CAP 6- RdMateriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS SALINÓPOLIS
FACULDADE DE ENGENHARIA DE EXPLORAÇÃO E PRODUÇÃO DE PETRÓLEO
 
 
 TAMIRES BEATRIZ HELMER ARAÚJO
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 EDINALDO TEIXEIRA
 SALINOPOLIS-PA
 2022
CAPÍTULO 6
 
 FLEXÃO 
O capítulo começa com uma discussão sobre como construir os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga ou eixo. Assim como os diagramas de força normal e de torque, os diagramas de força cortante e momento fletor proporcionam um meio útil para determinar a maior força de cisalhamento e o maior momento em um elemento e especificam onde esses máximos ocorrem. Uma vez determinado o momento interno em uma seção, a tensão de flexão pode ser calculada. Em primeiro lugar, consideraremos elementos retos, com seção transversal simétrica e feitos de materiais homogêneos lineares elásticos. Em seguida, discutiremos casos especiais que envolvem flexão assimétrica e elementos feitos de materiais compósitos. Também consideraremos elementos curvos, concentrações de tensão, flexão inelástica e tensões residuais.
6.1 Diagramas de força cortante e momento fletor 
Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas. Em geral, vigas são barras longas e retas com área de seção transversal constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas. Por exemplo, uma viga simplesmente apoiada é suportada por um apoio fixo em uma extremidade e um apoio móvel (ou rolete) na outra extremidade (Figura 6.1), uma viga em balanço é engastada em uma extremidade e livre na outra, e uma viga apoiada com extremidade em balanço é uma viga na qual uma ou ambas as extremidades ultrapassam livremente os apoios. As vigas certamente podem ser consideradas entre os mais importantes de todos os elementos estruturais.
Convenção de sinal para vigas. Antes de apresentar um método para determinar o cisalhamento e o momento em função de x e, então, construir um gráfico dessas funções (diagramas de força cortante e momento fletor), é necessário estabelecer uma convenção
de sinal de modo a definir força cortante interna e momento fletor como "positivos" e "negativos". Embora a escolha de uma convenção de sinal seja arbitrária, aqui adotaremos a convenção frequentemente utilizada na prática da engenharia e mostrada na figura 6.3. As direções positivas são as seguintes: a carga distribuída age para baixo na viga; a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário no segmento da viga sobre o qual age; e o momento interno causa compressão nas fibras superiores do segmento de forma que a flexão deste faz com que ele retenha água. Carregamentos opostos a esses são considerados negativos.
6.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor
Quando uma viga está sujeita a vários carregamentos diferentes, determinar V e M em função de x e representar essas equações em gráfico pode ser bastante tedioso. Nesta seção, discutiremos um método mais simples para construir os diagramas de força cortante e momento fletor, um método baseado em duas relações diferenciais que existem entre carga distribuída, cisalhamento e momento.
Regiões de carga distribuída. Com a finalidade de generalizar, considere a viga mostrada na figura 6.10a, que está sujeita a um carregamento arbitrário. Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento Δx da viga é mostrado na figura 6.10b. Visto que esse segmento foi escolhido em uma posição x onde não há nenhuma força concentrada
nem momento conjugado, os resultados que serão obtidos não se aplicarão a esses pontos de carregamento concentrado.
6.3 Deformação por flexão de um elemento reto
Nesta seção, discutiremos as deformações que ocorrem quando uma viga prismática reta, feita de um material homogêneo, é submetida à flexão. A discussão ficará limitada a vigas com área de seção transversal simétrica em relação a um eixo e a um momento fletor aplicado em torno de uma linha central perpendicular a esse eixo de simetria, como mostrado na figura 6.20.
Se usarmos um material de alta capacidade de deformação, como a borracha, poderemos ilustrar fisicamente o que acontece quando um elemento prismático reto é submetido a um momento fletor. Considere, por exemplo, a barra reta (não deformada) na figura 6.21a, que tem seção transversal quadrada e marcada por uma grade de linhas longitudinais e transversais. Quando um momento fletor é aplicado, as linhas da grade tendem a se distorcer segundo o padrão mostrado na figura 6.2lb. Aqui, podemos ver que as linhas longitudinais se tornam curvas e as linhas transversais verticais continuam retas, porém sofrem rotação. O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um momento fletor provoca o alongamento do material na parte inferior da barra e a compressão do material na porção superior da barra. Por consequência, entre essas duas regiões deve existir uma superfície, denominada superfície neutra, na qual não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material (Figura 6.20).
 
6.4 A fórmula da flexão
Nesta seção, desenvolveremos uma equação que relaciona a distribuição de tensão longitudinal em uma viga e o momento fletor interno resultante que age na seção transversal da viga. Então, uma variação linear da deformação normal (figura 6.26a) deve ser a consequência de uma variação linear da tensão normal (figura 6.26b).
Qualquer das duas equações (6.12 e 6.13) é denominada fórmula da flexão. Essa fórmula é usada para determinar a tensão normal em um elemento reto, com seção transversal simétrica em relação a um eixo, e momento aplicado perpendicularmente a esse eixo.
6.5 Flexão assimétrica
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. É isso o que ocorre nas seções em T ou em U, mostradas na figura 6.31. Porém, essas condições são desnecessárias, e, nesta seção, mostraremos que a fórmula da flexão também pode ser aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal de qualquer formato, como a uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer direção.
Momento aplicado arbitrariamente. Às vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção transversal. Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao longo dos eixos principais. Então, a fórmula da flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada por cada componente do momento. Por fim, usando o princípio da superposição, a tensão normal resultante no
ponto pode ser determinada.
6.6 Vigas compostas
Vigas construídas com dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas. Citamos como exemplos as de madeira com tiras de aço nas partes superior e inferior (figura 6.38a) ou as mais comuns, vigas de concreto reforçadas com hastes de aço (figura 6.38b).
Os engenheiros projetam essas vigas de propósito, para desenvolver um meio mais eficiente de suportar cargas aplicadas. Por exemplo, na Seção 3.3 foi demonstrado que o concreto é excelente para resistir à tensão de compressão, mas muito ruim para resistir à
tensão de tração. Por consequência, as hastes de reforço de aço mostradas na Figura 6.38b foram colocadas na zona de tensão da seção transversal da viga para que elas resistam às tensões de tração resultantes do momento M. Visto que a fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogéneo, ela nãopode ser aplicada diretamente para determinar a tensão normal em uma viga composta.
6.7 Vigas de concreto armado
Todas as vigas sujeitas a flexão pura devem resistir a tensões de tração e compressão. Porém, o concreto é muito suscetível a fratura quando está sob tração, portanto, por si só, não seria adequado para resistir a um momento fletor. Para contornar essa deficiência, os engenheiros colocam hastes de reforço de aço no interior das vigas de concreto no local onde o concreto está sob tração (figura 6.42a). Para maior efetividade, essas hastes são localizadas o mais longe possível do eixo neutro da viga, de modo que o momento criado
pelas forças desenvolvidas nas hastes seja maior em torno do eixo neutro. Em situações reais de projeto com concreto armado, a capacidade do concreto de suportar qualquer carga de tração é desprezada, visto que a possível fratura do concreto é imprevisível. O resultado é que se considera que a distribuição da tensão normal que age na área da seção transversal de uma viga de concreto armado é semelhante à mostrada na figura 6.42b.
6.8 Vigas curvas
A fórmula da flexão aplica-se a um elemento prismático reta, já que demonstramos que, para um elemento reto a deformação normal varia linearmente em relação ao eixo neutro. Entretanto, se o elemento for curvo, essa premissa torna-se inexata e, portanto, temos de desenvolver outra equação que descreva a distribuição de tensão. Nesta seção, consideraremos a análise de uma viga curva, isto é, um elemento que tem um eixo curvo e está sujeito a flexão. Como exemplos típicos, citamos ganchos e elos de corrente. Em todos os casos, os elementos não são delgados; mais exatamente, têm uma curva acentuada, e as dimensões de suas seções transversais são grandes, em comparação com o raio de curvatura. A análise a ser considerada supõe que a área da seção transversal é constante e tem um eixo de simetria perpendicular à direção do momento aplicado M (figura 6.44a). Além disso, o material é homogéneo e isotrópico e comporta-se de maneira linear elástica quando a carga é aplicada. Como no caso de urna viga reta, também admitiremos que as seções transversais do elemento permanecem planas após a aplicação do momento. Além do mais, qualquer distorção da seção transversal dentro de seu próprio plano será desprezada.
6.9 Concentrações de tensão
A fórmula da flexão, , pode ser usada para determinar a distribuição de tensão em regiões de um elemento onde a área da seção transversal é constante ou ligeiramente cônica. Entretanto, se a seção transversal mudar repentinamente, a distribuição de tensão normal e a distribuição de tensão de deformação na seção tornam-se não lineares e podem ser obtidas por meios experimentais ou, em alguns casos, por análise matemática usando a teoria da elasticidade.
6.10 Flexão inelástica
As equações para determinar a tensão normal devido à flexão que foram desenvolvidas anteriormente são válidas somente se o material se comportar de uma maneira linear elástica. Se o momento aplicado provocar o escoamento do material, então será preciso realizar uma análise plástica para determinar a distribuição de tensão. Todavia, para ambos os casos, elástico e plástico, entenda que, para a flexão de elementos retos, há três condições que devem ser cumpridas.
Distribuição linear da deformação normal. Com base em considerações geométricas, mostramos, na Seção 6.3, que as deformações normais que se desenvolvem em um material sempre variam linearmente de zero no eixo neutro da seção transversal a máximas no ponto mais afastado do eixo neutro.
Força resultante nula. Visto que há somente um momento interno resultante que age na seção transversal, a força resultante provocada pela distribuição de tensão deve ser nula. Uma vez que o- cria uma força na área de = (Figura 6.52), então, para a área total da seção transversal A, temos
Momento resultante. O momento resultante na seção deve ser equivalente ao momento causado pela distribuição de tensão em torno do eixo neutro. Visto que o momento da força = em torno do eixo neutro é = então, somando os resultados
na seção transversal inteira (figura 6.52), temos,
Pontos importantes:
A distribuição da deformação normal na seção transversal de uma viga é baseada somente em considerações geométricas, e constatou-se que ela permanece sempre linear, independentemente da carga aplicada. Todavia, a distribuição de tensão normal deve ser determinada pelo comportamento do material, ou pelo diagrama tensão-deformação, tão logo a distribuição da deformação tenha sido definida.
A localização do eixo neutro é determinada pela condição de que a força resultante na seção transversal seja nula.
O momento interno resultante na seção transversal deve ser igual ao momento da distribuição de tensão em: torno do eixo neutro.
Comportamento perfeitamente plástico supõe que a distribuição de tensão normal é constante na seção transversal e que. a flexão na viga continuará sem que haja nenhum aumento no momento. Esse momento é denominado momento plástico.
6.11 Tensão residual
Se a viga for carregada de tal modo que provoque o escoamento do material, então a retirada da carga causara tensão residual que se desenvolverá na viga. Visto que as tensões residuais são importantes quando se consideram fadiga e outros tipos de comportamento mecânicos discutiremos um método usado para calcular essas tensões quando um elemento é submetido à flexão como no caso da torção, podemos calcular a distribuição da tensão residual pelos princípios da superposição e recuperação elástica.
Referência Bibliográfica: 
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7.ed. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015. 637. p.