Atividade 2 (A2)_ calculo com varias variaveis

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02/03/2022 22:40 Atividade 2 (A2): Revisão da tentativa
https://ambienteacademico.com.br/mod/quiz/review.php?attempt=52577&cmid=151593 1/7
Iniciado em quarta, 2 mar 2022, 22:15
Estado Finalizada
Concluída em quarta, 2 mar 2022, 22:39
Tempo
empregado
23 minutos 59 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por 
 e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia.
 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando .
 
 
 
a.
b.
c.
d.
e. Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde 
. Assim, . Dado que 
, temos .
A resposta correta é: 
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse
problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
 A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
a. As curvas de nível representam cortes verticais feitos no gráfico da função.
b. Todos os pontos localizados em uma curva de nível possuem alturas diferentes.
c. Uma curva
de nível é
um
subconjunto
do espaço 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos
do espaço , para poder visualizar uma representação geométrica da função no plano recorremos ao uso
das curvas de nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do
plano .
d. Chama-se curva de nível o conjunto de todas as ternas tais que .
e. Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno.
A resposta correta é: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor 
. Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão 
.
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto .
 
 
a.
b. Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas
parciais da função:
 - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
 - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
.
 Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e 
. Logo, o vetor gradiente é .
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a
partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio
da função .
 
 Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor .
 
 
 
a. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
b. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
c. A temperatura
está aumentando
à taxa de
aproximadamente
9,93 unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: 
, e . Assim, dado o ponto (3,4), temos . O vetor 
 é unitário, então a derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada: 
.
d. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
e. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
A resposta correta é: A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um
resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro
da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
 Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
 I - O domínio da função é o conjunto .
 II - O domínio da função é o conjunto .
 
III - O domínio da função é o conjunto .
 
IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
a. I, IV Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que:
 Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto 
.
 Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto 
.
b. II, III
c. I, III, IV
d. I, III
e. I, II, IV
A resposta correta é: I, IV
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto
é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor
unitário do vetor gradiente.
 
 A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto
P(-1,1).
 
 
a. Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: 
, e . Logo, . Como a
direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos
que o vetor procurado é .
b.
c.
d.
e.
 
 
A resposta correta é: 
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Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal.
Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma
pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por
segundo.
 
 Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ).
 
 
a. A temperatura está aumentando a uma taxa de por segundo no instante dado.
b. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
 
 
 
c. A temperatura está aumentando a uma taxa de por segundo no instante dado.
d. A
temperatura
está
diminuindo
a uma taxa
de por
segundo no
instante
dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos 
. Pelas informações do enunciado, temos , , e .
Derivando a função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e 
. Assim, . Portanto, a temperatura está
diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
e. A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
A resposta correta é: A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante dado.
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para
determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem
assumir.
 Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
 I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
 II. O domínioda função corresponde à região a seguir.
 
 
 III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
 IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
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Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
a. I, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a
afirmativa I é verdadeira, pois:
 Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e ,
portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à
região dada na afirmativa.
b. I, IV, apenas.
c. IV, apenas.
d. I, II, IV, apenas.
e. II, III, apenas.
 
 
 
 
A resposta correta é: I, apenas.
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de
aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os
pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade no ponto .
 
 
a. A taxa máxima de aumento da densidade é .
b. A taxa máxima de aumento da densidade é .
c. A taxa máxima de aumento da densidade é .
d. A taxa máxima de aumento da densidade é .
e. A taxa
máxima
de
aumento
da
densidade
é 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos
traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é 
 e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da
densidade é .
A resposta correta é: A taxa máxima de aumento da densidade é .
02/03/2022 22:40 Atividade 2 (A2): Revisão da tentativa
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Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que
esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função represente uma
distribuição de temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ).
 
 Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação
mínima.
 
 
a. Direção e taxa mínima de .
b. Direção e taxa mínima de .
c. Direção e taxa mínima de .
d. Direção e taxa mínima de .
e. Direção 
 e taxa mínima de 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor
gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima
em . (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
A resposta correta é: Direção e taxa mínima de .