Determinação da constante de tempo de um termômetro-1

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Determinação da constante de tempo de um termômetro
Christiane Lima Martins Coelho, Érika Gomes Lourenço, Luiz Augusto de Assis
Física Experimental II, Turma A, 6M23
Neste experimento foi calculada a constante de tempo de um termômetro utilizando-se de dois
ambientes com diferentes temperaturas e o tempo medido entre a termalização ao se mudar o termômetro do
ambiente. Como as observações do tempo possuem grande flutuação a incerteza foi do tipo A e foi utilizada a
distribuição-t de Student para o tratamento de dados. O valor encontrado foi de .τ = (1, 9 ± 1, 3) 𝑠
INTRODUÇÃO
A capacidade térmica C de um
termômetro pode ser determinada de acordo
com a relação:
, (1)∆𝑄 = 𝐶∆𝑇
a relação descreve ainda, a situação em que
um termômetro a temperatura inicial é𝑇
1
colocado em um ambiente a temperatura e𝑇
2
ele pode ceder ou absorver calor [1].
Se considerarmos variações
infinitesimais, a Equação (1) passa a ser escrita
na forma
. (2)𝑑𝑄 = 𝐶𝑑𝑇
No processo descrito acima a troca de
calor que ocorre da diferença de ambientes não
ocorre de forma instantânea [2], mas de acordo
com
(3)𝑑𝑄 = δ[𝑇
2
− 𝑇(𝑡)]𝑑𝑡,
é a temperatura do termômetro no𝑇(𝑡)
instante e uma quantidade determinada𝑡 δ
proporcional à condutividade térmica da
parede do vidro do termômetro.
Substituindo a Equação (2) em (3),
temos
. (4)𝐶𝑑𝑇 = δ 𝑇
2
− 𝑇(𝑡)[ ]𝑑𝑡
É possível separar as variáveis da equação
acima, fazendo
(5)𝑑𝑇𝑇
2
−𝑇(𝑡)[ ] =
δ𝑑𝑡
𝐶
e considerando que ,δ = 𝐶/τ
(6)𝑑𝑇𝑇
2
−𝑇(𝑡)[ ] =
𝑑𝑡
τ .
Integrando a Equação (6) de ambos os lados:
(7)𝑙𝑛 𝑇
2
− 𝑇(𝑡)[ ] =− 𝑡τ + 𝑝
onde é uma constante que depende da𝑝
condição inicial dada no processo. Para ,𝑡 = 0
pode ser obtido e a Equação (7) se torna𝑝
(8)𝑙𝑛 
𝑇
2
−𝑇(𝑡)
𝑇
2
−𝑇
1
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
=− 𝑡τ
que é o modelo de medição que será utilizado
neste experimento para determinar a constante
de tempo de um termômetro.
MATERIAIS E MÉTODOS
Materiais Utilizados:
● Balança com resolução 1 g e
distribuição triangular;
● Termômetro com resolução 1 °C e
distribuição uniforme;
● Termômetro digital com resolução
0,01 °C e distribuição triangular;
● Água fria e água quente;
● Cronômetro do celular com resolução
0,01s;
O experimento tem como objetivo
determinar a constante de tempo de um
termômetro.
Primeiramente, é separada uma
quantidade de água fria e uma quantidade de
água quente. Os seus respectivos valores de
temperatura são medidos com o termômetro
digital e depois com o termômetro de álcool
em vários processos de medição. O
termômetro é colocado em contato com o
recipiente com água fria e aguarda a sua
termalização com a água até que retorne a
temperatura inicial. Após esse processo o
termômetro é colocado em contato com o
recipiente com água quente e o tempo que a
temperatura leva para chegar em uma
temperatura final determinada é medido. Esse
processo é repetido três vezes e é importante
que o termômetro seja colocado de volta em
contato com a água fria até que sua
temperatura retorne ao estado inicial. Cada
aluno repetiu esse processo três vezes,
medindo o tempo com o cronômetro do
celular, o que totalizou nove medidas.
Com os dados coletados para cinco
temperaturas diferentes, é feita uma regressão
linear e seu resultado é comparado a Equação
(8), e a constante de tempo é encontrada.
Para o termômetro de álcool, que segue uma
distribuição uniforme do tipo B, as incertezas
tem a forma
.σ
𝑇𝑎
= 1 °𝐶
3
Para o termômetro digital, cuja distribuição
informada pelo fabricante é triangular têm a
incerteza
.σ
𝑇𝑑
= 0,01 º𝐶
6
A incerteza para os tempos medidos será do𝑡
tipo A, mas para um número suficientemente
grande de repetições a incerteza do tipo A
dada pelo desvio padrão da medida [3]
precisa ser corrigida por um fatorσ
𝑡
= σ/ 𝑛 
t’, que vêm da distribuição-t de Student, com
graus de liberdade [4]. O fator tν = 𝑛 − 1
aqui é chamado de para não ser confundido𝑡'
com o tempo . Dessa forma, o resultado da𝑡
medição será escrito como
,𝑡 = 𝑡
𝑚
± 𝑡'. σ
𝑡( )𝑠
onde é a média de t.𝑡
𝑚
=
𝑛=1
9
∑ 𝑡
𝑛
/𝑛
Para o cálculo da constante de tempo τ
, a Equação (8) foi comparada à equação da
reta de regressão linear, , de onde𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥
temos,
,𝐵 =− 1τ
e portanto, sua incerteza é do tipo C, ,𝐴 = 0
e cuja incerteza𝑥 = 𝑡 𝑦 = 𝑙𝑛 
𝑇
2
−𝑇(𝑡)
𝑇
2
−𝑇
1
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
também é do tipo C. A regressão linear
calculada foi do tipo ponderada, devido a
heterogeneidade das incertezas para a variável
dependente.
RESULTADOS
As temperaturas inicial e final fixas
são respectivamente:
ºC e𝑇
1
= 10, 0500 ± 0, 0041 
ºC. As𝑇
2
= 80, 1200 ± 0, 0041 
temperaturas escolhidas T(t) foram de 40 a
80ºC com intervalo de 10 ºC, ou seja 5
temperaturas com incerteza de 0,58 ºC. O±
termômetro foi colocado na balança e sua
massa foi de: g.𝑚 = 83, 00 ± 0, 41
A regressão linear para os dados do
experimento estão na Tabela I. As incertezas
relativas foram analisadas para a definição de
qual variável seria considerada dependente e
independente. Dessa forma, a variável
independente foi o tempo medido e a variável
dependente é o ln da razão entre as
temperaturas. A regressão linear tem a
equação da reta valendo
.𝑦 =− 0, 54𝑥 − 0, 34
Com os valores de e sendo𝐴 𝐵
𝐴 = (− 0, 34 ± 0, 83)
𝐵 = (− 0, 54 ± 0, 38)1/𝑠
A constante de tempo do termômetro é
.τ = (1, 9 ± 1, 3) 𝑠
DISCUSSÃO
Neste experimento houve a adição de
um ajuste no tratamento de dados do tipo A, as
medidas de tempo com o cronômetro. A
distribuição-t de Student foi utilizada para
atualizar a estimativa das incertezas. Com esse
ajuste e com a propagação de erro feita para o
cálculo do ln da fração das temperaturas, foi
realizada uma regressão linear ponderada [4] e
foi possível determinar a constante de tempo
do termômetro, . Aτ = (1, 9 ± 1, 3) 𝑠
incerteza foi da mesma ordem do valor obtido,
o que demonstra que mesmo com o ajuste,
ainda há erro considerável no cálculo.
CONCLUSÃO
O uso de materiais com maior precisão
em suas medidas acarretaria na melhoria dos
resultados, pois a resolução e o tempo de
reação humano afeta diretamente a incerteza
da medida como é possível ver nas equações
que descrevem as mesmas.
REFERÊNCIAS
[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert;
WALKER, Jearl. Fundamentals of physics.
John Wiley and Sons, 2013.
[2] Nussenzveig, H. M. Curso de Física
Básica, Vol 2. Editora Edgard Blucher. 2002.
[3] Mendes, A.; Rosário, P. P. Metrologia e
Incerteza de Medição - Conceitos e
Aplicações.
[4] Morettin, P. A.; Bussab, W. Estatística
básica. Editora Saraiva, 2017. 8 ed.
ANEXO
Figura I - Dados referentes à primeira etapa do experimento. Reta de regressão linear com equação
.𝑦 = (− 0, 54 ± 0, 38)𝑥 + (− 0, 34 ± 0, 83)
TABELA I - Dados da primeira parte do experimento e suas respectivas incertezas.
(s)𝑡 ± ∆𝑡 ln [(T2 - T(t))/(T2-T1)] ± Δln [(T2 - T(t))/(T2-T1)]
0, 390 ± 0, 043 − 0, 55762 ± 0, 00013
0, 980 ± 0, 040 − 0, 84431 ± 0, 00017
1, 600 ± 0, 037 − 1, 24780 ± 0, 00026
2, 410 ± 0, 071 − 1, 93500 ± 0, 00053
3, 840 ± 0, 060 − 6, 370 ± 0, 048