=πn(1+cosnπ)b)∫0πtsenntdt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo por integração por partes
u=t→du=dt
dv=senntdx→v=-1ncos(nt)
∫0πtsenntdt=t-1ncos(nt)0π-∫0π-1ncos(nt)dt
=-tncos(nt)0π+-1n2sen(nt)0π=-πncosnπ
bn=2π∫0ππ-tsenntdt=2ππn1+cosnπ+2π-πncosnπ
bn=2n+2ncosnπ-2ncosnπ=2n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a série de Fourier será:
fx=∑1∞2nsennx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Sabendo que a Transformada de Fourier da função ft=ejw0t vale Fw=2πδ(w-w0), sendo δ a função impulso,
determine, por meio das propriedades, a Transformada de Fourier da função g(t)=cos(w0t).
A alternativa "D " está correta.
Sabemos que
cosw0t=ejw0t+e-jw0t2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℱ[cos(w0t)]=12Fejw0t+12Fe-jw0t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℱe-jw0t=F-w0=2πδ(w+w0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
ℱ[cos(w0t)]=12Fejw0t+12Fe-jw0t=122πδw-w0+122πδ(w+w0)
ℱ[cos(w0t)]=π[δw-w0+δ(w+w0)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja a função f(x)=2x2 no intervalo de $$[– π, π]$$. Determine a série de Fourier para essa função
$$f(x)$$.
A alternativa "C " está correta.
6. Determine a Transformada de Fourier para a função triangular
ft=1-t, -1≤1≤10, demais casos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos resolver a equação diferencial y’’–y=e-t, utilizando a Transformada de Fourier:
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A FUNÇÃO
 FX=0 , -Π≤X<01, 0≤X≤Π
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
DETERMINE A SÉRIE DE FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 2+∑1∞2πnsennx
B) 4+∑1∞4πncosnx
C) 1+∑1∞1πncosnx
D) 4+∑1∞4πnsennx
E) 2+∑1∞2πncosnx
2. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO
FT=EJW0T
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
VALE
FW=2ΠΔ(W-W0)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
SENDO $$\DELTA$$ A FUNÇÃO IMPULSO, DETERMINE, POR MEIO DAS PROPRIEDADES,
A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO $$G(T) = SEN(W_0T)$$.
A) 2π[δw-w0]
B) jπ[δw-w0+δ(w+w0)
C) jπ[δw-w0-δ(w+w0)
D) π[δw-w0+δ(w+w0)
E) 2π[δ(w+w0)]
GABARITO
1. Seja a função
 fx=0 , -π≤x<01, 0≤x≤π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a série de Fourier para essa função $$f(x)$$.
A alternativa "E " está correta.
 
Determinando os coeficientes
a0=1π∫-ππfxdx=1π∫-π00dx+1π∫0πdx=2πx0π=2
an=1π∫-ππfxcosnxdx=1π∫-π00dx+1π∫0πcosnxdx
an=1π1nsen(nx)0π=0
bn=1π∫-ππfxsennxdx=1π∫-π00 . sennxdx+1π∫0πsennxdx
bn=1π-1ncos(nx)0π=2πn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série de Fourier será
fx=2+∑1∞2πncosnx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabendo que a Transformada de Fourier da função
ft=ejw0t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
vale
Fw=2πδ(w-w0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo $$\delta$$ a função impulso, determine, por meio das propriedades, a Transformada de Fourier da
função $$g(t) = sen(w_0t)$$.
A alternativa "C " está correta.
 
Sabemos que
senw0t=ejw0t-e-jw0t2j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℱ[sen(w0t)]=12jFejw0t-12jFe-jw0t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℱe-jw0t=F-w0=2πjδ(w+w0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
ℱ[sen(w0t)]=12jFejw0t-12jFe-jw0t=12j2πδw-w0-12j2πδ(w+w0)
ℱ[sen(w0t)]=πj[δw-w0-δ(w+w0)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas 1j=-j
ℱ[sen(w0t)]=jπ[δw+w0-δ(w-w0)]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos o conceito das Transformadas Integrais, denominadas de Laplace e Fourier. Vimos a definição e os
conceitos iniciais da Transformada de Laplace, bem como as propriedades da Transformada de Laplace relacionadas
à derivação e integração.
Além disso, vimos a Transformada de Laplace inversa e a utilização das tabelas das Transformadas e, por fim, a
série e a Transformada de Fourier, com algumas aplicações. Após adquirir tais conhecimentos, você está apto a
resolver os problemas de Transformada de Laplace e de Fourier.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações Diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012. 
cap. 8, p. 440-507.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 9, p. 149-173.
HALLET H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 10, p.478-490
KREIDER, D.; OSTBERG, D.; KULLER, R. Introdução a Análise Linear – Equações Diferenciais. Rio de Janeiro:
Ao Livro Técnico, 1983. Cap 5., p. 204-263.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
Transformadas de Laplace e Transformadas de Fourier e suas aplicações.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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