Questão resolvida 14 Seja Aa(ij)3x3, em que aij - Álgebra Linear I - IFRN

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
14. Seja , em que: , e , em que: A = a( ij)3×3 a =ij
1, se i ⩾ j
2, se i < j
B = b( ij)3×3
. Calcule , , e . b =ij
-1, se i ⩾ j
1, se i < j
detA detB det A + B( ) det A ⋅B( )
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos conhecer quem são as matrizes A , B, e . Genericamente, 
essas 
A + B A ⋅B
matrizes são;3 × 3
 
A = , B = , A + B =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
a + b( 11 11) a + b( 12 12) a + b( 13 13)
a + b( 21 21) a + b( 22 22) a + b( 23 23)
a + b( 31 31) a + b( 32 32) a + b( 33 33)
 
e A ⋅ B =
a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 11 11 12 21 13 31) a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 11 12 12 22 13 32) a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 11 13 21 23 31 33)
a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 21 11 22 21 23 31) a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 21 12 22 22 23 32) a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 21 13 22 23 23 33)
a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 31 11 32 21 33 31) a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 31 12 32 22 33 32) a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b( 31 13 32 23 33 33)
 
Matriz A
 
A lei de formação da matriz B é : a = ; ou seja, 1 se o número que representa a linha i do ij
1, se i ⩾ j
2, se i < j
elemento for maior ou igual ao número j que representa a coluna do elemento, assim, 
os elementos da matriz são;
 
a = 1, a = 1, a = 1, a = 2, a = 1, a = 1, a = 2, a = 2, a = 111 21 31 12 22 32 13 23 33
 
Assim, podemos montar a matriz A;
 
A =
1 2 2
1 1 2
1 1 1
Matriz B
 
A lei de formação da matriz B é : b = ; ou seja, - 1 se o número que representa a linha i do ij
-1, se i ⩾ j
1, se i < j
elemento for maior ou igual ao número j que representa a coluna do elemento, assim, 
 
 
os elementos da matriz são;
 
b = - 1, b = - 1, b = - 1, b = 1, b = - 1, b = 1, b = 1, b = 1, b = - 111 21 31 12 22 32 13 23 33
 
Assim, podemos montar a matriz B;
 
B =
-1 1 1
-1 -1 1
-1 1 -1
 
Matriz A+B
 
Agora que conhecemos os elementos das matrizes A e B, podemos achar a matriz A + B;
 
A + B = A + B =
a + b( 11 11) a + b( 12 12) a + b( 13 13)
a + b( 21 21) a + b( 22 22) a + b( 23 23)
a + b( 31 31) a + b( 32 32) a + b( 33 33)
→
1 + -1( ( )) 2 + 1( ) 2 + 1( )
1 + -1( ( )) 1 + -1( ( )) 2 + 1( )
1 + -1( ( )) 1 + -1( ( )) 1 + -1( ( ))
 
A + B = A + B =
1 - 1( ) 3 3
1 - 1( ) 1 - 1( ) 3
1 - 1( ) 1 - 1( ) 1 - 1( )
→
0 3 3
0 0 3
0 0 0
 
Matriz A ⋅B
 
 Novamente, usando os os elementos das matrizes A e B, encontramos ;A ⋅B
 
A ⋅ B =
1 ⋅ -1 + 2 ⋅ -1 + 2 ⋅ -1( ( ) ( ) ( )) 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ -1 + 2 ⋅ 1( ( ) ) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ -1( ( ))
1 ⋅ -1 + 1 ⋅ -1 + 2 ⋅ -1( ( ) ( ) ( )) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ -1 + 2 ⋅ 1( ( ) ) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ -1( ( ))
1 ⋅ -1 + 1 ⋅ -1 + 1 ⋅ -1( ( ) ( ) ( )) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ -1 + 1 ⋅ 1( ( ) ) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ -1( ( ))
 
A ⋅ B = A ⋅ B =
-1 - 2 - 2( ) 1 - 2 + 2( )) 1 + 1 - 1( )
-1 - 1 - 2( ) 1 - 1 + 2( ) 1 + 1 - 2( )
-1 - 1 - 1( ) 1 - 1 + 1( ) 1 + 1 - 1( )
→
-5 1 1
-4 2 0
-3 1 1
 
 
Determinantes
 
O determinante detA é dado por;
 
 
Ou seja;
 
detA = 1
 
 
O determinante detB é dado por;
Ou seja;
 
detB = - 4
 
O determinante det(A+B) é dado por;
Ou seja;
 
det A + B = 0( )
 
O determinante det é dado por;A ⋅B( )
 
 
1 2 2
1 1 2
1 1 1
1 2 
1 1 
1 1 
-2
⋅ 1
⋅ 1
-1
⋅ 2
⋅ 1
-2
⋅ 1
⋅ 1
1
⋅ 1
⋅ 1
2
⋅ 2
⋅ 1
2
⋅ 1
⋅ 1 = - 2 - 2 - 2 + 1 + 4 + 2 = 1
-1 1 1
-1 -1 1
-1 -1 -1
-1 1 
-1 -1 
-1 -1 
-
1 ⋅
-1
⋅
-1
(
(
)
(
))
-
-1
⋅ 1
⋅
-1
((
)
(
))
-
1 ⋅
-1
⋅
-1
(
(
)
(
))
-1
⋅
-1
⋅
-1
(
)
(
)
(
)
1
⋅ 1
⋅ -1
(
)
= - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 + 1 = - 4
1
⋅ -1
⋅ -1
(
)
(
)
0 3 3
0 0 3
0 0 0
0 3 
0 0 
0 0 
-3
⋅ 0
⋅ 0
-0
⋅ 3
⋅ 0
-3
⋅ 0
⋅ 0
0
⋅ 0
⋅ 0
3
⋅ 3
⋅ 0
3
⋅ 0
⋅ 0 = - 0 - 0 - 0 + 0 + 0 + 0 = 0
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)
(Resposta - 3)
Ou seja;
 
det A ⋅B = - 4( )
 
 
-5 1 1
-4 2 0
-3 1 1
1 1 
-4 2 
-3 1 
-
1 ⋅
2 ⋅
-3
(
(
))
-
-1
⋅ 0
⋅ 1
((
)
)
-
1
⋅
-4
⋅ 1
((
)
(
)
))
-5
⋅ 2
⋅ 1
(
)
-1
⋅ 0
⋅ -1
(
)
(
) = 6 - 0 + 4 - 10 + 0 - 4 = - 4
1
⋅ -4
⋅ 1
(
)
(Resposta - 4)