Fenomenos_de_Transporte_Celso_Livi

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Fenômenos deTransporte
Um Textopara CursosBásicos
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Fenômenos de Transporte
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^ DepartamentodeRecursosHídricoseMeio Ambiente
<p EscolaPolitécnica
p UniversidadeFederaldo Rio deJaneiro
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EDITORA
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No interessede difusãoda culturae do conhecimento,o autore oseditoresenvidaramo sm
máximoesforçoparalocalizarosdetentoresdosdireitosautoraisdequalquermaterial
utilizado,dispondo-seapossíveisaceitosposteriorescaso,inadvertidamente,aidentificação ^
de algumdeles tenha sido omitida. e»
«^
Capa:Projetocom baseemilustraçãofornecidapeloautor
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Direitosexclusivospara a línguaportuguesa '
Copyright©2004by CelsoPohlmannLivi ^
LTC — LivrosTécnicose CientíficosEditora S.A.
Travessado Ouvidor, 11 y
Rio de Janeiro,RJ — CEP20040-040 m
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sem permissão expressa da Editora.
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PREFACIO
Denomina-seFenômenosdeTransporteamatériaquecom
preende o estudo de mecânicadosfluidos, detransmissãode
calor e detransferênciade massa. Trata-se de uma matéria de
formaçãobásicadoscursosdeengenharia.Fenômenosde
TransporteconstadoconteúdoprogramáticodoExameNaci
onaldeCursos(Provão)do Ministério daEducação.
Verifica-se que diferentes fenômenosdifusivos da me
cânicados fluidos, da transmissãode calore datransferên
cia demassapodem ser descritos por ummodelomatemá
tico comum, onde a diferença está nas grandezas físicas
envolvidase seus respectivos coeficientes de difusão, de
formaque esses assuntospassarama ser estudadosconjun
tamente com o nome de Fenômenosde Transporte.
Este textofoi desenvolvidoparaatenderàs necessidades
de uma disciplina introdutória, com duração de um semes
tre e situada nofinal dociclo básicodoscursosdeenge
nharia,em que os alunos entram em contato pelaprimeira
vezcom o assunto. Nestelivro, o conteúdo estáorganizado
de forma a considerar,primeiro, alguns conceitos e uma
formulação básica para fenômenos de transporte, com a
apresentação de um modelo matemático comum que evi
dencia a analogiaexistenteentre os processos difusivos
unidimensionaisde transporte de momento (quantidade de
movimento) linear, de calor e de massa. Após, são desen
volvidos ostópicosde mecânica dosfluidos, de transferên
cia de calor e de dilusãode massa.
Este Iívto não esgota o assunto, tratando somente da
conceituaçãobásica e do estudo dostópicosfundamentais
que considero adequado para uma disciplinaintrodutória
sobreFenômenosdeTransporte,destinadaa estudantes de
um curso degraduaçãode engenharia. Espero que olivro
sejaútil paraestudantes eprofessores.Considero,também,
que os alunosdealgumashabilitaçõesdas escolasde enge
nharia, tais como dos cursos deengenhariamecânica, na
val e química, que necessitarão deconhecimentomais
aprofundadosobre o assunto, cursarão, no cicloprofissio
nal, outras disciplinas sobre mecânica dos fluidos, transfe
rência de calor etransportede massa.
No Capítulo1. apresento conceitosedefiniçõesfunda
mentais.
No Capítulo 2, apresento conceitos e umaformulação
básica para fenômenos de transporte.Analiso, a partir de
umaabordagemfenomenológica,processosdifusivos uni
dimensionaisondeocorremfluxos demomentolinear, de
calor e de massa, apresentando um modelo matemático
comume mostrandoa analogiaexistenteentreessespro
cessosdifusivos unidimensionaisde transferência.
No Capítulo3, trato dosfundamentosda estáticados
fluidos, abordandoas noçõesbásicasdo estudoda pressão
e suavariaçãoem umfluido e a determinaçãodasforçasde
pressãosobresuperfíciesplanas submersas.
No Capítulo 4, apresento uma descrição e aclassifica
ção deescoamentos.
No Capítulo5, conceituovolume decontrolee desen
volvo uma análise de escoamentos naformulaçãodevolu
me de controle com a aplicação de três leis físicas funda
mentais: princípio de conservação da massa, segunda lei de
Newton para o movimento e princípio de conservação da
energia. Estudo, também, a equação de Bernoullie noções
básicas sobre a perda de carga em escoamentos de fluidos
reais emtubulações.
No Capítulo6. apresentouma introduçãoà análise di
ferencial de escoamentos, em que deduzo equações dife
renciaisque permitem a determinação das distribuiçõesdas
grandezas intensivas emestudo.Tendoem vista que este
texto sedestinaa uma disciplinaintrodutóriasobre o assun
to, trato mais da modelagem matemática (formulação) dos
problemase apresentosoluçõessomenteparacasossimples.
No Capítulo 7, conceituo transferênciade calore carac
terizo osmecanismosde condução,convecção e radiação,
apresentando as equações quefornecemasdensidadesde
fluxo de calor.
NoCapítulo8, estudoadeterminaçãodofluxo decalor
e dadistribuiçãode temperatura para casos de condução
unidimensionale em regimepermanente,sem geração in
ternade calor e meio com condutividadetérmicaconstan
te, em sistemas com geometriasimples onde são conheci
dasastemperaturasnocontorno.Estudo,também,proble
masunidimensionaise em regime permanente de condu
ção de calor em paredescompostascom convecção no con
torno.
No Capítulo 9,apresentoumaintroduçãoà condução
de calorem regime transiente, onde deduzo a equação di
ferencial da condução de calor. Estudo aformulaçãode
VIU Prefácio
problemasdeconduçãodecaloremregimenão-permanente
e trato daresoluçãoda equação da difusãode caloratravés
dométododeseparaçãodevariáveisparaproblemasunidi
mensionais.
NoCapítulo10,apresentoalgumasdefiniçõese concei
tosbásicosdetransportedemassae estudoosfundamen
tos daformulaçãodeproblemassimplesdadifusãomole
cularcausadaporgradientesdeconcentraçãode um com
ponentenumamisturabinaria,mostrandoalgunsaspectos
daanalogiaexistentecomatransferênciade calorporcon
dução.
NoApêndice,apresento um resumo de noçõesbásicas
determodinâmicae umaaplicaçãoda análiseglobaldo sis
tema para a transferência de calor.
Neste texto,adoto aterminologiadefluxo e de densida
de defluxo, deacordocomaRegulamentaçãoMetrológica
eQuadroGeraldeUnidadesdeMedida,estabelecidospelo
ConselhoNacionaldeMetrologia,Normalizaçãoe Quali
dadeIndustrial—CONMETRO,naResolução01/82,que
estabelece as seguintesdefinições:
Fluxo demassa,com unidade quilograma por segundo
(kg/s), é ofluxo demassadeummaterial que,emregimeper
manenteatravésdeuma superfíciedeterminada,escoaamas
sade lquilograma domaterial em 1segundo;
Potênciaoufluxo deenergia, com unidade watt (W), é a
potênciadesenvolvidaquandoserealiza, demaneira contínua
euniforme, o trabalho de 1pule em lsegundo;e
Densidadedefluxo deenergia,comunidadewatt por metro
quadrado (W/m2), é adensidadedeumfluxodeenergiauni
forme de 1watt, atravésdeuma superfícieplana de l metro
quadrado de área, perpendicular àdireçãodepropagaçãoda
energia.
AgradeçoaoSr.OswaldoLuizWaltzJunqueirapelacon
fecçãodosdesenhose aosprofessoresEniseValentini e
Gilberto Fialhopelassugestõese úteisdiscussõessobreo
assunto.
Riode Janeiro, julho de 2004
CelsoP. Livi
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''-••^:- SUMÁRIO
IP
f 1 CONCEITOSEDEFINIÇÕESFUNDAMENTAIS,1
r 1.1 Introdução, 1
ip 1.2 Meio Contínuo,1
0^ 1.2.1 Limite deValidadedo Modelode Meio Contínuo,1
1.3 Massa Específicaem um Ponto, 2
<P 1.4 Volume Específico.PesoEspecífico.DensidadeRelativa,2
0& 1.5 ForçasdeCorpoedeSuperfície,3
1.6 Tensãoem um Ponto.NotaçãoIndiciai paraasComponentesdaTensão,3
** 1.7 Fluidos.DefiniçãoePropriedades,5
f 1.7.1 DefiniçãodeFluido, 5
0b 1.7.2AlgumasPropriedadesdosFluidos,6
1.7.3 FluidosNewtonianos,6
*':"' 1.7.4Viscosidade,6
p 1.8 Módulo deElasticidadeVolumétrica.Compressibilidade,8
a 1.9 Equação de Estado para um Gás Perfeito, 9
1.10 EnergiaInterna.CapacidadeTérmicaeCalorEspecífico,10r 1.11 TensãoSuperficial.Capilaridade,10
0\ 1.12 PressãodeVapor. Ebulição.Cavitação,12
_ 1.13 Grandezas, Dimensões e Unidades, 12
* 1.14 ConsideraçõessobreaTerminologia,12
f* 1.15 Bibliografia, 13
ms 116 Problemas,13
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2 CONCEITOSDE FENÔMENOSDE TRANSPORTEE ANALOGIAENTREOS
PROCESSOSDIFUSIVOSUNIDIMENSIONAISDE TRANSFERÊNCIADE
MOMENTOLINEAR,DE CALORE DE MASSA,15
2.1 Introdução, 15
2.2 GrandezasExtensivase Intensivas.Campos,15
2.3 Desequilíbrio Local eFluxos.Fenômenos de Transporte, 15
2.4 TransporteDifusivo de Momento Linear, 16
2.5 Transporte de Calor por Condução, 18
2.6 Transporte de Massa por Difusão Molecular, 19
2.7 Equações para asDensidadesde Fluxos de Momento Linear, de Calor e de Massa, 22
2.8 Equações da Difusão, 24
. 2.9 Bibliografia, 29
2.10 Problemas,29
3 FUNDAMENTOS DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS, 31
3.1 Introdução, 31
3.2 Pressãoemum Ponto,31
Sumário
3.3 EquaçãoBásicadaEstáticadosFluidos,33 ^
3.4 VariaçãodaPressãoemum Fluido emRepouso,34 ^
3.5 VariaçãodaPressãoemum Fluidocom MovimentodeCorpoRígido, 36
3.6 Medidasde Pressão.Barômetrode MercúrioeManômetrodeTuboemU, 39 ^
3.7 ForçassobreSuperfíciesPlanasSubmersas,41 ^
3.8 EmpuxoeFlutuação,46 ^
3.9 Bibliografia, 48
3.10 Problemas,48 ^
4 DESCRIÇÃOECLASSIFICAÇÃODE ESCOAMENTOS,52 ^
4.1 Introdução,52 ^
4.2 CampodeVelocidadede Escoamento.Aceleração,52 ^
4.3 Descrição e Classificação de Escoamentos, 53
4.4 Bibliografia, 60 ^
4.5 Problemas,60 /%
5 INTRODUÇÃOÀANÁLISEDE ESCOAMENTOSNAFORMULAÇÃODE '
VOLUME DE CONTROLE,61 ^
5.1 Introdução,61
5.2 Sistemae Volume de Controle,61 J
5.3 VazãoeFluxodeMassa,62 ^
5.4 EquaçãoBásicadaFormulaçãodeVolumedeControle,64 ^
5.5 Princípiode Conservaçãoda Massa. Equaçãoda Continuidade, 66
5.6 SegundaLei deNewtonparaoMovimentona Formulaçãode VolumedeControle.Equaçãodo ^
MomentoLinear, 70 /m
5.7 Equação do Momento Angular, 75
5.8 PrincípiodeConservaçãodaEnergianaFormulaçãodeVolumedeControle.EquaçãodaEnergia,78 '
5.9 EquaçãodeBernoulli, 83 "^
5.9.1 EquaçãodeBernoulli semDissipaçãodeEnergiaMecânica,83 a»
5.9.2 Pressões Estática, Dinâmicae deEstagnação(Total). Determinação daVelocidadede Escoamento
comTubosde Pitot, 86 /
5.9.3 EquaçãodeBernoulli com PerdadeCarga(com Dissipaçãode EnergiaMecânica),89 "^
5.10 NoçõesBásicassobrePerdadeCarganosEscoamentosde FluidosReaisemTubulações,93 ^
5.11 EquaçãodeBernoulli ModificadaparaSituaçõescomBombase Turbinas,98
5.12 Bibliografia, 101 ^
5.13 Problemas,102 r%
6 INTRODUÇÃOÀANÁLISEDIFERENCIALDE ESCOAMENTOS,112
6.1 Introdução, 112
Equação daContinuidadena Forma Diferencial, 112
6.3 EquaçãoDiferencialdo Movimentode um Fluido. Equaçõesde Navier-Stokes,113 ^
6.4 EquaçãoDiferencialdeTransportedeCalor, 119 "^
6.5 Formulação(ModelagemMatemática)eSoluçõesparaAlguns ProblemasSimples,122 ^
6.6 Bibliografia, 130 *
6.7 Problemas,130 ^
7 INTRODUÇÃOÀTRANSFERÊNCIADE CALOR,133 ^
7.1 Introdução,133 ^
7.2 Condução,133 /_
7.3 Convecção, 134
^^
6.2
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r
Sumário xi
ip 7.4 Radiação,136
7.5 MecanismosCombinadosdeTransferênciadeCalor, 137
* 7.6 Bibliografia, 138
e 8 INTRODUÇÃOÀCONDUÇÃOUNIDIMENSIONALDE CALOREM
f REGIMEPERMANENTE,139
P 8.1 Introdução,139
^s 8.2 ConduçãoUnidimensionaldeCaloratravésde Paredede umaCamada,139
\^ 8.2.1 ParedePlanade umaCamada,139
x 8.2.2 ParedeCilíndricade umaCamadacomConduçãona DireçãoRadial, 142
p 8.3 ConduçãoUnidimensionaldeCalor,em RegimePermanente,atravésde ParedeCompostacom
gp Convecçãono Contorno,146
8.3.1 ParedePlanaComposta,146
C 8.3.2 ParedeCilíndricaCompostacomConduçãona DireçãoRadial, 149
Ip» 8.4 Conceitode ResistênciaTérmica,151
8.5 Raio Crítico de Isolamento, 153
^ 8.6 Bibliografia, 156
íP 8.7 Problemas,156
p 9 INTRODUÇÃOÀCONDUÇÃODE CALOREM REGIMETRANSIENTE,161
m 9.1 Introdução,161
^ 9.2 EquaçãodaConduçãode Calor, 161
^ 9.3 Condiçõesde ContornoeInicial paraaDifusãodeCalor, 164
p 9.3.1 Condição Inicial, 164
pv 9.3.2CondiçõesdeContorno,164
9.4 SoluçãoAnalíticade umProblemaTransienteeUnidimensionaldeDifusãode Calor 171
r 9.5 Bibliografia, 175
^ 9.6 Problemas,175
£ 10 INTRODUÇÃOÀTRANSFERÊNCIADE MASSA,178
-^ 10.1 Introdução,178
^ 10.2 Lei de Fick paraaDifusãoMolecularde um ComponentenumaMistura Binaria, 178
P 10.3 FluxosdeMassaemMisturasBinárias,180
gh 10.4 EquaçãoDiferencialdeTransportedeMassade umSolutonumaMistura Binaria, 181
10.5 Equação da Difusão de Massa, 185
^ 1*0.6 Bibliografia, 188
f> 10.7 Problemas,188
- APÊNDICE: NOÇÕESBÁSICASDE TERMODINÂMICA
^ EUMA APLICAÇÃODA ANÁLISEGLOBALDO
^ SISTEMAPARAATRANSFERÊNCIADE CALOR,190
A.l Introdução, 190
« A.2 Sistemae Volume de Controle, 190
P A.3 EquilíbrioTérmico.Lei ZerodaTermodinâmica,190
A.4 Temperatura.Termômetrose Escalas, 190
A.5 Calor. Capacidade Térmica. CalorEspecífico,191
A.6 TrabalhoRealizadopor um Sistema sobre aVizinhança,192
A.7 Primeira Lei da Termodinâmica para um Sistema, 193
A.8 Primeira Lei da Termodinâmica na Formulaçãode Volumede Controle, 194
A.9 Alguns CasosParticularesdaPrimeiraLei daTermodinâmicaparaumSistema,197
M\
xii Sumário o/
^§)
A.10TeoriaCinéticadosGases,197 ^
A. 11 SegundaLei daTermodinâmica,201 ^
A. 12 UmaAplicaçãodaAnáliseGlobaldo SistemaparaaTransferênciadeCalor,202
A. 13 Bibliografia, 204 "3
ÍNDICE, 205 <3
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LISTADESÍMBOLOS,GRANDEZASFÍSICASEIMUMãMES^m
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A área,m2
f a aceleração,rn/2
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Bi númerode Biot
C capacidadetérmica, j/C
0^
c calorespecífico, l( ^
concentração do componente A definidacomofraçãode massa
calorespecíficoapressãoconstante, V „
calorespecíficoavolumeconstante,y( „
diâmetro,m
coeficientededifusãomolecular(difusividadedemassa)docomponenteA na
misturadecomponentesAe B, m/
densidaderelativa
módulode elasticidadevolumétrica,Pa
energia interna, J
energia total do sistema, J
energiatotal específica(por unidadede massa), j/
rugosidadeda superfície da parede de um duto, m
força, N
densidade defluxo de uma grandezaextensivagenérica
fator de atrito
aceleraçãodagravidadenasuperfíciedaTerra, g=9,81 r^2
momentoangular(quantidadedemovimentoangular), ° /
cargatotalcorrespondenteàenergiamecânicadisponívelnoescoamento,m
coeficientede transferênciadecalorporconvecção, /L.2 v
cargacorrespondenteàenergiamecânicaque étransferidade umabombaparaumescoamento,m
perda de carga num escoamento, m
perda de carga distribuída, m
perda de cargalocalizadaou acidental, m
cargacorrespondenteàenergiamecânicaque étransferidade uraescoamentopara umaturbina,m
segundo momento de área (momento de inérciade área),m4
momento de inércia,kg-m2
correnteelétrica,A
/p CP
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j^P* i
JR
xiv Listade Símbolos,GrandezasFísicase UnidadesSI
t vetor unitário na direçãox
JA densidadedefluxo demassapordifusãomoleculardocomponenteA,emrelaçãoa umplanoque semove
ke/comavelocidademássicamédiada mistura, ys.mi
j vetor unitário na direção7
k condutividadetérmica, ^yLrr
k constantede Boltzmann,k- 1,38XIO"23 j^
k vetor unitário na direção z
L calordetransformaçãode fase(calorlatente), y(
Le númerode Lewis
M massa, kg
M torque (momentode uma força), N-m
m massa, kg
th fluxo de massa, yi
N númerode moléculas
1 / '*%
NA densidadedefluxo de massado componenteAemrelaçãoaum sistemadecoordenadasfixo, y 2
/S'm za
NA número deAvogadro, NA = 6.022X1023mol"1
n númerode mols 1
ri vetorunitárionormalàsuperfície ^
P momento(quantidadede movimento)linear, k8,m/ "^
Pr número de Prandtl ^
p pressão,Pa •»
Q quantidadedecalor,J ^
Q vazão,m% ^
Q fluxo (taxade transferência) de calor, W *&
q densidadedefluxo decalor, W/ 2 ^%
R raio, m ^
fl resistênciaelétrica,íl
Re número deReynolds
RT resistênciatérmica, %y
Ru constanteuniversaldosgases,R =8,314 V , v «
0 u /moI-K ^§
r, 0, r coordenadascilíndricas
r^ raio crítico de isolamento,m
I> entropia, %r
S.C. superfíciede controle
Sc númerode Schmidt '
T temperatura, K ^
t tempo,s /•%
" energiainternaespecífica(por unidadede massa), j/ ^
V velocidade,™/s ^
V volume,m3 ^
r%
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ListadeSímbolos,GrandezasFísicaseUnidadesSI xv
p V.C. volumedecontrole
f^ v volumeespecífico,mV
/p W peso,N
0s W trabalho,J
^ W trabalho de cisalhamento, I
x, >', z coordenadasretangulares
(P
(p LetrasGregas
difusividadetérmica, m /
grandezaextensivagenérica
grandezaintensivacorrespondenteàgrandezaextensivagenéricaB
pesoespecífico,^y }
quocienteentreoscaloresespecíficosmolaresapressãoe avolumeconstantes
eixo referencial,paraaprofundidade,contidoem umasuperfícieplanasubmersa
viscosidade absoluta ou dinâmica,Pas
viscosidadecinemática,m /
ângulo, rad
massaespecífica, y 3
concentraçãodo componenteAdefinidacomomassaespecífica, y 3
tensãosuperficial, ^vl
constantedeStefan-Boltzmann,cr = 5,67X10"8W/
componente de tensão normal, Pa
componente de tensão cisalhante(tangencial),Pa
velocidadeangular, ra7ç
a
#* B
f> P
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Capítulo 1
CONCEITOSEBEPlNJÇÕESte&M$;i>f\
FUNDAMENTAIS j
£ 1.1 INTRODUÇÃO
No estudodeFenômenosdeTransporte,utilizaremosconceitosedefiniçõesjá estudadosnamecânicaenatermodinâ
mica,masnecessitaremosdeoutrosaindanãovistos.Afinalidadedestecapítuloéreveredesenvolveralgunsconceitos
f^ edefiniçõesfundamentais.
r 1.2 MEIO CONTINUO
^ Amatériatem umaestruturamoleculareexiste,normalmente,em trêsestados:sólido, líquidoegasoso.Onúmerode
^ moléculasnormalmenteexistentesemumvolumemacroscópicoéenorme.Paratermosumaidéiadaordemdegrandeza
1, donúmerodepartículasenvolvidas,emcondiçõesnormaisdetemperaturaepressãoexistemcercade IO19 moléculasem
umvolumede 1cm3dearatmosférico.Comessenúmerotãograndedepartículasépraticamenteimpossíveladescrição
(p do comportamentomacroscópicoda matéria,como,por exemplo,oestudodo escoamentode um fluido, apartir do
pn movimentoindividual desuasmoléculas.
No queserefereaosproblemascomunsdeengenharia,geralmenteestamosinteressadosnocomportamentomacros-
f^ cópicodevidoaosefeitosmédiosdasmoléculasexistentesno sistemaem estudo,e, sendoaabordagemmicroscópica
^ (descriçãoapartir dosmovimentosindividuaisdasmoléculas)inconveniente,necessitaremosdeum modelomaisade-
quado.
" No estudodanaturezaenasoluçãodosproblemasencontradosnaengenharia,emgeral,estãopresentesosprincípios
|^ de idealizaçãoeaproximação,ou seja,demodelagem.Adescriçãodosfenômenosfísicoseaabordagemeasoluçãodos
^ problemaspodemseresquematizadasdaseguinteforma:
f FENÔMENOFÍSICO
ms (problema)
f FORMULAÇÃO EMODELAGEM
^p (idealizaçãoeaproximação)
^ SOLUÇÃO DO MODELO
p INTERPRETAÇÃOFÍSICA DO RESULTADO
c Oconceitodemeiocontínuoéumaidealizaçãodamatéria,ou seja,éummodeloparaoestudodeseucomportamento
0b macroscópicoem que seconsideraumadistribuiçãocontínuademassa.
/ift
1.2.1 LimitedeValidadedo Modelode Meio Contínuo
Avalidadedo modelo de meiocontínuo depende das dimensões do sistema físicoem estudo e do número de molécu
lasexistentesnovolumeconsiderado.Parailustrarmosoassunto,consideremosumrecipientefechadocontendoum gás.
Apressão(forçaporunidadedeárea)exercidapelogássobreaparededo recipiente,segundoateoriacinéticadosgases.
decorredafreqüênciadechoquesdesuasmoléculascontraaparede.Evacuando-seprogressivamenteogás.ou seja.
reduzindo-seprogressivamenteonúmerodepartículasdentrodo recipiente,observa-sequeapressãodecresce.
2 CapítuloUm
Enquantoonúmerodemoléculasfor grandeosuficienteparamanterumamédiaestatísticadefinida,apropriedade ^
pressãosofreumavariaçãocontínua.Entretanto,existeumvolumeabaixodoqualadiminuiçãononúmerodemoléculas
produzumadescontinuidadeno valordapressão.Issoacontecequandoolivre percursomédiodasmoléculas,istoé,a
distânciamédiapercorridapelasmoléculasentreduascolisõessucessivas,for damesmaordemdegrandezado menor ^
comprimentosignificativodosistema.Essevolume,emqueocorreessadescontinuidadenovalordeumapropriedadedo ^
sistema,determinao limite devalidadedomodelodemeiocontínuo.
Omodelode meiocontínuotemvalidadesomenteparaum volumemacroscópicono qualexistaum númeromuito "1
grandedepartículas,ouseja,temcomolimite devalidadeomenorvolumedematériaquecontémumnúmerosuficiente ^
demoléculasparamanterumamédiaestatísticadefinida.Assim,aspropriedadesdeumfluido, no modelodemeiocon- _
tínuo, têmum valor definidoemcadapontodo espaço,de forma queessaspropriedadespodemserrepresentadaspor
funçõescontínuasdaposiçãoe dotempo. 1
1.3 MASSAESPECÍFICAEM UM PONTO ^
Amassaespecíficap, definidacomoamassapor unidadedevolume,éumapropriedadequeilustrabemoconceitode i
meiocontínuo.Pordefinição,considerandoomodelodemeiocontínuo,amassaespecíficaemum pontoédadapor ^
P= üm % (131) 1K AV^ÍV AV ^
onde: - 1
Am é a massacontidano volumeAV; e y
ÔV éomenorvolume,emtornodoponto,quecontémum númerosuficientedemoléculasparaqueexistaumamédia ^
estatísticadefinida,ou seja, é o limite de validade do modelo de meiocontínuo.
^%
Comoexemploilustrativo,consideremosamassaespecíficado aremcondiçõesnormaisdetemperaturaepressão. _
Paraumelementodevolumemacroscópico,pode-seconsiderarqueexisteum númeroconstantedemoléculas.Fazendo 1
ovolumetenderazero,comoaspartículaspossuemmovimentoaleatório,paraum elementodevolumeinfinitesimal,o ^
númerodemoléculasfica dependentedotempo,resultandoemdescontinuidadenovalordamassaespecíficaparavolu-
mesmenoresqueÔV. AFigura1.1 mostraum gráficodamassaespecíficaemfunçãodovolumedoelementodevolume '
considerado,ilustrandoo limite devalidadedomodelode meiocontínuo. ^
AlV^
>AV
<5V
Figura 1.1 Gráficoda massaespecíficaem umponto. ^
1.4 VOLUME ESPECIFICO.PESOESPECIFICO.DENSIDADERELATIVA
Ovolumeespecíficové, pordefinição,ovolumeocupadopelaunidadedemassade umasubstância,ouseja,é oinverso
da massa específica, sendo dado por
v = - (1-4.1)
P
<*r%
O peso específico'de uma substância é o seu peso por unidadedevolume,com módulodado por
r = flg (1.4.2)
"^s
0\
Conceitose Definições Fundamentais
p Adensidaderelativadde umasubstânciaAexpressaoquocienteentreamassaespecíficadessasubstânciaAea
massaespecíficade umaoutrasubstânciaB, tomadacomoreferência.Pordefinição,adensidaderelativaédadapor
f* j_Pa
|ps Geralmente,asubstânciade referênciaparaocasode líquidoséaáguae, paraocasodegases,éoar. Adensidade
relativaindependedo sistemade unidades,poisédadapor um valor adimensional.
£ 1.5 FORÇASDE CORPOEDE SUPERFÍCIE
^ De umamaneirageral,asforçaspodemserclassificadasemduascategorias:
ms • forçasdecorpoou decampo;e
• forçasdesuperfícieou de contato.
As forçasdecorposãoaquelasquesemanifestamatravésdainteraçãocomum campoeatuamsemanecessidadede
v umcontatoentreassuperfíciesdoscorpos.Exemplos:
v • peso,devidoao campogravitacional;
(p • forçaelétrica,devidoa umcampoelétrico;e
j^ • força magnética,devidoaum campomagnético.
m% Essasforçasde corposãoproporcionaisao volumeV* dos corpos.Porexemplo,opesode um corpode massame
_ volumeV, commassaespecíficap, no campogravitacionalterrestrecomaceleraçãof, édadopor
f> W=IJjgdm=IJjgpdV (1.5.I)
0$S m V
pv As forçasdesuperfíciesãoaquelasqueatuamsobreum sistemaatravésdecontatocomafronteirado mesmo.Exem-
0£\
j* • forçasdeatrito;
* • forçasdevidasàpressão;e
^ • forçasdevidasàstensõescisalhantesnosescoamentos.
^ Essasforçasdesuperfíciesãoproporcionaisàáreadasuperfíciesobreaqualatuam.
e 1.6 TENSÃO EMUMPONTO.NOTAÇÃO INDICIAL PARA AS
<P COMPONENTESDA TENSÃO
* O conceitodetensãoenvolveumaforçadecontatoe aáreadasuperfícienaqualatua.Um elementodeáreatemorien-
^ taçãodadapelovetorunitárionormalàsuperfície.As grandezasvetoriaisnecessitamdaespecificaçãodemódulo(valor
jpy numérico),dedireçãoe desentido.Considerandoum sistemareferencial,umagrandezavetorialpodeserespecificada
por três componentes escalares, que são as projeções desse vetor sobre os eixoscoordenados considerados.
X ConsideremosumelementodeáreaAA emtornodo pontoPsobreoqualatuaum elementodeforça AF, conforme
#n émostradonaFigura 1.2. A força AF podeserdecompostaemtrêscomponentesescalaresemrelaçãoaosistemade
coordenadasconsiderado.OelementodeáreaAA tambéméum vetor(temmóduloigualàáreadoelementoAA, dire-
* çãonormalàsuperfícieesentidodedentroparafora do volumedelimitadopelasuperfície),deformaquetambémpode
^ serdecompostoem trêscomponentesescalaressegundooseixosdosistemadereferência.0^ Aespecificaçãodascomponentesdatensão,quetêmadimensãodeforçaporunidadedeárea,necessitadaindicação
dadireçãodacomponentedaforçae,também,daindicaçãodaorientaçãodasuperfícieondeatuaatensão.Umanotação
(r deduplo índiceforneceumadescriçãoconvenienteparaascomponentesdatensão,representadasporTit emqueopri-
jss meiro índiceidentificaadireçãodanormalaoplanonoqualaforça atua,e osegundoíndiceforneceadireçãodacom-
'AdotamososímboloV para volumepara evitar confusãocomoutrasgrandezas,tal comocomavelocidadeV.
CapítuloUm
*y
V*
Figura1.2Elementodeárea AA de
umasuperfícieondeatua umelemen
to de força AF.
ponentedaforçaou datensão,propriamente.Assim,ascomponentesdatensãocomanotaçãoindiciai podemserdefi
nidas por
T. = üm —L
'> Mj-o AAf
(1.6.1)
Considerandoascomponentesde forçasqueatuamemplanosparalelosaosplanoscoordenadosde um sistemade
coordenadasretangulares,ou seja,emelementosde áreacom normaisnasdireçõesx, yez, tem-sequeaEq. (1.6.1)
forneceasnoveequaçõesescalaresquedefinemascomponentesdatensão,poisosíndicesiej podemassumirosvalores
x, yez. Seosíndicesforemiguais(i = j),tem-seumacomponentedetensãonormalrepresentadapor cr.., enquantoseos
índicesforemdiferentes(i =É j) tem-seumacomponentedetensãocisalhante(tangencial),representadapor r...
ParaumelementodeáreaAAX, comnormalnadireçãox, sobreoqualatuamascomponentesdeforçaAFX, AFy eAF2
nasdireçõesx, yez, respectivamente,resultamumacomponentede tensãonormalo^eduascomponentesde tensão
cisalhante(tangencial)t^ et„, quesãodefinidaspelasequações
, AF,
tr« = hm ——•
AAx-0AA,
AF
t„ = lim -
aa*-o AAr
t„ = lim
AF.
^*-o AA
(1.6.2a)
(1.6.2b)
(1.6.2c)
Damesmamaneira,considerandoelementosdeáreaAAy eAA., comnormaisnasdireçõesyez,respectivamente,são
definidasascomponentesdetensãoo~n, r^, t^, cra, ra et^. Atensãoemum pontoéespecificadapelasnovecomponen
tesda matriz
T = (1.6.3)
conhecidacomotensortensão,cujosímboloo~indicaascomponentesnormaiseTrepresentaascomponentescisalhantes
datensão.ConsideremosoelementodevolumemostradonaFigura 1.3 paravisualizarmosascomponentesdatensão
comanotaçãoindiciai, lembrandoqueessasnovecomponentespassamaatuarno mesmopontoquandoovolumedo
elementodevolumetendea zero.
AFigura1.3apresentaascomponentesdetensãocomsinaispositivosqueatuamsobreosplanosquetêmvetoresuni
táriosnormaisàsuperfícieno sentidopositivodoseixoscoordenadosconsiderados.Deve-selembrardequeovetornormal
àsuperfícietemsentidopositivodedentroparafora dovolumedelimitadopelasuperfície.Aconvençãoadotadaéaseguin
te: umacomponentedetensãoépositivaseovetornormalàsuperfíciesobreaqualaforçaatuaeacomponentedatensão
propriamentetêm,ambos,sentidosnadireçãopositivaou negativadoseixosdo sistemadereferência;eumacomponen
tedetensãoénegativaseovetornormalàsuperfíciee acomponentedaforça queatuano planotêmsinaiscontrários.
Considerandoum elemento devolumetetraédrico,comtrêsfacesorientadasaolongodos planoscoordenadosde um
sistemadecoordenadasretangulares,Cauchydemonstrouquecomoconhecimentodamatriz tensão,comascompo-
/%
/^
/%tb
#*
(flP^
0s
0!s
m
Conceitose Definições Fundamentais
rt
*S
Figura 1.3 Componentes da tensão
com anotaçãoindiciai.
nentesrelativasàsdireçõesdoseixoscoordenados,pode-secalcularatensão,no mesmoponto,relativaaqualqueroutra
direção.Considerandoumasuperfíciecujaorientaçãoédadapor um vetorunitárionormal ti expressoem termosde
seusco-senosdiretoresa, becem relaçãoaoseixosde um sistemade coordenadasretangularescomvetoresunitários
direcionais i, j ek, deformaque
n = ai +bj + ck
sendo
a= n • i; b = n • j\ c = n • k
e
a2 + b2 + c2 = l
resultaque,pelarelaçãode Cauchy,atensãonadireçãon édadapor
f (w) = fn
onde T é amatriz tensãoda Eq.(1.6.3).
(1.6.4)
(1.6.5)
(1.6.6)
(1.6.7)
1.7 FLUIDOS.DEFINIÇÃOEPROPRIEDADES
1.7.1 DefiniçãodeFluido
Fluidoéasubstânciaquesedeformacontinuamentesobaaçãodeumatensãocisalhante(tangencial),pormenorque
sejaa tensão de cisalhamentoaplicada.
Os sólidoseos fluidos apresentamcomportamentosdiferentesquandosubmetidosaumatensãocisalhante.pois as
forçasdecoesãointernasãorelativamentegrandesnossólidosemuito pequenasnosfluidos. Um sólido,quandosubme
tido aum esforçocisalhante,resisteàforça externasofrendoumadeformaçãodefinidade um ângulo9, desdequenão
seja excedido o limite deelasticidadedo material.
Osfluidos, comaaplicaçãodeumatensãocisalhante,sedeformamcontínuaeindefinidamenteenquantoexistiressa
dfí
tensãotangencial,resultandoumataxadedeformação—-, poisoângulodedeformaçãoéfunçãodo tempo,0= d(t). no
lugardeum ângulodedeformaçãocaracterísticoqueocorrenocasodossólidos.AFigura1.4ilustraadeformaçãosofrida
por um sólidoe porum elementodevolumefluido causadapelaaplicaçãodeumatensãocisalhante.
V̂ V VVVVVVV V
01
/TA
/ Sólido
/
vrrq—•
ei
i
i
i
777//////////
Deformação9 característica
IV^VVVVVVVl̂ VV
'0/'^ '2
T7
/ .' Elemento
/.' fluido
//////// 7T
Taxadedeformação^ Figura1.4 Deformação de um sólido e de urr.e.e
mentofluido submetidosa tensõescisaihanres
6 CAPfruLoUM ^
1.7.2 AlgumasPropriedadesdosFluidos 2
a) Osfluidos submetidosaesforçosnormaissofremvariaçõesvolumétricasfinitas. Quandoessasvariaçõesvolumétricas _
sãomuito pequenas,considera-seos fluidos incompressíveis.Geralmente,os líquidossãoincompressíveis(desdeque 1
nãoestejamsubmetidosapressõesmuito elevadas),enquantoosgasessãocompressíveis. ^
b) Existindotensãocisalhante,ocorreescoamento,ou seja,ofluido entraemmovimento. , r. , *»
c) Os fluidos semoldamàsformasdosrecipientesqueos contêm,sendoqueos líquidosocupamvolumesdefinidose f
apresentamsuperfícieslivres, enquantoosgasesseexpandematéocupartodoorecipiente.Essamoldagemnoslíquidos ^
deve-seaoescoamentocausadopelaexistênciadecomponentecisalhantedo pesodoselementosdevolumedo fluido. ^
d) Paraumfluido emrepouso,atensãoéexclusivamentenormal,sendoseuvalorchamadodepressãoestáticapque, '
emumponto,éigual emqualquerdireção,ouseja, /
«F- ='. =Oi. = -V <17-21> "5
EssaEq. (1.7.2.1)éumaformulaçãomatemáticado Princípiode Pascal,queseráestudadono Capítulo3, Funda- ^
mentosda EstáticadosFluidos. ^
1.7.3 Fluidos Newtonianos ^
De umamaneirageral,os fluidos sãoclassificadoscomonewtonianosenão-newtonianos.Essaclassificaçãoconsidera ^
arelaçãoexistenteentreatensãocisalhanteaplicadaeataxadedeformaçãosofridaporumelementofluido. Tem-seum
fluido newtonianoquandoatensãocisalhanteaplicadaédiretamenteproporcionalàtaxadedeformaçãosofridaporum ?
elementofluido. Sãoclassificadoscomofluidos não-newtonianosaquelesnosquaisatensãocisalhanteaplicadanãoé ^
diretamenteproporcionalàtaxadedeformaçãosofridapor um elementofluido. Aáguaeoar, porexemplo,sãofluidos ^
newtonianos.Estudaremossomentefluidos newtonianos.
1.7.4 Viscosidade ^
Aviscosidadeé apropriedadeassociadaàresistênciaqueofluido ofereceàdeformaçãoporcisalhamento.De outra
maneira,pode-sedizerqueaviscosidadecorrespondeaoatrito internonos fluidos devido,basicamente,às interações ^
intermoleculares, sendo, em geral, função da temperatura. /»
Consideremosumelementofluido infinitesimal, situadoentreduasplacasplanasparalelasdegrandesdimensões,
quesofreumadeformaçãonointervalodetempodt, conformeémostradonaFigura1.5. l
AplacasuperiorestáemmovimentocomvelocidadeconstantedVx, enquantoaplacainferiorpermaneceemrepouso. ^
Osfluidos reais(viscosos)apresentamapropriedadedeaderênciaàssuperfíciessólidascomasquaisestãoemcontato,
deforma queumapelículadeespessurainfinitesimaldefluido fica aderidanasplacas. '
EstásendoaplicadaumaforçadFx constantesobreaplacasuperior,quepossuiumasuperfíciedeáreadA emcontato ^
comofluido comnormalnadireçãoy, demaneiraqueatensãocisalhanteaplicadaaoelementofluido édadapor _
r =lim^V O-7-4-1) ^~- ^ AA-0 AA *%
e tem-se que ^
[taxadedeformação _̂ dd ,.-..« ^
do elementofluido) dt a%
dL avxI' •! -^-» dFx
Elementofluido •
no instante t f
dd / de /^ Elementofluido
no instante r + dt~~J\ dy n^í
/
/////////
X
i
/
/
7F77r
/r î
r^b
Figura 1.5 Deformaçãode umelementofluido infinitesimalsob a açãode tensãocisalhante. /esh
0^\
CoNCErroseDefiniçõesFundamentais 7
Da definiçãodefluido newtoniano,tem-sequeatensãodecisalhamentoédiretamenteproporcionalàtaxadedefor
mação,ou seja,dd
^^ (1.7.4.3)
Devidoàpropriedadedeaderênciadosfluidos reaisàssuperfíciessólidascomasquaisestãoemcontato,tem-seque
^ avelocidadedeescoamentojuntodaplacasuperiorédVx, enquantoofluido juntodaplacainferior estáemrepouso,de
f* formaqueexisteumadeterminadadistribuição(perfil) develocidadedeescoamentodofluido entreasduasplacas.Como
g^ émaisconvenientetrabalharcomgradientede velocidadede escoamentodo quecom taxade deformaçãode um ele
mentofluido, vamosmostrar,aseguir,queataxadedeformaçãoéigual aogradientedevelocidadeexistenteno escoa
is mento.
0s ConsideremosaFigura 1.5.A distânciadL édadapor
^ dL = dVxdt (1.7.4.4)
#* O ângulodedeformaçãosorridono intervalodetempodt éd$, deforma quetambémtem-se
f" dL = dyig(d6) (1.7.4.5)
(P mascomoparapequenosângulospode-seconsiderarqueatangentedo ânguloépraticamenteigual aoângulo,resulta
<P dL=dydd (1.7.4.6)
IP Assim, tem-seque
<P dVJt =dydd (1.7.4.7)
X de forma que
• de dvx
r i=^r <L7A8)
/Ps
ouseja,ataxadedeformaçãosofridapeloelementofluido é igual aogradientedevelocidadedeescoamento.
v Assim, parafluidos newtonianosa tensãocisalhanteaplicadaé diretamenteproporcionalà taxadedeformaçãodo
0\ elementofluido ouaogradientedevelocidadedeescoamento,epode-seexpressarque
^ r = »*> (1749)
(f^ que, emtermosdogradientedevelocidadedeescoamento,podeserescritacomo
f dV
e T-—""ít (17A10)
^ ondeocoeficientedeproporcionalidade/x éaviscosidadeabsolutaoudinâmica do fluido. EssaEq. (1.7.4.10)éconhecida
(P* comoaLei deNewtonpara aViscosidade.Osinalnegativoédevidoaofato dequeotransportedemomentolinearatravés
0^ do fluido, nadireçãoy, ocorreno sentidocontrárioaogradientedevelocidadedeescoamentoe dequeatensãocisalhan
tecorrespondeà densidade defluxo de momentolinear,conformeseráexplicadomais detalhadamente na seçãoTrans-
(P* porte Difusivo de Momento Linear, no Capítulo2.
0\ Osfluidos reaispossuemviscosidade,emmaiorou menorintensidade,deforma que, quando emescoamentocom
gradientesdevelocidade,apresentamfenômenosde atritoviscoso.A viscosidadeé causada fundamentalmentepela co-
v esão intermolecular e pela transferência de momento linear através do fluido.
|P* Oslíquidossemoldamaosrecipientesqueoscontêm,devidoaoescoamentocausadopelaexistênciadecomponentes
-^ cisalhantesdo pesodeseuselementosdevolume.Aviscosidadeé apropriedadedo fluido quedeterminaavelocidade
" desseprocessodemoldagem.Verifica-sequeaáguasemoldarapidamenteaum recipiente,enquantooprocessode
^ moldagemdaglicerinaaum recipienteémuitomaislento,poisaviscosidadedaglicerinaémuitomaiordoqueadaágua,
0ib ou seja,aglicerinaoferece umaresistênciamaioràdeformaçãoporcisalhamento.
No escoamentolaminar,o fluido escoa emlâminasparalelase o atritoviscosocausa tensões cisalhantes entre essas
C^ camadasdo fluido emmovimento.Deve-seobservarquesomenteocorremanifestaçãodeatritoviscoso,numescoamen-
#s to,quando há deslocamentorelativoentre as partículasfluidas,ou seja,quando existegradiente de velocidadena direção
transversalaomovimentodo fluido, que correspondea umataxade deformaçãodos elementos de volumedofluido.
fàk
CapítuloUm
• Aviscosidadedependedatemperatura,everificam-seefeitosopostossobreaviscosidadedegasesede líquidosem ^
funçãodavariaçãodatemperatura.Emgeral,nosgasesacoesãointermolecularédesprezível,resultandono fato deque ^
atensãocisalhanteentreduascamadasdo fluido emescoamentoédevidaàtransferênciademomentolinearentreessas
camadas.No escoamentolaminar,omovimentodo fluido ocorreemlâminasparalelas.Devidoaomovimentomolecular >
caótico resultatransferênciade moléculasnadireçãotransversalao escoamentoentrecamadascomvelocidadesdife- ^
rentesouseja,ocorretransferênciademomentolinearentreascamadas,decorrentedascolisõesintermoleculares.Essa
atividademolecularaumentacomoacréscimodetemperatura,deformaqueaviscosidadeaumentacomatemperatura
nosgases. 1,1-Nos líquidos,asdistânciasintermoleculareseaintensidadedosmovimentosdasmoléculassaomuito menoresque ^
nosgases,deformaqueatransferênciademomentolinearentreascamadas,devidoaosmovimentosmoleculares,pode
serdesprezada.Assim, as tensõescisalhanteseaviscosidadedependemprincipalmenteda intensidadedasforçasde 1
coesãointermolecularquediminuemcomoacréscimodetemperatura,demaneiraqueaviscosidadedoslíquidosdimi- ^
nui com oaumentoda temperatura. /%
Emváriasequaçõesdamecânicadosfluidos, apareceoquocienteentreaviscosidadeabsolutaoudinâmicaeamassa >
específicado fluido, sendoconvenienteadefiniçãode umaoutrapropriedadechamadadeviscosidadecinemáticavdo ^
fluido, dadapor ^
v = £ (1.7.4.11) *
p /^\
As dimensõeseunidadesdeviscosidadepodemserdeterminadasapartir da Eq. (1.7.4.10),resultandono Sistema ^
Internacional de Unidades (SI): . *%
T
_dV/dy_
=
' F/A '
dV/dy^
lf-l[li]= —— = -^f- =MLr2L-2L-HL = ML-H
^
•%
^8h
, , , unidadede t _ N/m2 _ N-s _ D
unidadede p, = ——. ,..... . —r ; vz-s,
unidadede(dV/dy) m/s m2
H =
m
M = ML-lrlM-lü = üf
pj ^
, . . unidadede p. Pa •s ,, /
unidadede v = —-—: = 1—— —m /s
unidadede p kg/m3 ^
1.8 MÓDULO DEELASTICIDADEVOLUMÉTRICA. ^
COMPRESSIBILIDADE ^
Geralmente,quandoseaplicapressãosobreum fluido elesofreumareduçãovolumétrica,equandoseretiraapressão J>
aplicadaeleseexpande.Acompressibilidadedeum fluido estárelacionadaàreduçãovolumétricadecorrenteparauma ^
dadavariaçãodepressão.Na maioriadassituações,um líquidopodeserconsideradoum fluido incompressível(quenão
sofrevariaçõesdemassaespecífica);entretanto,quandoexistemvariaçõesmuito elevadasou bruscasdepressãoacom
pressibilidadetorna-sesignificativa. /
Usualmente,acompressibilidadedeumlíquidoédadapeloseumódulodeelasticidadevolumétrica£.Consideremos ^
um volumeVdeum líquido; seapressãoaplicadaaumentaemdp, resultaumadiminuiçãodevolume(-dV), deforma
queomódulodeelasticidadevolumétricaédefinidopor '
£=_^L • (1.8.1) ^
Omódulodeelasticidadevolumétrica£éexpressoem unidadesdepressão,poisotermo(íiV)/V éadimensional. "*>
1-^
f
(p\
Conceitose DefiniçõesFundamentais
Exemplo1.1
Análisedacompressibilidadedaáguatconsiderandoumasituaçãoemqueéaplicadaumavariaçãodepressãode
umaatmosfera*ou.seja,dp = 101,3kPàsobreumvolumedè um metrocúbicodeágua*
Paraaáguana temperaturade 25°C,tem-sequeE=2,22 X IO9 Pa,de forma queavariaçãode volumeédad£
dV = ——£ = -45,6 XIO"6 m3 « —
por
E 22000
f* Assim,aaplicaçãodeumavariaçãodepressãodeumaatmosfera(101,3kPa)sobreaáguacausaumareduçãoemseu
a volumede apenasumaparteem22000,de forma queaconsideraçãode um líquido comoaáguaserincompressívelé
uma aproximação bem razoável.
r 1.9 EQUAÇÃODE ESTADOPARAUM GÁSPERFEITO
mb Na termodinâmica,asvariáveisusualmenteutilizadasparadescreverum sistemasãoapressãop, ovolumeVeatempe-
raturaT. Em muitassituaçõeséconvenientetrabalharcomovolumeespecíficov(ou comamassaespecíficap) no lugar
f^ do volumetotal V. EssastrêsvariáveisdeestadoV(ouvoup), peTnãosãoindependentese,geralmente,umavariação
(p em umadastrêsalteraasdemais.Umarelaçãoanalíticaentreessasvariáveiséchamadadeequaçãode estado.
_ Um gásperfeito,emquenãoexistemforçasde interaçãointermoleculardeorigemeletromagnética,com interações
somenteatravésdecolisõesentreasmoléculas,podeserdefinidocomoumasubstânciaquesatisfazàlei dosgasesper-
^ feitos ou ideais,quepodeserexpressaatravésdaequaçãodeestado
pv = RT (1.9.1)
onde:
p é a pressão absoluta;
v é ovolumeespecífico;
fiéa constante do gás; e
T é atemperaturaabsoluta.
Comoovolumeespecíficoédefinidocomooinversoda massaespecífica,aequaçãode estadode um gásperfeito
pode ser escrita como
£ =RT (1.9.2)
P
onde p é a massaespecífica.
Não existeumgásperfeito;entretanto,osgasesreaissubmetidosapressõesbastanteabaixodapressãocrítica c a
temperaturasbemacimadatemperaturacrítica,ouseja,distantesdafase líquida,geralmentepodemserconsiderados
gases perfeitos ou ideais.
A Eq. (1.9.2) também pode serexpressadaseguinteforma:
pV = mRT (1.9.3i
onde:
Vé ovolumeocupadopelogás;e
m é a massa do gás.
Aunidadedaconstantedo gásRpodeserdeterminadadaequaçãodeestado,sendoque.no SI, tem-seapressãocm
pascal,amassaespecíficaem quilogramaspor metrocúbicoe atemperaturaem kelvin, deforma que
N-m3 _ N •m _ J
unidadede R =
m2 • kg• K kg •K kg • K
Aequaçãodeestadodeumgásperfeitotambémpodeserescritaemtermosmolares.Ummol éaquantidadedematéria
deum sistemacontendotantasentidadeselementaresquantosforem osátomosexistentesem0,012quilogramadecar-
10 CapítuloUm
bono 12. Sené onúmerode mols existentesno volumeV, amassado gásédadaporm= nM, ondeMéamassa ^
moleculardogás,deformaqueaEq. (1.9.3)podeserexpressacomo ^
pV = nMRT (1.9.4) /^
Paraos gasesquesecomportamcomoperfeitos,oprodutoMR éumaconstante,representadapor Ra, chamadade ^
constanteuniversaldosgases,de forma queRu = MR, resultando ^
pV =nRuT (1-9.5) ^
Aconstanteuniversaldosgasesno SI édadapor m^
R»= 8,314-f- 1
moi * l\> /*%
1.10 ENERGIAINTERNA.CAPACIDADETÉRMICAE ^
CALORESPECÍFICO ^
Aenergiainternadeumsistemaéumafunçãodoestadotermodinâmicoeinclui aenergiadeatividadetérmica(cinética) "^
desuasmoléculase,também,aenergiadasinteraçõesintermoleculares.nosistema.Geralmente,aenergiainternade
umasubstânciaéfunçãodatemperaturae dapressão,sendoque,paraum gásperfeito,pode-seconsiderarqueelade
pendesomentedatemperatura.Em geral,trata-secomvariaçõesdaenergiainternaentredoisestadostérmicos.. ^
Denomina-secapacidadetérmica Cde um corpooquocienteentreaquantidadedecalorfornecidaaocorppeocor^ ^
respondenteacréscimodetemperatura.NoSI,aunidadedecapacidadetérmicaéjouleporkelvin (J/K).
Calor específicocdeumasubstânciaé aquantidadedecalorquedeveserfornecidaparaumaunidadedemassapara 'j
aumentara suatemperaturaem umgrau. No SI, aunidadedecalorespecíficoé jouleporquilogramae porkelvin /m
(J/kg•K). Paradefinir completamentecalorespecífico,deve-seespecificarascondiçõessegundoasquaisocalorétrans-
ferido para o sistema. '
Define-secalor específicoavolume constantecv deumasubstânciacomoaquantidadedecalorrecebidoporunidade ^
de massa e por unidade de temperatura quando o volumedo sistema permanece constante, ou seja, —
1ÍS&] ^
=- ã?L <li0l) 2cv = —m
Define-secalor específicoapressãoconstantec de uma substânciacomoa quantidade de calor recebido por unidade
de massa e por unidade de temperatura quando a pressão do sistema permanece constante, ou seja,
mUTL
(1.10.2)
/r*^\
*%
NasEqs.(1.10.1)e(1.10.2),aquantidadeinfinitesimaldecalorfoi simbolizadapor ÔQ enãopordQ, paralembrar ^
queQnãoéfunçaüJustado,ouseja,queocalorQdependedatrajetória,ouseja,do processotermodinâmico. ^
Nos gases,os efeitos decompressibilidadesãosignificativos,e é importante fazerdistinção entre o calor específicoa
volumeconstante cve o calorespecíficoa pressãoconstantec . Oslíquidos,em geral,apresentamvariaçõesdesprezíveis /
devolumeespecífico.Paraoslíquidos,geralmentepode-seconsiderarqueo calorespecíficoavolumeconstanteéprati- *%
camente igualao calor específicoa pressãoconstante. _
1.11 TENSÃOSUPERFICIAL.CAPILARIDADE ^
Observa-sequeasuperfícielivre deum líquidoassemelha-seaumapelículaesticada,demaneiraqueexistetensãoatu- ^
ando no planoda superfície. Issopode serevidenciadoatravésdas seguintesexperiênciassimples:enchendo, cuidadosa
mente,um copocomágua,pode-setê-laacimadaborda,observandoque apelículasuperficialdaágua,que securva 1
acimadabordadocopo,nãoadeixaderramar;colocando,cuidadosamente,um pequenoobjetometálico(umapequena <^
agulha,porexemplo)nasuperfíciedaáguaemrepouso,pode-severificarqueele ésustentadopelapelículasuperficial;
eobserva-se,também,quealgunsinsetospodemandarsobreaáguasemafundar,poisapelículasuperficialos sustenta. '
Pode-seexplicara formaçãodessa películada seguinteforma. Asmoléculasda camadasuperficialencontram-seem ^
condiçõesdiferentesdasoutraslocalizadasno interior da massalíquida. No interior, as moléculasestãocercadaspor ^
(P
(P
^
#N
0&S
0&b
Conceitos eDefiniçõesFundamentais 11
todosos ladosporoutraspartículasidênticas,sendo,assim,atraídasigualmenteemtodasasdireçõesporsuasvizinhas,
enquantoasmoléculasqueseencontramnasuperfícietêmpartículasvizinhasiguaisaelassomentedo ladodedentrodó
líquido. Dessaforma, resultaque, na superfícielivre de um líquido, praticamentenãoexistemforçasqueatraemas
moléculasparafora do líquido. Assim,asmoléculaslocalizadasnasuperfícielivre sofremumaforça de atraçãode fora
paradentrodo líquido, resultandoem umapelículacomefeitode tensãoao longodo planodasuperfície.
Agrandezafísicaassociadaaesseefeitoéatensãosuperficial, representadaporcr. Considerandoumalinha traçadana
superfícielivre, atensãosuperficialpodeserdefinidacomoaforçaporunidadedecomprimentoqueatuaperpendicular
menteaessalinhaeno planodasuperfície.No SI, aunidadede tensãosuperficialéN/m. Atensãosuperficialdecorre
dasforçasdecoesãointermolecular,deformaqueeladiminui comoaumentodatemperatura.Atensãosuperficialde
pende,também,do fluido queestásobreasuperfícielivre, sendo,geralmente,tabeladaparaocasodeseroarofluido
sobreolíquido.
Porcausadatensãosuperficial,asuperfícielivre deum líquido tendesempreasecontrair,demaneiraquesuaárea
sejaamenorpossível.Essaéarazãopelaqualasgotasdeumlíquidosãoesféricas,poisestaéageometriaqueapresenta
menoráreade superfícieparaigual volume.Outrosefeitosda tensãosuperficialsãooaumentoda pressãodentrode
gotasedentrodejatosde líquidoscompequenodiâmetro,eaagregaçãodematerialgranularúmido.
Capilaridade éonomedadoao fenômenodeum líquidoseelevarnumtubocapilarqueestáparcialmenteimersono
líquido.Aelevaçãocapilardependedatensãosuperficialedarelaçãoentreaadesãolíquido-sólidoeacoesãodo líquido.
Um líquidoquemolhaosólido(ângulodecontatod< tt/2, conformeoesquemadaFigura1.6),temumaadesãomaior
queacoesãoe,nessecaso,observa-sequeemfunçãodatensãosuperficialolíquidosobedentrodeum tubocapilarque
estáparcialmenteimersonolíquido.Aforçadetensãosuperficialatuaaolongodacircunferênciainternadotuboetem
adireçãodadapeloângulodecontatodentreolíquidoe osólido,conformeémostradonaFigura 1.6.
e \ fe
•-t/C/C/Ot^C/CxCt/t/C
T
h
•> 1/C/C^t-ft/CytXC/tyOl
Figura1.6 Efeito decapilaridadepara o caso
deum líquidoquemolhao sólido.
Paralíquidosque não molham osólido, como omercúrio,a tensãosuperficialcausa umrebaixamentodomenisco
num tubocapilar.Pode-secalculara altura que olíquidosobenum tubo capilarparasituaçõesem que sãoconhecidoso
ângulode contato entre o líquidoe o sólidoe a tensãosuperficial.
Exemplo1.2
Determinea alturahacimado níveldoreservatórioem que a águase elevanum tubo capilarde vidrocomdiâmetro
internod = 2 mm, conforme é mostrado na Figura 1.6.
Considerando que, para o casoágua-vidro,o ângulo de contato$ é praticamente nulo, o problema resulta em um
equilíbriodeforças,na direção vertical,entre asforçasde peso e de tensãosuperficial:
yh = cnrd
4
yd
Para a água natemperaturade 20°C, sendoa = 0,074 N/m ey = 9810 N/m3, resulta
h = 0,015 m = 1,5cm
12 CapítuloUm "'
1.12 PRESSÃO DE VAPOR.EBULIÇÃO.CAVITAÇÃO ^
Oslíquidossevaporizamdevidoàatividademolecularinternaquecausaaemissãodemoléculasatravésdasuperfície
livre. Asmoléculasdevaporsobreasuperfícielivre exercemumapressãoparcial,chamadadepressãodevapor. A inten- /
sidadedomovimentodasmoléculasdepende da temperatura,deformaque a pressãode vaporaumenta como acréscimo ^%
detemperatura.Define-secomopressãodevaporsaturadoapressãodevaporparaa qualocorreumequilíbriona troca
de moléculas entre o líquido e o vapor. '
Aebuliçãoconsistenaformaçãodebolhasdevapornointeriordolíquido. Essasbolhasdevapor,que possuemmassa ^
específicamenorqueadolíquido,sedeslocamparaasuperfícielivre produzindoaturbulênciacaracterísticadoprocesso ^
deebulição.Aebuliçãode um líquidodepende da temperaturae tambémda pressãoà qual ele está submetido.Observa-
se que um líquidoentra em ebuliçãoa uma temperaturamaisbaixaquando submetidoa uma pressão menor. /
Nosescoamentosde líquidos,,emfunçãodé-algúrha^doridiçõesdinâmicas*podemocorrerpressõesmenoresquea ^
pressãode vapor do líquido, resultando naformaçãode bolhasdevapor.Cavitaçãoé o nome dado a esse fenômeno de
formaçãode bolhasdevaporemcertasregiõesdo escoamentodeum líquido emfunçãodealgumascondiçõesdinâmi- ^
cas.Essasbolhasdevaporgeralmentesedeslocameacabamcolapsandoquandoatingemregiõesdoescoamentoondea ^
pressãoémaiorqueapressãodevapor.: •"• 'V•'••'"-•.••-• •: •VC. t.':; c >H' >•• ;t ^
Aocorrênciadecavitaçãoprejudicaofuncionamentodealgumasmáquinashidráulicas,taiscomobombaseturbinas,
podendoafetartambémodesempenhodoshélicesdenaviosesubmarinos.Essefenômenodecavitaçãopodedanificar^
oscomponentesdessesequipamentos,alémdeintroduzirvibraçõesindesejadasnosistema.Osdanoscausadosàssuper- <%
fíciessólidasqueestãoemcontatocomoescoamento,associadosàcavitação,relacionam-secomoprocessodeimplosão
dasbolhasdevaporqueprovocapulsosdepressãoque,aoatingiremasparedes,retiramdasmesmaspequenaspartículas '
de materialsólido. s%
1.13 GRANDEZAS,DIMENSÕESEUNIDADES *»
OSistemaInternacionaldeUnidades(SI) foi adotadooficialmenteno país,deformaque,nestetexto,usaremossomente ^
oSI. Apresentaremosaseguir,resumidamente,oSistemaInternacionaldeUnidadescomasgrandezasdebaseusuaisna ^
área de Fenômenosde Transporte.
CadagrandezafísicatemumadimensãoeumaunidadeSI. As grandezasfísicaspodemserclassificadasemdoisgru-
pos:grandezasdebase(fundamentais)egrandezasderivadas.As grandezasdebasesãoaquelasparaasquaisseestabe- ^
lecemunidadesdemedidaarbitrárias,enquantoasgrandezasderivadassãoaquelascujasunidadessãoexpressasemfunção m
dasunidadesdasgrandezasdebase.Sempreéimportantelembrarquequalquerequaçãoquerelacionagrandezasfísicas
deveserdimensionalmentehomogênea,ou seja,cadatermonaequaçãodeveterasmesmasdimensões. ^
Em FenômenosdeTransporteusualmentesetratacomasseguintesgrandezasedimensõesfundamentais:massaM, ^)
comprimentoL, tempotetemperaturaT. No SI, aunidadede massaéoquilograma(kg), aunidadedecomprimentoé ^
ometro (m), aunidadede tempoéosegundo(s) eaunidadede temperaturaéokelvin (K). Aforça éumagrandeza *
derivada,sendoasuaunidadeonewton(N), definidoatravésdasegundalei de Newtonparaomovimentocomo ^
lN =lfc 2
s2 ^
Dasegundalei deNewtonparaomovimento,quepodeserescritacomo ^
obtém-sequeadimensãodagrandezaforçaédadapor ^
[F] = [ma] = MLr2 ^
F=
1.14 CONSIDERAÇÕESSOBREATERMINOLOGIA ""*
Verifica-sequeos livros detextonaáreadeFenômenosdeTransporteapresentamumaterminologianão-uniformee. em ~
algunscasos,em desacordocomaregulamentaçãometrológicabrasileira.
Nestetexto,utilizamosumaterminologiaseguindoaregulamentaçãometrológicabrasileira.Consideremosatransfe- "^)
rênciademassaedecalor(energia).SegundooQuadroGeralde Unidadesde Medida,anexoàResoluçãodo Conselho *t
f^
#*
IP*
0\
CONCETTOSEDEFINIÇÕESFUNDAMENTAIS 13
Nacionalde Metrologia,NormalizaçãoeQualidadeIndustrial- CONMETROn.° 12, de 12 deoutubrode 1988 têm-
se as seguintes definições:
Fluxo de massa,comaunidadequilogramaporsegundo(kg/s),éofluxo de massade um material que,em regime per
manenteatravésde uma superfíciedeterminada, escoaamassade 1quilograma do material em 1segundo;
Fluxodeenergiaoupotência,comaunidadewatt (VV), éapotênciadesenvolvidaquandoserealiza, demaneira contínua
euniforme, otrabalho de 1joide em l segundo;
Densidadedefluxo deenergia,comaunidadewatt por metroquadrado(W/m2),éadensidadede umfluxo deenergia
unifortne de l watt, atravésde uma superfícieplana de l metro quadrado de área, perpendicularàdireçãode propagaçãoda
energia.
Nestetexto, trataremoscomtransferênciadealgumasgrandezasfísicas,taiscomodemassa,dequantidadedemovi
mento(momento)linearedecalor,ou seja,trataremoscomfluxos edensidadesde fluxo dessasgrandezas.,...
Assim,deacordocomaregulamentaçãometrológicabrasileira,nosfenômenosdetransferênciaqueestudaremosneste>
texto, fluxo de umagrandezaéaquantidadedessagrandezaqueétransferidapor unidadede tempoatravésde umasu
perfícieperpendicularàdireçãode propagaçãodagrandeza,enquantoadensidadede fluxo de umagrandezaéofluxo
dessagrandezapor unidade de área.
1.15 BIBLIOGRAFIA
BENNETT,C. O. &MYERS,J.E. Fenômenosde Transporte. McGraw-Hill doBrasil, SãoPaulo,1978.
FOX, R. VV. & MCDONALD, A. T. Introdução àMecânicados Fluidos. GuanabaraKoogan,Rio deJaneiro,1988.
INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO EQUALIDADE INDUSTRIAL- INMETRO. Quadro Geral
de Unidades de Medida.1989.
SHAMES, I. H. Mecânicados Fluidos. EditoraEdgardBlücher,SãoPaulo,1973.
SISSOM,L. E.&PITTS, D.R. Fenômenosde Transporte. GuanabaraDois, Rio deJaneiro,1979.
STREETER,V. L. & WYLIE, E. B.Mecânicados Fluidos. McGraw-Hill doBrasil, São Paulo. 1982.
TIMOSHENKO, S.P.History ofStrength ofMaterials. McGraw-Hill BookCompany,1953.
VENNARD, J.K. & STREET,R. L. Elementosde Mecânicados Fluidos. GuanabaraDois, Rio deJaneiro,1978.
VVELTY, J.R.; VVICKS, C.E. & WILSON, R. E. FundamentaisofMomentum, Heat and MassTransfer. JohnVViley, 1976.
1.16 PROBLEMAS
1.1 Oslíquidose osgasessãofluidos, masapresentam
característicasdiferentes.Descrevaaspropriedadesquedi
ferenciamosgasesdoslíquidos.
1.2Determineasdimensõesdasviscosidadesabsoluta(di
nâmica)e cinemática.
1.3 AFigurpJ 7 mostra o esquema de um escoamento de
águaentre duas placasplanashorizontaisde grandesdimen
sões e separadas por uma distânciad pequena. A placa in
ferior permaneceemrepouso,enquanto a placasuperior
vx = 1 m/s
está em movimento com velocidadeVx constante,de forma
que resulta umadistribuiçãolinear de velocidade de esco
amento da água. Sendo aviscosidadeda águafjL = 0,001
Pa • s,determine:
a) o gradiente de velocidade de escoamento; e
b) a tensão de cisalhamento na placa superior.
Resp.:a) —i- =200s"1
dy
b) t„ = -0,2 Pa
1.4 Considere a Figura 1.7 do problema anterior. Se. no
lugarda água, existe um óleo e se é necessária uma tensão
cisalhantede 40 Pa para que a velocidade da placa perma
neçaconstante,determinea viscosidadedinâmicadesse
óleo.
Resp.:/xóleo = 0,2 Pa • s
1.5 A Figura 1.8 mostra umesquemada distribuição de
velocidade para umescoamentolaminar de um fluido
newtoniano,totalmentedesenvolvido,num duto de seção
circular de diâmetroconstante,dada por
VÁr)=Vw -(;)'
u CapítuloUm
onde:
Vmáx é avelocidademáximadoperfil (distribuição),que
ocorre nocentroda seção, e
Réo raio internodo duto.
Sendofi a viscosidade dinâmica do fluido, determine:
a) adistribuiçãode tensõesdecisalhamentoTn noesco
amento;e
b)aforçaporunidadedecomprimentoqueoescoamento
exercesobre a parede do duto.
Resp,a)T„=M
fi2
b).íi =4*p.V„
*>z
Figura1.8
1.6 A Figura 1.9 mostra um esquema de um escoamento
laminar,totalmentedesenvolvidoe emregimepermanen
te,deum fluido newtoniano,entreduasplacasparalelase
estacionárias,degrandesdimensõese separadasde uma
distânciah pequena.A distribuiçãodevelocidadede esco
amento é dada por
vx(y) = vm m
Determineaforçacisalhante,porunidadedeárea,exerci
dapeloescoamentosobreaplacasuperior.
WWWW
Figura1.9
1.7Considerandoque omódulodeelasticidadevolumétri
ca da água é E = 2,22 XIO9 Pa, determine avariaçãode
pressãonecessáriaparareduzirovolumeda águaem 0,1%.
Resp.:Ap = 2,22 X IO6 Pa
1.8 Mostreque o módulodeelasticidadevolumétricaE, ex
pressoemfunçãodavariaçãodamassaespecífica,édadopor
E=-4-
dp-
P
1.9Considereoar,aoníveldomar,compressãop = 101,3
kPaetemperaturaT = 20°C. SendoR„ = 287- ' m
determineamassaespecíficado ar.
Resp.:^ =1,2^-
nv
kg-K'
1.10Determineapressãode 2 kgde ar que estãoconfina
dosnumrecipientefechadocomvolumeiguala160litros,
N-mà temperaturade 25°C, considerandoR„ = 287
Resp.:p=1069 kPa
kg-K
S$K
^Q\
/%
J
<*%
^%
s®b
fv%b
/^\
^b
<
r~——— v Capítulo2 >
CONCEITOS DEFENÔMENOSDETRANSPORTEE
ANALOGIA ENTREOS PROCESSOSDIFUSIVOS
UNIDIMENSIONAIS DE TRANSFERÊNCIADE
MOMENTO LINEAR, DE CALOR E DE MASSA
2.1 INTRODUÇÃO
Nestecapítulo,conceituaremoseapresentaremosumaformulaçãobásicaparaFenômenosdeTransporte.Vamoscon
ceituareanalisar,apartir de uma abordagemfenomenológica,processosunidimensionaisem queocorremfluxos de
momentolinear (escoamentolaminarde um fluido), de energia(conduçãode calor) ede massa(difusãomolecular),
apresentandoummodelocomumemostrandoaanalogiaexistenteentreessestrêsfenômenosunidimensionaisdetrans
ferênciadifusiva.
2.2 GRANDEZAS EXTENSIVAS E INTENSIVAS. CAMPOS
\ , Na análisede umasituaçãofísica, geralmentecentramosnossaatençãoem umadeterminadaporçãode matériaque
~; C denominamossistema.Devemosescolher,adequadamente,grandezasobserváveis,quesãoaspropriedadesadotadaspara
• ,: a descriçãodo comportamento do sistema.
Grandezasextensivassãoaquelasquedependemdo volumeou da massa,ou seja,sãopropriedadesdo sistemacomo
. . um todo. Exemplosde grandezasextensivas:massa,momento(quantidadede movimento)lineareenergia.
V^—t- Grandezas intensivas sãoaquelasdefinidasemum pontoeque nãodependemdo volume ou da massado sistema.
Exemplosdegrandezasintensivas:massaespecífica,concentração,velocidadeetemperatura.Em muitassituações,elas
\ possuemvaloresdiferentesempontosdistintosdo sistema,de forma queoconceitodecampoémuito útil.
Campo é umadistribuiçãocontínuadeuma grandezaintensivaquepodeserdescritaporfunçõesdecoordenadas
espaciaisedo tempo.Em outraspalavras,campoéumarepresentaçãoda regiãoedo valor dapropriedadeintensivaem
cadapontoda região.Seagrandezaintensivaéum escalar,tem-seum campoescalar.Exemplos:campode temperatura
numaplacaecampodeconcentraçãode umsolutonumasolução.Seagrandezaintensivaé umvetor, tem-seumcampo
vetorial. Exemplos:campo de aceleraçãogravitacionale campo develocidadede escoamento de umfluido.
O gradiente de umagrandezaintensivafornecea taxa devariaçãomáximadessagrandezaemrelaçãoà distância.#
Considerandoum campodetemperaturadescritoporT = T(.x, y,z),tem-seque ogradientedetemperatura,representa
do por grãd T ou VT, é dado por
r
vT-fi +fj +fÉ
dx dy dz
que fornece a taxa de variação máxima da temperatura com a distância.
2.3 DESEQUILÍBRIOLOCAL EFLUXOS. FENÔMENOS DE
TRANSPORTE
Quando o gradienteé nulo navizinhançade um ponto,existeequilíbrio local na distribuiçãodagrandezaintensiva,isto
é, ocampoé uniformeem tornodo pontoconsiderado.Se, navizinhançade umponto,o gradienteé diferentedezero.
existe um desequilíbrio local na distribuição da grandeza intensiva, ou seja, o campo é não-uniforme.
Observa-senanaturezaque,geralmente,aexistênciadedesequilíbriolocal nadistribuiçãode umagrandezaintensivacausa•
umfluxo dagrandezaextensivacorrespondente.Essesfluxos consistememtransferênciadegrandezasextensivas,cujatendên
0
ciaérestabeleceroequilíbrionasdistribuiçõesdasgrandezasintensivascorrespondentes.Aáreadaciênciaqueestudaosfenô
menosnosquaisocorremfluxos quetendemauniformizaroscamposéchamadadeFenômenosde Transporte.
16 CapítuloDois
Nestetexto quesedestinaacursosbásicos,vamosestudarsomenteos fundamentosdo transportedifusivo de mo
mentolinear decaloredemassa.Naspróximasseções,vamoscaracterizaressesfenômenosde transferênciaparapro
cessosunidimensionaiseapresentar,apartirdeumaabordagemfenomenológica,ummodelocomumeasequaçõesbásicas
quedescrevemessesfenômenosdifusivosunidimensionais,apresentandoaanalogiaexistenteentreeles.
7WC* ~"/l <"'&&& ???& z<C. im?' r?.£
2.4 TRANSPORTEDIFUSIVODE MOMENTOLINEAR
Osfluidos reaispossuemviscosidade,emmaioroumenorgrau,deformaqueaexistênciadegradientesdevelocidadede
escoamentocria tensõescisalhantesquecausamfenômenosde transferênciade momentolinearnosescoamentosde
fluidos Consideremosum processounidimensionalqueocorreparaum escoamentolaminar(no qualomovimentodo
fluido sepassacomoseofluido fosseconstituídode lâminasparalelasquedeslizamumasemrelaçãoàsoutras)deum
fluido newtonianolocalizadoentreduasplacashorizontaisparalelas,degrandesdimensões,separadasporumadistancia
pequenad, conformeémostradonoesquemadaFigura2.1.
Fluido
Perfil develocidade
nula
///;>;;;;/;;;;;;;
VQx
/;;//;/;//;;;;;;/>
Fluido
r
////////Jt////////
0 ////>//////////// ~* *
V0x
vox
////////J////////
(a) Inicialmente, as duas placas
estãoestacionáriase o fluido
em repouso
(b) Instante de tempo í = 0,
placasuperiorcolocada
em movimentocom
velocidadeVI
(c) Para t > 0, desenvolvimento
doperfil develocidadeVJy, t)
em regimetransiente
(d) Parat:» 0, distribuição de
velocidadeestabelecidaem
regime permanente
Figura2.1 Desenvolvimentodadistribuiçãodevelocidadedeescoamentoparaumfluido localizadoentreduasplacasplanasdegrandes
dimensões,separadasporumadistânciadpequena,apósaplacasuperiorsercolocadaemmovimento.
/Wfa
<fàb
'̂ CoNCErrosdeFenômenosdeTransporteeAnalogiaentreosProcessosDifusivosUnidimensionais 17
p Inicialmente,asplacaseofluido estãoemrepouso.No instantede tempot =0, aplacasuperiorécolocadaem
movimentoaumavelocidadeconstanteV0x, permanecendoaplacainferior estacionaria.Devidoàpropriedadede
aderênciadosfluidosviscososàssuperfíciessólidascomasquaisestãoemcontato,verifica-sequeaslâminasmuito
f delgadasde fluido em contatodiretocom asplacasadquiremassuasvelocidades,de maneiraque,no instantede
r tempot - 0, alâminasuperiordo fluido semovecomvelocidadeVfc, enquantoorestodo fluido aindapermanece
em repouso.
If Parat> 0, observa-sequeorestantedo fluido entraprogressivamenteem movimento,ou seja,adquiremomento
^ linearnadireçãox. Ofluido adjacenteàlâminasuperiorrecebemomentolinearprovenientedaplacasuperiore,porsua
vez tambémtransferemomentolinearnadireçãoxparaoutracamadae,assim,sucessivamente,ocorreumatransferên-
f ciademomentolineardecamadaemcamada.Comoaplacainferiorealâminadefluido emcontatocomaplacaperma-
^ necemestacionárias,verifica-sequeavelocidadede escoamentode cadacamadaéprogressivamentemenor,de cima
^ parabaixo,atésernula. Dessaforma, desenvolve-se,duranteum certointervalode tempo,umadistribuição(perfil) de
velocidadedeescoamentoVx(y, t) emregimetransiente,ou seja,dependentedo tempo.
f"• Apósessecertointervalodetempo,paraí 55>0, observa-seoestabelecimentode um perfil develocidadedeescoa-
^ mentoVJy) emregimepermanenteque,paraessecasocomgeometriaplana,élinear.
Assim,observa-seum transportede momentolinear na direçãox, queocorretransversalmenteao escoamento,ou
seja,nadireçãoy,decimaparabaixo,causadopelastensõescisalhantest, existentesentreascamadasde fluido nesse
f* escoamentolaminar. Nesseprocesso,há umafasedependentedo tempona qual Vx = Vx (y, t), de forma quealei de
gpt Newtonparaaviscosidade(Eq. (1.7.4.10))fica escritacomo
r • dvx
^ T-=~flly~ (2A1)
^ EssaEq. (2.4.1) relacionaatensãocisalhantecomogradientedevelocidadeexistentenumescoamentolaminarde
gpt um fluido newtoniano.Osinalnegativoédevidoaofato dequeofluxo demomentolinearocorrenosentidocontrárioao
gradiente de velocidade de escoamento.
#^ Atensãocisalhantet^ podeserinterpretadacomoadensidadedefluxo demomentolinear.Dasegundalei deNewton
a para omovimentotem-seque
P ^ d(mVx)
e Fx=^r (2A2)
(p ouseja,aforçaéigualàtaxadevariaçãodemomentolinearemrelaçãoaotempo.Atensãodecisalhamentor édefinida
como
t = hm —f- (2.4.3)
de forma queatensãocisalhantet^ forneceaquantidadedemomentolinearnadireçãoxquecruzaumasuperfície,na
direçãoy, porunidadedetempoeporunidadedeárea,istoé,atensãodecisalhamentorepresentaadensidadedefluxo
de momentolinear,de maneiraque ambas têm asmesmasdimensões:
[temio]Jf2Si]=M!£L =ML-H->
Lárea J lr
momentolinear MLt'1 , „ . ,
= ML~lr2
ps LáreaxtemP° J LH
m\ Assim,aexistênciadegradientedevelocidadedeescoamentocausaumtransportedifusivo demomentolinearatra-
vésdo fluido, nadireçãotransversalaoescoamento.Consideremosasituaçãoderegimepermanenteesquematizadana
^ . Figura2.1,naqualofluido estáemmovimentonadireçãox,emescoamentolaminar,comumadistribuiçãodevelocida-
|p> de Vx(y). Além do movimentomacroscópicona direçãox, tem-seo movimentoaleatóriodasmoléculas,deforma que
0* resultaumatransferênciade moléculasentreascamadas.Cadamoléculatransportaseumomentolinearna direção\
correspondenteàcamadadeorigem,demaneiraqueresultaumfluxo demomentolinearnadireçãox transversalmente
ao escoamento (na direçãoy) em função do gradientedevelocidade—-*-. Esse processodecorrente domovimentomo-
(P1 dy
1 lecularaleatórioéchamadodedifusivo, enquantoomovimentomacroscópicodofluido costumaserdenominadoconvectivo.
jbn
fjy
18 CapítuloDois
C
rV
2.5 TRANSPORTEDE CALOR POR CONDUÇÃO
Calorpodeserdefinidocomoaformadeenergiaqueétransferidaemfunçãodeumadiferençadetemperatura.Atrans
ferênciade calorpodeocorrerpor distintosmecanismos:jCimdiiç^âg2..cqQvecçãoeradiação.Aconduçãosecaracteriza
quandootransportedecalorocorreemum ráéioestacionário,sólidooufluido, causadõpêlaexistênciadegradientede
temperatura.
Aconvecçãoacontecenosfluidosesecaracterizapelatransferênciadecalorpelomovimentodemassafluida. Aradi
açãosecaracterizapor umatransferênciadecalorentredoiscorpospelasradiaçõestérmicasemitidasporsuassuperfí
cies. Estudaremos somente a condução de calor.
Consideremosum processounidimensionaldeconduçãodecalorqueocorreatravésdeumaplacaplanadegrandes
dimensõeseespessuradpequena,constituídadeum materialsólidohomogêneo,conformeémostradonoesquemada
Figura 2.2.
Placa
Placa
y
•
p
r~~ / Placa )
) i i
A
-)—•
(a) Inicialmente,a placapossui
temperaturauniformeTQ
(b) No instante de tempo t = 0,
asuperfíciesuperioradquire
temperaturaT,,enquantoa
inferior é mantidacom
temperaturaTQ, ambas
constantes
(c) Parat > 0, desenvolvimento
de perfilde temperatura
emregimetransiente
(d) Para t»0, estabelecimento
de um perfilde temperatura
emregimepermanente
Figura2.2 Desenvolvimento do perfildetemperaturaem uma placa plana degrandesdimensõese espessurad pequena,constituídade um
material sólidohomogêneo, colocada entre dois reservatóriostérmicos com temperaturasTx e T0 constantes.
/9b
/^b
^b
<^%
/Cr£k
r CoNCErrosdeFenômenosdeTransporteeAnalogiaentreosProcessosDifusivosUnidimensionais 19
p
p Inicialmente,aplacatodaestácomtemperaturauniformeT0. No instantedetempot=0, coloca-seaplacaentredois
reservatóriostérmicos(quemantêmtemperaturasconstantes,apesardeestaremrecebendoou cedendocalor),resultan
doqueasuperfíciesuperiordaplacaadquireumatemperaturaT,, enquantoasuperfícieinferiorémantidaàtémperatu-
<p ra T0. Verifica-sequeorestoda placaaindapermanececomtemperaturaT0 no instantede tempot = 0.
p Parat> 0, duranteumdeterminadointervaledetempoobserva-seodesenvolvimentodeumadistribuiçãodetempe-
* raturaT(y, t) emregimetransiente,ou seja,dependentedo tempo,que,paraessecasounidimensional,éfunçãodeyet
<P somente.
p Apósessedeterminadointervalode tempo,para t » 0, verifica-seum regimepermanenteestabelecido,ou seja,in-
ps variantecomotempo,resultando,paraessageometriaplana,um perfil linearde temperaturaT{y).
^_ Observa-se,experimentalmente,queadensidadedefluxo decalorporconduçãoédiretamenteproporcionalaogradi-
T entede temperatura,de forma que,paraessecasounidimensional,emquehá umafasedependentedo temponaqual
m* T = T(y, t), tem-se
p*
ps
JP»
onde:
dT1, =~^ (2.5.1)
qy é adensidadedefluxo decalorpor conduçãonadireçãoy;
-r- é ogradientedetemperaturanadireçãoy; e
k é ocoeficientedeproporcionalidadeconhecidocomocondutividadetérmicadomaterial.
Osinalnegativona Eq. (2.5.1)édevidoao fato deofluxo decalorserno sentidocontrárioaogradientedetempera
tura.
AEq. (2.5.1)éumaexpressãounidimensionaldaequaçãode Fourier para aconduçãodecalor que,paraum casogeral
tridimensional,pode ser escrita como
q = -kVT (2.5.2)
O mecanismodeconduçãode calorconsisteem umatransferênciadeenergiatérmica,atravésde ummeiomaterial,
daregiãodemaiortemperaturaparaaregiãodemenortemperaturadevidoàexistênciadegradientedetemperatura.A
temperaturapodeserinterpretadacomoumamedidamacroscópicadaatividadetérmicamolecularem umasubstância,
deforma que aconduçãodecalorconsisteemumatransferênciadeenergiatérmicaentre aspartículas,sendoque as
maisenergéticascedempartede suaenergiaàsmoléculasvizinhasquepossuemenergiamenor.
Assim,aexistênciade gradientede temperaturacausa umfluxo de calorporcondução,cuja tendência érestabelecer
o equilíbriono campo de temperatura.
2.6 TRANSPORTEDE MASSAPORDIFUSÃOMOLECULAR
A transferênejade massaocorrepelosmecanismosdeconvecçãoedifusão.O mododeconvecçãosecaracterizapor um
transporte de massa causado pelo movimentodo meio, comoacontece, por exemplo, na dissolução de um torrãode açú
car na água contida em um copo quando se cria um escoamento mexendocom uma colher. O mecanismo de difusão se
caracterizapela transferênciade massapelomovimentomoleculardevidoàexistênciade um gradientedeconcentração
de uma substância. Na situação em que se tem um torrãode açúcar num copo com água em repouso observa-sea disso
lução relativamente lenta do mesmo,enquantoexistir gradiente deconcentraçãode açúcar na água. Estudaremos so
mente os fundamentos do transporte de massa pordifusãomolecular.
Nesta seção, vamosapresentar a lei de Fick para a difusão em uma mistura (ou solução) binaria (de dois componen
tes), que descreve a transferência de massa de um componente denominadoA através de uma mistura (ou solução) de
componentesA e B, devido à existência de um gradiente de concentração da espécie A.
A grandezaintensivaconcentração pode ser definidadeváriasmaneiras.Consideremos uma mistura binariade com
ponentesAe 6, sendoVovolumedamistura,mA amassadocomponenteA emB amassadocomponenteB,deforma
que a massatotalda misturadevolume\fém = mA + mB. Umamaneiradeexpressarconcentraçãoéatravésdadefinição
de massaespecífica,feita no itemMassaEspecíficaemum Ponto, no Capítulo 1,como
P um TT7 (2.6.1)
AV~5V A,\/
20 CapítuloDois
onde:
Am é a massacontidano elementodevolumeAV; e t
ÔV é omenorvolume,emtornode umponto,ondeexisteumamédiaestatísticadefinida. «a
Assim,paraamisturabinariaconsiderada,tem-seque ^
concentraçãodo componenteA: pA — lim A (2.6.2) ^
AV-*5V A V ^
concentraçãodo componenteB: p% = lim B (2.6.3) /%
AV—»5V A V
,r i . i. AwA 4- AtnB ,~ , „x /
massaespecíficada mistura: p = lim — \l.bA)
r AV-.6V AV ^
resultandoem ^
P=Pa +Pb (2-6-5) ^
As concentraçõesdoscomponentesAeB tambémpodemserdefinidascomoumafraçãodemassa,daseguintefor- ^
= £*- (2.6.6) 1>cA =
P
cs =SL (2.6.7) ^
P "*%
Consideremosumprocessounidimensionaldetransferênciadeágua,pordifusãomolecular,atravésdeumaplaca ^
planadecerâmica,homogênea,degrandesdimensõeseespessuradpequena,conformeémostradonoesquemada Fi- ^
gura 2.3. '
Inicialmente,a placadecerâmicatemsuassuperfíciesemcontatocomarseco,demaneiraqueexisteumadistribui- ^
çãonuladeconcentraçãodeáguanacerâmica. ^
Noinstantedetempoí = 0coloca-seáguasobreaplaca,deformaqueacerâmicajuntoàsuperfíciesuperiorpassaa
apresentarumaconcentraçãocAQ deágua.O restantedacerâmicaaindaapresentaconcentraçãonulade água,nesse ins- /
tante detempot = 0,poisasuperfícieinferior daplacadecerâmicaémantidasecacomaincidênciade umjatode ar *%
seco.
Paraí > 0,duranteumdeterminadointervalodetempo,observa-seodesenvolvimentode umadistribuiçãodecon- '
centraçãodeáguacA(y, t), emregimetransiente,naplacadecerâmica. ^
Apósessedeterminadointervalodetempo,parat » 0 fica estabelecidoumregimepermanente,resultandoumperfil ^
deconcentraçãodeáguacA(y) queélinearparaessageometriadosistema.
Verifica-se,experimentalmente,queadensidadedefluxo demassapordifusãomolecularédiretamenteproporcional '
aogradientedeconcentração.Assim,paraum processounidimensional,genérico,dedifusãomoleculardocomponente ^
AnumamisturabinariadecomponentesAeB, quetemumafasedependentedo temponaqualcA = cA{y, t), tem-se ^
j — r» "Pa ^}A.y--L>M— (2.6.8) y
dy
ou
onde:
r _ n d(pcA) ^
h--~DAB~dy~ <2-6'9> ^
L.,éadensidadedefluxo demassapordifusãomoleculardo componenteA atravésdamisturanadireçãoy; "^
dpA d{pcA) , ^
-r— ou —-— é o gradiente deconcentraçãodo componenteA na mistura; e '
°J dy ^
DÁB é ocoeficientededifusãomolecularoudifusividadedemassadocomponenteA namisturadecomponentesAeB. —
**%
/^
p
p
p
0^
(fpN
JP*
p\
ms
0\
jp^
ConceitosdeFenômenosdeTransporteeAnalogiaentreosProcessosDifusivosUnidimensionais 21
As Eqs. (2.6.8)e(2 6.9) sãoexpressõesunidimensionaisda lei de Fick para adifusão molecular do componenteA
numamisturabinariadecomponentesAefi, quepodeserescritanumaformavetorialcomo
ou
h = ~DAB VpA (2.6.10)
]A=-DABf(pcA) (2.6.11)
Osinal negativonessasequaçõesqueexpressamalei de Fick paraadifusãoédevidoao fato de ofluxo de massa
ocorrernosentidocontrárioaogradientedeconcentração,ouseja,adifusãomolecularocorredaregiãodemaiorconcen
traçãoparaaregiãodemenorconcentração.Omecanismodetransferênciademassapordifusãoseoriginano movimen
to moleculare, comono casodegases,porexemplo,comoaprobabilidadede umamoléculasedirigir emqualquerdire
çãoéamesma,resultaum fluxo líquido do componenteconsideradoda regiãode maiorconcentraçãoparaaregiãode
menorconcentração.Os fluxos de massapor difusãomolecularsãomedidosem relaçãoaum referencialquese move
comavelocidademássicamédiada misturaqueserádefinidano Capítulo10.
Ar seco
Cerâmica
Perfil nulo de
concentraçãode água
Ar seco
°/*0 Água
Cerâmica
Ar seco *
Ar seco
Ar seco
(a)Inicialmente,a placade cerâmica
apresenta um perfil nulo
deconcentraçãodeágua
(b) i\o instantede tempot = 0.
coloca-seáguasobreasuperfície
superiorda placade cerâmica
ic) Parat > 0. desenvolvimento
da distribuiçãode concentração de
águaC\{y. t) em regimetransiente
•d) Para t >• 0.estabelecimento
de um perfil de concentração
de água cK{y) em regime
permanente
Figura2.3 Desenvolvimentodadistribuiçãodeconcentraçãodeáguaemumaplacaplanadecerâmica,degrandesdimensõeseespess;
d pequena, após ser colocadaentreágua e ar seco.
22 CapítuloDois
Assim,aexistênciade um gradientedeconcentraçãodeum componentenumamistura(solução)causaum fluxo de ^
massapor difusãomoleculardessecomponenteatravésda mistura(solução). /^
2.7 EQUAÇÕESPARAASDENSIDADESDE FLUXOSDE MOMENTO ^
LINEAR,DE CALOR E DEMASSA ^
Nasseçõesanterioresdescrevemosprocessosunidimensionaisdetransferênciadifusivademomentolinear,decalorede ^
massa,tendoapresentadoasseguintesequações: ^
a) Transferênciadifusivade momento linear
r —M^ <2--<> 2
A viscosidadecinemáticafoi definidacomo ?
„«ü (2.7.2)
P
deforma que podemosexpressara Eq. (2.7.1) como
r ~,M (2.7.3)
dy
AtensãodecisalhamentoT)rv podeserinterpretadacomoadensidadedefluxo demomentolinearnadireçãoy, sendo
aviscosidadecinemáticavacorrespondentedifusividade. ^
b) Transferênciade calor por condução *%
r)Tq=-k^- (2.7.4) ^
Define-sea difusividadetérmicaa como
t^b
a = (2.7.5) ^
onde: ^
feéacondutividadetérmicado material; 1
pé amassaespecíficadomaterial;e ^
cp é ocalorespecíficoapressãoconstantedomaterial.
Com adifusividadetérmica, a Eq. (2.7.4) pode ser escrita da seguinte forma
^,=-0!—-£— (2./.6)
<?y
O produtocpT representaaenergiainternaespecífica,deforma que a Eq.(2.7.6)podeser escritacomo ^
ondeeé aenergiainternaespecífica,ouseja,aenergiainternaporunidadedemassa. ;
c) Transferência de massa por difusão molecular ^
i - n ^ ^jA.y -~UAB~T~ (2.7.8» ^
<7}' ^%
Dadefiniçãode concentração,numamistura,pode-seexpressara concentraçãodocomponenteAcomopcx. result.in- 7
do que aEq. (2.7.8)podeserescritacomo ^
r _ n d(pcA)Ja.>--L>ab d (2.7.S»i
0*
p
p\
ps
ps
p\
p*
•0^.
CoNCErrosdeFenômenosdeTransporteeAnalogiaentreosProcessosDifusivosUnidimensionais 23
ondeDAB éocoeficientededifusãomolecularouadifusividadedemassado componenteAnamisturadecomponentes
Nessesprocessosde transferênciapor difusão,observa-sequeaexistênciade desequilíbriona distribuiçãode uma
grandezaintensiva,ou seja,aocorrênciadegradientedagrandezaintensiva,causaum fluxo dagrandezaextensivacorres
pondente.
As densidadesdefluxos demomentolinear,decaloredemassasãorepresentadasmatematicamenteporequaçõesdo
tipo
/x=-C
dip/3)
dy (2.7.10)
sendo que:
fy é adensidadede fluxo dagrandezaextensivanadireçãoy;
— éogradientedagrandezaintensivacorrespondente,quecriaa"força motriz" causadorado processodifusivo; e
C é umaconstantedeproporcionalidadechamadadecoeficientededifusãooudifusividade.
Tem-sequepéamassaespecíficado meioeagrandezaintensiva/3 éagrandezaextensivacorrespondenteporunida
dedemassa,deforma queoprodutop/3é agrandezaextensivapor unidadedevolume.
Oquadroaseguirapresentaasequaçõesparaasdensidadesde fluxos referentesaosprocessosunidimensionaisde
transporte difusivode momento linear, de calor e de massa.
Grandeza
extensivatransferida
Equaçãopara a densidadede
fluxo da grandezaextensiva
Característicasdo
processoconsiderado
momentolinear
^ _ dVx d(pVx)
T--^dy=-V dy escoamentolaminarincompressível
calor
_._jl«*T_ d(pcpT) _ d(pe)
dy dy dy
meio estacionáriocom
calor específico e massa
específicaconstantes
massa U, uAB ^ ü,b ^
mistura binaria emrepouso,
de componentesA e fi,
com massa específica p
constante
A densidadedefluxo dagrandezaextensivaé proporcionalaogradientedagrandezaintensivacorrespondente.Os
processosunidimensionaisde transferênciadifusiva demomentolinear, de calor e de massa sãodecorrentesdos movi
mentosmolecularese secaracterizampelatendênciaaoequilíbrio dasdistribuiçõesdasgrandezasintensivas.Têm-se
mecanismossemelhantes,nessesprocessosdetransportepordifusãomolecular,em que osgradientesdasgrandezas
intensivascriam"forçasmotrizes"quecausamosfluxos dasgrandezasextensivascorrespondentes.Essestrêsfenômenos
difusivosunidimensionaispodemserdescritosporummodelomatemáticocomum.ÉinteressantecompararasEqs.(2.7.3).
(2.7.7)e (2.7.9)coma Eq. (2.7.10).Observeque adiferençaentreessasequaçõesestásomentenasgrandezasfísicas
envolvidase nosrespectivoscoeficientesdedifusão.
As difusividadestérmica,demassae demomentolinear(viscosidadecinemática)possuemamesmadimensãodadapor
[p) = [a) = [DAB) = L2r> (2.7.11)
e, no SistemaInternacional,têm a unidade metroquadradoporsegundo(m2/s).
Comoessasdifusividadespossuemamesmadimensão,resultaquequalquerquocienteentreduasdelasseráum pa
râmetroadimensionalque éconvenientenaanálisedesituaçõesem que osdois fenômenosdetransferênciaocorrem
simultaneamente.
24 CapítuloDois
Quando,nosistemaemestudo,ocorremtransferênciassimultâneasdemomentolinearedecalor,tem-seoparâmetro
adimensionalchamadodenúmerodePrandtl,representadoporPr,definidopor
a k
(2.7.12)
OnúmerodePrandtlindicaaintensidaderelativaentreosprocessosdetransportedifusivodemomentolinearedecalor.
Paraosgases,onúmerodePrandtlépróximodaunidade.Paraoutrosfluidos,elevariamuito, tendo,geralmente,valores
elevadosparaóleosviscososemuito baixosparametaislíquidos.
Quandoocorremtransferênciassimultâneasdemomentolinearede massa,apareceoparâmetroadimensionalcha
madodenúmerodeSchmidt,representadoporSc,definidopor
Sc ^ -±-
Le =
a
D, pcpD,A6
n «n (27I3)F>ab PDab
O númerodeSchmidtindicaa intensidaderelativaentreosprocessosdetransportedifusivo demomentolineare de
massa.
Quando,nosistemaemestudo,ocorremtransferênciassimultâneasdecalore demassa,surgeoparâmetroadimen
sionalchamadode númerodeLewis, representadopor Le,definidopor
(2.7.14)
O número deLewis indica a intensidaderelativaentre osprocessosde transportedifusivo de calor e de massa.
Osprocessossimultâneosdetransferênciadifusivasãoditossimilaresquandooquocienteentre suasdifusividadesé
igual a um(unidade),deforma que asgrandezasenvolvidassãotransportadascoma mesmaintensidaderelativa.
2.8 EQUAÇÕESDA DIFUSÃO
Nos itensTransporteDifusivodeMomentoLinear, TransportedeCalor porConduçãoeTransportedeMassaporDifusão
Molecular, realizamosum breveestudode fenômenosunidimensionaisde transferênciadifusiva de momentoline
ar, de calor e de massa. Na fasedependentedo tempo desses processos ocorremfluxos das grandezas extensivas na
direção y através de um elemento de volume, com uma taxa de variação da grandeza extensiva dentro do elemento.
Considerando os princípios de conservação, pode-se expressaro seguinte balanço para uma grandeza extensiva ge
nérica:
( fluxoda grandeza ^
extensivaqueentra
no elementode volume,
fluxo dagrandeza
extensivaquesai
do elemento devolume>
''taxa de variaçãoda>
grandezaextensiva
d̂entrodo elemento
(2.8.1)
ConsideremosoelementodevolumemostradonaFigura2.4,atravésdoqualocorremfluxos de umagrandezaexten
sivagenérica, naJ:..,,V> y, sendo que:
fé a densidade defluxo dagrandezaextensivagenérica;e
G é agrandezaextensivagenéricapor unidadedevolume.
Estãoocorrendoasdensidadesde flaxos difusivosf\y ef\y+Syno sentidonegativodo eixoy, atravésdasfacessituadas
nascoordenadasyey + Ay, respectivamente,causandoumataxadevariaçãodagrandezaextensivadentro do elemento,
de formaque o balançoexpressopela Eq. (2.8.1) fica sendo
dG-(/U)AxAz=-(A)AxAz+^L A*AyAz
dt
(2.8.2)
Dividindo pelovolumeAxAyAz, rearranjandoos termosefazendoo limitequando ovolumedo elemento tende azero,
obtém-se
lim
j\y+ly f\y
Ay
dG
dt
(2.8.3)
íl%
/*%b
^1
/%
/A
&$b
*%
fi%b
/*%
p
P*
0^
ps
0s
pK
0S
ps
ps
0&S
0ê>
p\
ps
0b
r
ConceitosdeFenômenosdeTransporteeAnalogiaentreosProcessosDifusivosUnidimensionais 25
Considerando a definição de derivada, tem-se
Figura2.4 Esquemadasdensidadesde fluxos de uma
grandezaextensivagenéricaatravésde um elemento de
volume.
d£=dG
dy dt (2.8.4)
Substituindo/pelasdensidadesdefluxos dadaspelasEqs.(2.7.3),(2.7.6)e(2.7.9)e Gpelarespectivagrandezaex
tensiva por unidade de volume, resulta:
a) Paramomentolinear:
ou
d
dy
d(pVx)
r By dt
d
dy
' d(pVt)' _ d(pVx)
dt
ílta
dlVx _ 1 dV,
Para os casos ondev e psãoconstantes,resulta
dy2 v dt
(2.8.5)
(2.8.6)
(2.8.7)