Avaliação On-Line 01 (AOL 01) Equações Diferenciais

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Módulo A - 72765 . 7 - Equações Diferenciais - T.20221.A 
Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - Questionário 
 
Pergunta 1 
Leia o excerto a seguir: 
“Campos vetoriais representam o fluxo de um fluído (entre muitas outras coisas). Eles 
também representam uma maneira de visualizar funções cujo espaço de entrada e 
espaço de saída têm a mesma dimensão. Além disso, um campo vetorial associa um 
vetor a cada ponto no espaço.”Fonte: KHAN ACADEMY. Campos vetoriais. Disponível 
em: <https://bit.ly/2kSojV5>. Acesso em: 1 set. 2019. (Adaptado). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
dado o campo F(x,y) = (y3, −x3), calcule a integral do campo vetorial sob a curva C que 
corresponde a um círculo igual a x2 + y2 = 4. Considerando que a orientação da curva é 
positiva, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial equivale a: 
 
a) -32 π. 
b) −24 π. 
c) 30 π. 
d) 16 π. 
e) −25 π. 
 
Pergunta 2 
Analise a figura a seguir: 
 
Figuras geométricas podem ser geradas a partir do modelamento baseado em 
equações matemáticas. Na figura apresentada, é possível observar um vaso de 
manjerico. Tal sólido limita o volume da forma, V= (x2 + y2 < z, 1 < z < 4), considerando 
o campo vetorial F(x, y, z) = (xz2, yz2, z3). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, 
calcule o fluxo do rotacional F por meio da parede lateral do vaso, referente à superfície 
S = (x2 + y2 = z, 1 < z < 4). Considerando esses dados, pode-se afirmar que o fluxo do 
rotacional corresponde a: 
 
a) 0. 
b) π. 
c) 1 
d) 2. 
e) π/2. 
 
Pergunta 3 
Leia o excerto a seguir: 
“O trabalho mecânico é uma grandeza vetorial que permite calcular a variação de 
energia sofrida por um corpo ou a quantidade de energia que um corpo possui. Ele pode 
ser calculado pelo produto entre a força e o deslocamento.”Fonte: TEIXEIRA, M. M. “O 
que é trabalho mecânico?”; Brasil Escola. Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-trabalho-mecanico.htm>. 
Acesso em: 1 set. 2019. 
O teorema de Green é usado para calcular o trabalho realizado por campos de força, 
que movimentam partículas, por exemplo. De acordo com essas informações e o 
conteúdo estudado sobre o teorema de Green, calcule o trabalho realizado sobre uma 
partícula que está sob ação do campo de força F(x,y) = (−3y, 3x) e se movimenta ao 
longo de uma elipse equivalente a 4x2 + 25y2 = 100, no sentido anti-horário. 
Considerando esses dados, pode-se afirmar que o trabalho equivale a: 
 
a) 30 π. 
b) 60 π. 
c) 60. 
d) 120 π. 
e) 30. 
 
Pergunta 4 
Suponha que desejemos encontrar o fluxo de F = (xy)i + (yz)j + (xz)k através da 
superfície de um cubo cortado do primeiro octante, pelos planos x =1, y=1 e z=1. Uma 
dica importante é resolver pela integração do divergente ao invés de realizar 6 integrais 
diferentes, uma para cada face do cubo. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, 
pode-se afirmar que o fluxo da função F corresponde a: 
 
a) 4/3. 
b) 5. 
c) 3/2. 
d) 1/2. 
e) 3. 
 
Pergunta 5 
O desenvolvimento de funções em séries de potências tem diversas aplicações, tal 
como a resolução de equações diferenciais. Pode-se também aplicar tal recurso para 
realizar aproximações de funções com a utilização de séries de Taylor e Maclaurin. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, 
dada a expansão da função f(x) = (1+x)−1/2 em uma série de Taylor, pode-se afirmar 
que o 4º termo da série, em torno de a = 0, corresponde a: 
 
a) 5x3 / 48. 
b) 10x3 / 24. 
c) 15x2 / 48. 
d) 15x2 / 12. 
e) 15x3 / 48. 
Pergunta 6 
Parametrizar uma superfície ou curva é o processo de definição de parâmetros que irão 
representar a superfície ou objeto geométrico em questão, ou seja, implica na 
identificação de um grupo de coordenadas que permite definir qualquer ponto na curva, 
superfície ou objeto geométrico. 
De acordo com o texto e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dada a 
superfície S: z = coshx, |x| < 1, y 0, 1, realize a parametrização da superfície e calcule a 
área de S. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área de S corresponde a: 
 
a) e. 
b) 2e. 
c) e2. 
d) 3e. 
e) e − 1/e. 
 
Pergunta 7 
O divergente de um campo vetorial corresponde a um operador que mede a magnitude 
de fonte de um campo vetorial em um dado ponto, ou seja, pode ser representado como 
um valor escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um ponto específico. 
O divergente de um campo vetorial, dado como F = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k, é 
uma função escalar: div F = dM/dx + dN/dy + dP/dz. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, 
dado o campo vetorial F = (2xz)i + (xy)j − (z)k, pode-se afirmar que o valor do divergente 
corresponde a: 
 
a) a 2y − x. 
b) a 2x + z. 
c) a 2y − x −1. 
d) a x + 2z. 
e) 2z − x − 1. 
 
Pergunta 8 
A circulação de um vetor v (conhecida como integral de linha), ao longo de uma curva 
c, corresponde à soma dos produtos escalares de v por dr ao longo da curva c, sendo 
dr um vetor elementar que tem as seguintes características: o módulo corresponde ao 
valor do arco da curva, a direção é tangente à curva e o sentido é o mesmo sentido da 
curva. 
Dada a superfície S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua respectiva circunferência de borda C: x2 
+ y2 = 9, z = 0 e o campo correspondente F = yI. xj, calcule o valor da circulação no 
sentido anti-horário ao redor da curva C. Considerando essas informações e o conteúdo 
estudado sobre teorema de Stokes, pode-se afirmar que o valor da circulação 
corresponde a: 
 
a) 18π. 
b) 10π. 
c) 12π. 
d) −18π. 
e) 20π 
 
 
 
Pergunta 9 
Quando se trata de intervalo de convergência, o teste da razão é o teorema mais 
indicado para sua especificação. No entanto, o teste da razão não pode determinar a 
convergência nas extremidades do intervalo de convergência. De acordo com essas 
informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de 
seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro 
extremo. 
II. ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de 
convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional. 
III. ( ) O conjunto de valores de x para os quais a série de potências é convergente é 
chamado de intervalo de potências da série. 
IV. ( ) Uma série de potências define uma função que tem como domínio o intervalo de 
convergência. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
a) V, V, F, F. 
b) V, V, F, V. 
c) V, F, F, V. 
d) V, F, V, F. 
e) F, V, F, F. 
 
Pergunta 10 
A série de Taylor corresponde à representação de funções como séries de potências. 
Uma das aplicações em tal conversão é a resolução de equações diferenciais por meio 
de série de potencias. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, 
dada a função f(x) = sen x, pode-se afirmar que a série de Taylor correspondente a: 
 
a) ∑ (−1) x2n+1 / (2n+1)! 
b) ∑ (−1)n x2n+1 / (2n)! 
c) ∑ (−n)n x2n+1 / (2n+1)! 
d) ∑ (−1)n x2n+1 / (2n+1)! 
e) ∑ (−1)n x / (2n+1)!