Impresso_-_Geometria_Euclidiana_II

Prévia do material em texto

Disciplina 
Geometria Euclidiana II 
 
 
Coordenador da Disciplina 
Prof. Jonatan Floriano da Silva 
 
 
11ª Edição
 
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autore s. 
 
Créditos desta disciplina 
 
Realização 
 
 
Autor 
 
Prof. Manoel Ferreira de Azevedo Filho 
 
 
 
Sumário 
 
Aula 01: Conceitos primitivos e axiomas................................................................................................ 01 
 Tópico 01: Axiomas da geometria euclidiana ....................................................................................... 01 
 Tópico 02: Consequências imediatas dos axiomas ................................................................................ 03 
 
Aula 02: Paralelismo ................................................................................................................................ 07 
 Tópico 01: Primeiros teoremas .............................................................................................................. 07 
 Tópico 02: Mais teoremas ..................................................................................................................... 10 
 
Aula 03: Perpendicularismo .................................................................................................................... 14 
 Tópico 01: Reta perpendicular a um plano ............................................................................................ 14 
 Tópico 02: Distâncias ............................................................................................................................ 17 
 Tópico 03: Ângulos................................................................................................................................ 19 
 Tópico 04: Bissetor de um diedro .......................................................................................................... 22 
 
Aula 04: Definições e teoremas: cilindro, cone e esfera ........................................................................ 27 
 Tópico 01: Cilindro................................................................................................................................ 27 
 Tópico 02: Cone ..................................................................................................................................... 32 
 Tópico 03: Esfera ................................................................................................................................... 37 
 Tópico 04: Posições relativas entre planos e esferas ............................................................................. 39 
 Tópico 05: Posição relativa entre duas esferas ...................................................................................... 41 
 
Aula 05: Volume e área de superfície ..................................................................................................... 48 
 Tópico 01: A noção de volume .............................................................................................................. 48 
 Tópico 02: Volume do paralelepípedo retangular ................................................................................. 50 
 Tópico 03: Volume do cilindro e do cone ............................................................................................. 54 
 Tópico 04: Volume da esfera ................................................................................................................. 59 
 Tópico 05: Área de superfície ............................................................................................................... 60 
 
Aula 06: Poliedros..................................................................................................................................... 67 
 Tópico 01: Definições............................................................................................................................ 67 
 Tópico 02: Representação plana de um poliedro convexo .................................................................... 69 
 Tópico 03: Relação de Euler .................................................................................................................. 71 
 Tópico 04: Poliedros regulares .............................................................................................................. 74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Euclidiana II 
Aula 01: Conceitos primitivos e Axiomas 
Tópico 01: Axiomas da Geometria Euclidiana
Axioma 1
Existe um conjunto, denominado espaço, e duas coleções de subconjuntos do espaço satisfazendo 
às propriedades enunciadas nos axiomas subsequentes.
Os elementos do espaço são chamados de pontos, os de uma das coleções referidas no axioma 1 
são denominados retas e os da outra, planos. Vale observar que os elementos das retas e dos planos são 
pontos.
Ponto, reta e plano são os conceitos primitivos da geometria euclidiana plana. Os pontos são 
denotados usualmente por letras maiúsculas A, B, C,...; as retas por letras minúsculas r, s, t,... ; e os planos 
por letras gregas , α, β.
Intuitivamente, podemos imaginar que uma "porção" de um plano é a superfície de uma mesa ou uma 
folha de papel estirada; uma "porção" de uma reta é um risco feito nesta folha com o auxílio de uma régua, 
ou, um cordão esticado; e um ponto é um furinho feito com a ponta de um alfinete numa folha ou um 
pingo feito com uma caneta, etc. O espaço pode ser pensado como sendo nosso ambiente.
Diremos que dois ou mais pontos são coplanares ou colineares, respectivamente, se pertencem a um 
mesmo plano ou a uma mesma reta; diremos ainda que dois ou mais conjuntos não vazios de pontos são 
coplanares ou colineares se todos os seus pontos são, respectivamente, coplanares ou colineares.
1
Se um ponto A pertence a uma reta r ou a um plano é usual dizer que r ou passa por A.
Estabelecida essa linguagem inicial, fixaremos a seguir alguns princípios.
Axioma 2
Por dois pontos distintos passa uma única reta.
Se A e B são pontos distintos pertencentes à reta r, denotamos ou .
Axioma 3 
Por três pontos não colineares passa um único plano.
Axioma 4
Se o plano passa por dois pontos distintos A e B, então .
Axioma 5
Se a interseção de dois planos é não vazia, então esta contém pelo menos dois pontos distintos.
Axioma 6
Cada reta contém pelo menos dois pontos distintos; todo plano contém no mínimo três pontos não 
colineares; o espaço contém pelo menos quatro pontos distintos entre si não coplanares e não colineares.
2
Geometria Euclidiana II 
Aula 01: Conceitos primitivos e Axiomas 
Tópico 02: Consequências Imediatas dos Axiomas
Estabeleceremos a seguir resultados decorrentes dos axiomas que foram estabelecidos no tópico 
anterior.
OBSERVAÇÃO
Como consequência do axioma 2, podemos concluir que a interseção de duas retas distintas é 
um conjunto unitário ou o conjunto vazio. No primeiro caso, dizemos que elas são concorrentes e no 
segundo dizemos que são reversas se não são coplanares, e, paralelas (e distintas) se são. Usaremos 
a notação r//s para indicar que uma reta r é paralela a uma reta s.
Passemos agora a analisar as possibilidades acerca da interseção de dois planos distintos α e β. Ela 
poder ser ou não vazia. No caso de ser vazia, dizemos que os planos são paralelos (e distintos) e 
escrevemos α//β. Se não, o axioma 5 garante que esta interseção contém pelo menos dois pontos 
distintos A e B. Pelo axioma 4, podemos concluir que e , donde, . Na realidade 
. De fato, de acordo com o axioma 3, nenhum ponto fora da reta (isto é, nenhum ponto não 
pertencente a ) pode pertencer a α ∩ β, uma vez que α ≠ β. Em resumo, a interseção de dois planos 
distintos é vazia ou é uma reta. No caso de ser uma reta, diremos queos planos são concorrentes.
OLHANDO DE PERTO
O que pode ser a interseção de uma reta com um plano? Respondamos. Se ela contém dois 
pontos, então, pelo axioma 4, a reta está contida no plano, donde, a interseção é a própria reta. Restam 
as seguintes possibilidades: vazia ou conjunto unitário. Na primeira dizemos que a reta e o plano são 
paralelos e na segunda dizemos que a reta fura o plano ou ela é secante a ele. Adotaremos a notação 
r//π para indicar que uma reta r é paralela a um plano π.
Existe um único plano contendo uma reta e um ponto fora desta, dados, assim como há um único 
plano contendo duas retas concorrentes dadas. Justifiquemos a primeira afirmação. Pelo axioma 6, 
existem dois pontos distintos A e B pertencentes a reta dada. Seja C o ponto fora desta. Assim sendo, A, B
e C não são colineares. Pelo axioma 3, existe um único plano que contém A, B e C. Este também contém a 
reta, graças ao axioma 4. A unicidade segue-se porque todo plano que contém e C contém A, B e C. 
Provemos agora a segunda assertiva. Sejam r e s as retas concorrentes e A ∈ r ∩ s. Sejam B ⊂ r - {A} ∈ s - 
{A} e C ∈ s - {A}, usando o axioma 6. Temos a três pontos não colineares: A, B e C. O plano π determinado 
por A, B e C contém r e s. Qualquer que seja o plano contendo r e s, contém A, B e C e, por conseguinte, e 
igual a π.
Também, dadas duas retas paralelas existe um único plano que as contém. Deixamos a prova deste 
fato como exercício.
Axioma 7
(Postulado de Euclides) Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada.
3
OLHANDO DE PERTO
Levou-se a crer que o postulado de Euclides, o quinto de seu trabalho, pudesse ser demonstrado a 
partir dos quatro outros. De modo que matemáticos famosos, que passaram-se em quase dois mil 
anos, o tentaram. Somente no século XIX é que dois matemáticos, trabalhando independentemente, 
provaram a independência do quinto postulado. Foram eles, Nicolai Lobachevsky (1793 - 1856), russo, 
e o húngaro Johan Bolyai (1802 - 1860). Foi com o artigo On the Principles of Geometry em 1829 
publicado por Lobachevsky, que ficou provado definitivamente que o quinto postulado não podia ser 
obtido a partir dos demais. A prova consistiu em substituí-lo por outro que lhe é contraditório e a partir 
disto demonstrou-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180°, resultado 
este que entra em choque com o teorema da geometria euclidiana plana que afirma ser igual a 180° 
esta soma. A chamada geometria não euclidiana nascia oficialmente com aquele artigo.
EXERCITANDO
Só conheço duas formas de aprender Matemática, uma é pelo talento a outra é pelo esforço
Prof. Msc. Ailton Feitosa
CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 
01. Demonstre que "Duas retas distintas ou não se interceptam ou se interceptam em um 
único ponto".
02. Prove que duas retas distintas ou não intersectam-se ou intersectam-se em um único 
ponto.
03. Para todo ponto P existe pelo menos uma reta l que não passa por P.
04. Demonstrar que duas retas paralelas distintas determinam um plano.
05. Sejam dois pontos A e B e um terceiro ponto C entre eles. É possível provar que C 
pertencente a reta que passa por A e B utilizando somente os 5 postulados de Euclides?
06. É possível provar a partir dos 5 postulados de Euclides que para toda reta l existe um 
ponto pertencente a l e um ponto que não pertence a l?
07. Demonstre que "Três retas, duas a duas concorrentes, não passando por um mesmo 
ponto, estão contidas no mesmo plano".
08. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
( ) Por definição, uma reta m é "paralela" a uma reta l se para quaisquer dois pontos P 
e Q em m, a distância perpendicular de P a l é a mesma distância perpendicular de Q a 
l.
( ) "Axioma" ou "postulados" são afirmações que são assumidas, sem justificativas, 
enquanto que "teoremas" ou "proposições" são provadas usando os axiomas.
( ) Se A, B e C são pontos colineares distintos, é possível que ambos A *B * C e A *C* B 
ocorram.
( ) A*B*C é logicamente equivalente a C* B* A.
09. Demonstrar que "duas retas concorrentes r e s determinam um plano.
4
10. É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso 
plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos 
firme. Explique, usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma 
mesa de 3 pernas.
11. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no 
plano? E um conjunto de 4 retas do plano? E um conjunto de n retas do plano?
12. Prove que a união de todas as retas que passam por um ponto A é o plano.
13. Prove que Um segmento tem exatamente um ponto médio.
14. Podemos afirmar que, "se dois planos são paralelos então toda reta contida em um 
deles é paralela ao outro"? Por quê?
15. Justificar a seguinte afirmação: "nem sempre três pontos distintos determinam um 
plano".
16. Demonstre que por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a 
esta reta.
17. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.
b) Duas retas não-coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém.
e) Se três retas distintas são concorrentes duas a duas, então elas determinam um 
plano. 
18. Na determinação de um plano são suficientes os seguintes elementos:
a) Duas retas distintas.
b) Uma reta e um ponto.
c) Duas retas reversas.
d) Duas retas concorrentes.
e) Nda
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
As questões referentes ao primeiro portfólio dessa nossa disciplina são todos os exercitando, 
portanto, resolvam os exercitando 01, 04, 08, 12 e 18 e enviem as soluções através do seu portfólio.
FÓRUM
Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas.
Fontes das Imagens
5
1 - https://www.youtube.com/embed/Q1jI8RsGfOA
2 - https://www.youtube.com/embed/x_aBBHAYoCM?start=122
3 - https://www.youtube.com/embed/x_aBBHAYoCM?start=202
4 - https://www.youtube.com/embed/E14j1eByZbU?start=75
5 - https://www.youtube.com/embed/ACQQVr3xNm8
6 - https://www.youtube.com/embed/E14j1eByZbU
7 - https://www.youtube.com/embed/iOoONZGtu3g
6
Geometria Euclidiana II 
Aula 02: Paralelismo 
Tópico 01: Primeiros Teoremas
Doravante, admitiremos todos os resultados concernentes à geometria euclidiana plana. Passemos 
aos teoremas básicos acerca de paralelismo e  perpendicularismo de retas ou planos que são assuntos 
sob os cuidados da geometria euclidiana espacial.
Teorema 01
Sejam r uma reta paralela a um plano e P . Então, a reta paralela a r 
passando por P está contida em . Clique aqui para ver prova 01.
CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 01
Seja α o plano determinado por P e r. Temos que e α são concorrentes. 
Seja s = α ∩ .
Pelo fato de s ⊂ e r ser paralela a , segue-se que s ∩ r = ∅ e pelo fato 
de s e r serem coplanares (estão contidas em α), vem que s e r são paralelas. 
Desde que P é comum a α e , decorre que P ∈ s. Assim sendo, a reta 
paralela a r passando por P está contida em .
Teorema 02
Se uma reta r é paralela a um plano , então existe uma reta contida em 
paralela a r (e distinta). Clique aqui para ver prova 02.
NCLIQUE AQUI PARA VER PROVA 02
Seja P um ponto qualquer de . Pelo Teorema 1, a reta paralela a r 
passando por P está contida em . Logo, segue-se o resultado.
Teorema 03
7
Se uma reta r é paralela a uma reta r' contida num plano e não está contida 
nesse plano, então r é paralela a . Clique aqui para ver prova 03.
CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 03
Por absurdo, suponhamos que r fura . Seja {P} = r ∩ . Seja α o plano 
determinado por r'. Temos: r' = α ∩ . Sendo P ∈ r ∩ e r ⊂ α, vem que P ∈ r 
∩ . Como r' = α ∩ , segue-se que P ∈ r'. Isto é uma contradição ao fato de P 
∈ r e r ser paralela (e distinta) a r'.
Teorema 04
Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//ue s//v, então os 
planos determinados por r e s, e, u e v são paralelos ou coincidentes. Clique aqui 
para ver prova 04.
CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 04
Sejam α o plano determinado por r e s e β o plano determinado por u e v. 
Suponhamos que α ≠ β. Devemos mostrar que α//β. Antes, mostraremos que 
r não está contida em β. Por absurdo, suponha que r ⊂ β. Assim sendo, 
teremos necessariamente s ∩ β, pois do contrário, como s é paralela a uma 
reta contida em β, pelo Teorema 3, decorreria que s//β, o que seria uma 
contradição ao fato de um ponto de s pertencer a r e r ⊂ β. Posto que r ⊂ β e 
s ⊂ β, então α ≠ β. Contradição! Portanto, r ⊄ β. Isto implica, de acordo com o 
Teorema 3, que r//β, já que r é paralela a uma reta contida em β. Dado que s
tem um ponto em comum com r e r//β, segue-se que a s ⊄ β e daí, pelo 
Teorema 3, s//β, uma vez que s é paralela a uma reta contida em β. Enfim, r e 
s são retas paralelas a β.
Para encerrar a demonstração, suponhamos, por absurdo, que α e β não 
são paralelos. Como são distintos, seja t = α ∩ β. Então, t, r e s são 
coplanares. Como r e s são concorrentes, t não é simultaneamentre paralela 
a r e s. Assim, t é concorrente a uma delas, já que t é distinta de ambas. 
Digamos, r. Seja {P} = r ∩ t . Isto é uma contradição ao fato de r//β.
8
9
Geometria Euclidiana II 
Aula 02: Paralelismo 
Tópico 02: Mais teoremas
Teorema 05
Por um ponto não pertencente a um plano, passa um único plano paralelo ao 
plano dado.
Clique aqui para ver prova 05.
CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 05
(Existência) Sejam P um ponto e π um plano tais que P ∉ π. Sejam u e v
retas concorrentes contidas em π e r e s as retas passando por P, 
respectivamente, paralelas a u e v. É óbvio que r e s não estão contidas no 
plano π. Pelo teorema anterior, o plano α determinado por r e s é paralelo a 
π. (Unicidade) Seja β um plano paralelo a α passando por P. Mostraremos 
que β = α. É claro que as retas concorrentes u e v contidas em π são 
paralelas ao plano β. Pelo Teorema 1, as respectivas paralelas a u e v
passando por P estão contidas em β, uma vez que P ∈ β. Essas paralelas são 
r e s. Posto que duas retas concorrentes determinam um único plano, segue-
se que β = α.
Teorema 06
Se uma reta fura um plano, fura também qualquer plano paralelo a esse plano. 
Clique aqui para ver prova 06.
CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 06
Sejam α e β planos paralelos e r uma reta que fura o plano α num ponto 
P. Por absurdo, suponhamos que r não fura o plano β. Como P ∈ r e P ∉ β, 
então r ⊄ β, logo, r//β. Seja s ⊂ β tal que s//r. Desse modo, temos: P ∈ α, s//α
(pois s ⊂ β e β//α) e r a paralela a s passando por P. Pelo Teorema 1, segue-
se que r ⊂ α<. Contradição! 
Teorema 07
Se s ≠ t , r//s e r//t, então s//t. 
Clique aqui para ver prova 07.
CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 07
10
Inicialmente, vamos mostrar que s ∩ t = ∅. Do contrário, teríamos duas 
retas distintas, s e t, paralelas a r passando por um mesmo ponto fora de r. 
Isto iria contradizer o axioma das paralelas (axioma 7). Logo s ∩ t = ∅. Resta 
provarmos que s e t são coplanares. Sejam A ∈ s e B ∈ t. Sejam u = AB e α o 
plano determinado por u e s. Distinguiremos dois casos:
Caso 1 r ⊂ α. O plano β contendo t e r tem um ponto em comum com α, 
o ponto B, e a reta r, em que B ∉ r. Desde que uma reta e um ponto fora desta 
determinam um único plano, segue-se que α = β e, portanto, s e t são 
coplanares.
Caso 2. r ⊄ α.
Sendo r//s, pelo Teorema 3, decorre que r//α. Assim sendo, pelo 
Teorema 1, a reta paralela a r passando por B ∈ α está contida em α. Essa 
reta é t. Por conseguinte, t e s estão contidas em α.
Teorema 08
Sejam r e s, e, u e v pares de retas concorrentes. Se r//u e s//v, então L(r,s) = L
(u,v).
Clique aqui para ver prova 08.
CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 08
Sejam {P} = r ∩ s e {Q} = u ∩ v. Se os planos que contêm r e s, e, u e v
são iguais, o resultado é fácil de demonstrar. Deixamos a prova detalhada do 
teorema para este caso como exercício. Suponhamos que os planos são 
distintos. Seja α o plano que contém r e u, e, β o que contém s e v.
11
Temos . Sejam A ∈ r e B ∈ u pontos pertencentes a um mesmo 
semi-plano determinado por em α tais que . Desse modo, ABQP é 
um paralelogramo, donde, . Sejam C ∈ s e D ∈ v pontos pertencentes 
a um mesmo semi-plano determinado por em β tais que . Assim 
sendo, CDQP é um paralelogramo, donde, . Dessa maneira, temos, 
pela transitividade do paralelismo entre retas, que . Dado que r//u e 
s//v, vem, conforme o Teorema 4, que os planos determinados por r e s, e, u
e v são paralelos, logo, . Posto que e são coplanares, 
segue-se que . Assim sendo, ABDC é um paralelogramo, donde, 
. Logo APC ≡ APC (L.L.L.) e, por conseguinte, . Portanto, L 
(r,s) = L (u,v).
EXERCITANDO 19 A 31
O saber enobrece, a consciência desse saber dignifica
Prof. Msc. Ailton Feitosa
CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 
19. Assinale a afirmação verdadeira:
a) Quatro pontos quaisquer são sempre coplanares.
b) Existe um único plano que passa por três pontos distintos entre si.
c) Se dois planos têm uma reta comum, então eles são secantes.
d) Dois planos distintos são secantes se, e somente se, tiverem uma única reta em 
comum.
e) Uma reta e um plano podem ter dois e apenas dois pontos distintos em comum. 
20. Faça o que se pede:
a) Defina retas paralelas.
b) Sejam r e s duas retas paralelas distintas e P um ponto não pertencente ao plano pl
(r,s). Prove que a reta t intersecção pl(P, r) e pl(P,s), é paralela a r e s 
21. Prove que se uma reta corta uma de duas paralelas, então corta também a outra.
22. Uma reta r é concorrente com uma reta s, s contida num plano . Qual é a posição da 
reta r em relação ao plano?
23. Demonstre que "Se m e n são retas paralelas, então todos os pontos de m estão à 
mesma distância da reta n".
24. Mostre a recíproca do teorema da questão 23, ou seja, se todos os pontos de n estão 
à mesma distância da reta m; então m e n são paralelas.
25. Assinalar a afirmação falsa:
12
a) Um plano fica determinado por duas retas paralelas distintas.
b) Por um ponto de espaço existe uma única reta paralela a uma reta dada.
c) Toda reta não contida num plano e paralela a um reta contida nesse plano é 
paralela ao plano.
d) Por um ponto não pertencente a um plano existe uma única reta paralela esse 
plano.
e) Se duas retas são paralelas, então todo o plano secante a uma delas também é 
secante à outra. 
26. O segmento ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao 
terceiro lado e tem metade de seu comprimento. 
27. Prove que as diagonais de um paralelogramo se intersectam em um ponto que é o 
ponto médio das duas diagonais.
28. Dada uma reta r e um plano α, pode-se afirmar que:
a) Existe um plano β que contém r e é paralelo a α.
b) Existe um plano β que contém r e é secante a α.
c) Existe um plano β paralelo a α e paralelo a r.
d) Existe uma reta t paralela a r e paralela a α.
e) Não existe uma reta t concorrente com a r e paralela a α.
29.Uma condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos é que:
a) Uma reta de um seja paralela ao outro.
b) Duas retas de um sejam paralelas ao outro.
c) Duas retas paralelas distintas de um sejam paralelas ao outro.
d) Toda reta de um seja paralela a toda reta do outro.
e) Um deles contenha duas retas concorrentes paralelas ao outro. 
30. Se uma reta é paralela a um plano e por um ponto do plano conduzimos uma reta 
paralela à reta dada, então a reta conduzida está contida no plano.
31. Se uma reta, paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, 
então ela os divide na mesma razão.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
O portfólio da aula 02, consiste em você resolver os seguintes exercitandos: 20, 22, 24, 26 e 30 e 
enviar as soluções através do seu portfólio.
FÓRUM
Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas.
Fontes das Imagens
13
Geometria Euclidiana II 
Aula 03: Perpendicularismo 
Tópico 01: Reta Perpendiculara um Plano
Def. 8
Diremos que uma reta r que fura um plano num ponto O é perpendicular a em O ou, simplesmente, 
perpendicular a se toda reta contida em passando por O é perpendicular a r. Nesse caso, diremos 
ainda que O é o pé da perpendicular r em .
Teorema 9
Seja o plano determinado por duas retas concorrentes r e s no ponto O. Se uma reta t é 
perpendicular a r e a s em O, então t é perpendicular a em O.
PROVA 1 
Seja u uma reta qualquer contida em passando por O. Mostraremos que t 
 u. Podemos supor, sem perda de generalidade, que u ≠ r e u ≠ s. Tomemos em 
r e s, respectivamente, pontos A e B tais que A e B se encontram em semi-planos 
abertos opostos em relação a u. 
O segmento intercepta u num ponto C entre A e B. Sejam D e D' 
pontos distintos em t tais que O é ponto médio de . Sendo t perpendicular 
a r, segue-se, pelo caso L.A.L. de congruência de triângulos, que AOD ≡ AOD' 
e sendo t perpendicular a s, decorre, por L.A.L., que BOD ≡ BOD'. Desse modo, 
AD = AD' e BD = BD', donde, por L.L.L., ABD ≡ ABD' e, portanto, . Isto 
acarreta, por L.A.L., que CAD ≡CAD', por conseguinte, CD = CD'. Assim sendo, 
por L.L.L., COD ≡ COD'. Este fato implicará que é reto e, portanto, t ⊥ u. 
Teorema 10
Seja P um ponto pertencente a um plano . Então, existe uma única reta r passando por P 
perpendicular a .
14
PROVA 2 - EXISTÊNCIA 
Sejam A ∈ , em que A ≡ P, B ∉ e α o plano determinado por e B. Sejam u 
⊂ α a reta perpendicular a passando por P e v ⊂ π a reta perpendicular a 
passando por P.
Temos que u e v são retas concorrentes em P. Seja β o plano 
determinado por u e v e r ⊂ β a reta perpendicular a v passando por P. Nessa 
construção, observemos que ⊥ r e ⊥ v, logo, é perpendicular a 
qualquer reta contida em β passando por P. Em particular, ⊥ r. Agora, 
notemos que r é perpendicular a duas retas concorrentes contidas em, a 
saber: e v. Por conseguinte, r é perpendicular a e passa por P.
(Unicidade) Seja s uma reta perpendicular a passando por P. Mostraremos 
que r = s. Por absurdo, suponhamos que r ≠ s. Assim, r e s concorrem ao ponto P 
em . Seja γ o plano determinado por r e s. Temos que γ e concorrente a . Seja t 
= ∩ t Desse modo, r, s e t são coplanares (estão em γ ), em que r e s são 
perpendiculares a t no ponto P. Contradição!
Teorema 11
Sejam r e s retas distintas, em que r é perpendicular a . Então, s//r ⇔ s ⊥ .
PROVA 3 
Seja α o plano determinado por r e s. Como r fura , então α é concorrente a 
. Seja t = α ∩ . Assim, r, s e t são coplanares (estão contidas em α ), sendo que 
t ⊥ r. Como r//s, então t⊥s. Sejam {A} = r ∩ t e {B} = s ∩ t. Sejam u e v em , 
respectivamente, perpendiculares a t em A e B. 
Desse modo, u//v e como r//s, segue-se que L (r,u) = L(s,v), de acordo 
com o Teorema 8. Desde que, por hipótese, r ⊥ u, então s ⊥v. Enfim, s é 
15
perpendicular a duas retas concorrentes contidas em , a saber: t e v. Por 
conseguinte, s ⊥ .
(⇐) Sejam A e B, respectivamente, os pés das perpendiculares r e s em . 
Seja s' a reta paralela a r passando por B. Pela implicação (⇐) deste teorema, 
segue-se que S' é perpendicular a . Sendo s e s' perpendiculares a passando 
por B ∈ decorre, pela unicidade do Teorema 10, que s = s'. Logo, s é paralela a r. 
Teorema 12
Por um ponto fora de um plano, passa uma única reta perpendicular a esse plano.
PROVA 4 - EXISTÊNCIA 
Sejam α um plano e P ∉ α um ponto. Seja β o plano paralelo a α passando 
por P. Seja r a reta perpendicular a β passando por P. 
Como α//β, então r fura também α, digamos, num ponto Q. Seja u ⊂ α
uma reta qualquer passando por Q. Vamos mostrar que r ⊥u. Seja v a reta 
paralela a u passando por P. Sendo u//β, vem, pelo Teorema 1, que v ⊂ β. 
Desde que r ⊥ β, segue-se que r ⊥ v Posto que r é transversal às paralelas u e 
v, decorre que r ⊥ u. Conclusão: r é perpendicular a α e passa por P.
(Unicidade) Seja r' uma reta perpendicular a α passando por P. Devemos 
mostrar que r' = r. Para isso, basta mostrarmos que Q ∈r'. Seja Q' o pé da 
perpendicular r' em α. Mostraremos que Q' = Q. Por absurdo, suponhamos que Q' 
≠Q. Assim, a soma dos ângulos internos do triângulo PQQ' é maior do que 180o. 
Contradição! Logo, Q' = Q , donde, Q ∈ r' e, portanto, r' = r. 
Escólio
Se uma reta é perpendicular a um plano , então é perpendicular a qualquer plano paralelo a .
16
Geometria Euclidiana II 
Aula 03: Perpendicularismo 
Tópico 02: Distâncias
Def. 9
Sejam um plano e P ∉ um ponto. Definimos a distância de P a , denotada por d(P, ), como sendo 
a distância de P ao pé da perpendicular a passando por P. Se P ∈ a distância de P a é definida como 
sendo zero. Observe que a distância de P a , nos dois casos, é a menor das distâncias de P aos pontos de 
.
Def.10
Sejam α e β dois planos paralelos. Definimos a distância entre α e β, denotada por d(α, β), como 
sendo a distância de um ponto qualquer de um dos dois planos ao outro plano.
DESAFIO
A título de exercício, demonstre que essa definição, de fato, não depende do ponto e nem do 
plano escolhidos.
Teorema 13
Sejam r e s retas reversas. Então, existem dois únicos planos paralelos (e distintos) α e β tais que r ⊂
α e s ⊂ β.
PROVA 1 - EXISTÊNCIA 
Seja A ∈ r um ponto qualquer e s'//s passando por A. Seja B ∈ s um ponto 
qualquer e r'//r passando por B. 
Como r e s são reversas, então r e s' e r' e s são pares de retas 
concorrentes. Sejam α o plano determinado por r e s' e β o determinado por r' 
e s. A reta r não está contida em β, pois r e s são reversas, 
consequentemente, α ≠ β. Pelo Teorema 4, segue-se que α e β são paralelos.
(Unicidade) Sejam α' e β' planos paralelos tais que r ⊂ α' e s ⊂ β'. Devemos 
mostrar que α' = α e β' = β. Temos: r é paralela a β', pois r ⊂ α' e α' // β'. Pelo 
Teorema 1, segue-se que a reta paralela a r passando por B ∈ β' está contida em 
β'. Esta reta é r'. Assim, β' é o plano determinado pelas retas concorrentes r' e s. 
Portanto, β' = β. Posto que α e α' são planos paralelos a β e passam pelo ponto A 
(pois contêm a reta r), decorre que α' = α, de acordo com o Teorema 5. 
17
Def. 11 
Definimos a distância entre duas retas reversas como sendo a distância entre os planos paralelos 
referidos no teorema anterior.
18
Geometria Euclidiana II 
Aula 03: Perpendicularismo 
Tópico 03: Ângulos
Sejam r e s retas. Já é conhecida a definição do ângulo entre r e s caso elas sejam coplanares. Vamos 
rever. Se elas são coincidentes ou paralelas dizemos que o ângulo entre elas é zero. Se são concorrentes, 
elas formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice (que têm mesma medida) sendo que dois desses 
ângulos não opostos pelo vértice são suplementares. Neste caso, o ângulo entre elas é, por definição, o 
menor dos quatro ângulos. A novidade ocorre quando as retas r e s são reversas. Vejamos como se define 
o ângulo entre elas:
Def. 12
Sejam A ∈ r e B ∈ s pontos quaisquer, r' a reta paralela a r passando por B e s' a reta paralela a s 
passando por A. 
Pelo Teorema 8, L(r,s) = L(s',r'). Este será, por definição, o ângulo entre as retas r e s (o qual independe 
da escolha dos pontos A e B).
Def. 13
Diremos que duas retas são ortogonais se o ângulo entre elas é de 90o. 
Vamos agora definir ângulo entre dois planos. 
Def. 14
Se dois planos são coincidentes ou paralelos dizemos que o ângulo entre eles é zero. Suponhamos 
que dois planos α e β são concorrentes. Seja t= α ∩ β. Sejam A, B ∈ t, distintos, r e r' as perpendiculares a t 
em α passando, respectivamente, por A e B, e, s e s' as perpendiculares a t em β passando, 
respectivamente, por A e B. 
Assim, temos r e s, e, r' e s' pares de retas concorrentes tais que r//r' e s//s'. Pelo Teorema 8, L(r,s) = L
(r',s'). Este será, por definição, o ângulo entre os planos α e β (o qual independe da escolha dos pontos A e 
B).
19
Def. 15
Diremos que dois planos são perpendiculares se o ângulo entre eles mede 90o. 
Def. 16
Chama-se diedro ou ângulo diedral a reunião de dois semi planos com mesma origem. Ossemi 
planos são chamados de faces do diedro e a origem comum chama-se aresta.
Iremos agora definir a medida de um ângulo diedral.
Def.17
Se as faces de um ângulo diedral são semi planos coincidentes ou opostos a medida do ângulo 
diedral é, por definição, respectivamente, zero ou 180o. Suponhamos que os planos que contêm as faces 
são concorrentes. 
Sejam A e B dois pontos distintos pertencentes à aresta. A partir de A tracemos as semi retas e 
perpendiculares à aresta, uma em cada face e a partir de B tracemos as semi retas e também 
perpendiculares à aresta, sendo contida na mesma face em que se encontra e contida na 
mesma face em que se encontra tais que BC = AD e BF = AE. Desse modo, ABCD e ABFE são 
paralelogramos, o que implica que CDEF é também um paralelogramo, donde, ADE ≡ BCF (L.L.L.). Assim 
sendo, . Definiremos a medida do ângulo diedral, nesse caso, como sendo a medida de que 
independe do ponto escolhido sobre a aresta.
Def. 18
Todo plano α reparte o espaço em três subconjuntos: o próprio plano, o subconjunto dos pontos que 
ficam a um mesmo lado do plano e o subconjunto dos pontos que ficam no outro lado. Cada um desses 
dois últimos subconjuntos chama-se semi espaço aberto determinado por α e a união do plano com um 
semi espaço aberto chama-se semi espaço fechado determinado por α ou, simplesmente, semi espaço.
Assim, um plano determina dois semi espaços que chamaremos de semi espaços opostos em 
relação a α.
Dados dois pontos A e B distintos e não pertencentes a α então A e B se situam num mesmo semi 
espaço determinado por 
. 
20
Def. 19
Um conjunto S, subconjunto do espaço, chama-se convexo se goza da seguinte propriedade: dados A, 
B ∈ S, distintos, então ⊂ S.
Todo semi espaço é um conjunto convexo. Interseção de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
21
Geometria Euclidiana II 
Aula 03: Perpendicularismo 
Tópico 04: Bissetor de um Diedro
Considere um ângulo diedral de aresta r e cujas faces α e β não são coplanares. Sejam E e F, 
respectivamente, o semi espaço determinado por α contendo β e o semi espaço determinado por β
contendo α. E ∩ F é um conjunto convexo por ser interseção de dois conjuntos convexos, o qual será 
chamado de região convexa determinada pelo diedro. 
Def.20 (Bissetor de um diedro)
Chama-se bissetor de um ângulo diedral de aresta r e cujas faces Α e β não são coplanares o semi 
plano de origem r, contido na região convexa determinada pelo diedro, que o divide em dois ângulos 
diedrais com mesma medida.
Precisamos mostrar que todo diedro, cujas faces não são coplanares, tem um único bissetor. É o que 
faremos agora.
CLIQUE AQUI PARA ABRIR 
Sejam r a aresta e α e β as faces de um tal ângulo diedral. Seja A ∈ r um 
ponto qualquer, ⊂ β e ⊂ β, perpendiculares a r. Seja a bissetriz do 
ângulo . Desde que r ⊥ e r ⊥ , então r é perpendicular ao plano 
determinado por A, B e C, logo, r ⊥ . Seja γ o plano determinado por r e . 
Assim, o semi plano contido em γ determinado por r contendo é bissetor do 
diedro.
A unicidade segue-se da unicidade da bissetriz de um ângulo . Os 
detalhes da demonstração deixamos a seu cargo.
22
Def.21 
Chama-se triedro a reunião de três ângulos não rasos, com mesmo vértice, contidos em planos 
distintos, tais que a interseção de dois quaisquer é um lado comum. O vértice comum aos três ângulos 
chama-se vértice do triedro; cada lado comum denomina-se aresta e cada ângulo chama-se face. 
Um triedro é denominado tri-retângulo se os planos que contêm as faces são mutuamente 
perpendiculares.
Teorema 14
Sejam r uma reta que fura um plano num ponto P, A ∈ r - {P} e A' o pé da perpendicular a passando 
em A. Então, r é perpendicular a ⇔;A' = P. 
PROVA 1 
Temos: r e são perpendiculares a e passam no ponto A ∈ . Pela 
unicidade do Teorema 12, segue-se que r = . Desde que P, A' ∈ ∩ e r fura , 
decorre que A' = P. 
(⇐) Temos: r = = . Sendo ⊥ segue-se que r ⊥ .
Def.22
Dados um ponto A e um plano , o pé da perpendicular a passando por A chama-se projeção 
ortogonal de A em ou, simplesmente, projeção de A em . Observe que a projeção de A em só é igual a 
A se A ∈ .
Teorema 15
Seja r uma reta não perpendicular a um plano . Sejam A, B, C ∈ r, distintos, e A', B' e C' as projeções, 
respectivamente, de A, B e C em . Então, A', B' e C' são distintos e colineares. 
PROVA 2 
23
Podemos supor que r ⊄ . Assim, dois dentre os pontos A, B e C não 
pertencem a . Digamos, A e B. Se A' = B' pela unicidade do Teorema 10, decorre 
que = . Assim sendo, = = = r e, portanto, r é perpendicular a , o 
que é uma contradição. Logo, A' ≠ B'. Note que ≠ e, por conseguinte, pelo 
Teorema 11, // . Seja α o plano determinado por e . Temos que α e 
são concorrentes, pois A', B' ∈ ∩ α< e A ∈ α-. Mais precisamente, = ∩ α. 
Quanto a C, há duas possibilidades: C ∈ ou C ∉ . Se C ∈ , então C = C' e, pelo 
Teorema 14, C' ≠ A' e C' ≠ B', já que r não é perpendicular a . Desde que C' ∈ ∩
α (pois r ⊂ α ), segue-se que C', A' e B' são colineares. Se C ∉ , temos, em 
particular, que A e C não pertencem a . Usando o mesmo raciocínio empregado 
no início dessa demonstração, chegaremos que C' ≠ A', // e a interseção 
do plano β determinado por e com o plano é . Entretanto, os planos α
e β têm em comum a reta r e o ponto A' ∉ r, logo, são iguais, donde, = ∩ α = 
∩ β = e, por conseguinte, A', B' e C' são colineares. Para encerrar, temos 
também que C' B' pois do contrário r seria perpendicular a . 
Seja r uma reta não perpendicular a um plano . Sejam A, B ∈ r, distintos, e A' e B' as projeções de A e 
B em . Pelo Teorema 15, A' ≠ B' Seja r' = . Seja C ∈ r um ponto qualquer. Pelo Teorema 15, podemos 
concluir que a projeção de C em , C', pertence a r'. Em outras palavras, as projeções dos pontos de r em 
são colineares. A reta r' chama-se a projeção ortogonal de r em ou, simplesmente, a projeção de r em .
Se r é perpendicular a , então todos os pontos de r, conforme o Teorema 14, se projetam no pé da 
perpendicular de r em . Neste caso, diremos que o pé da perpendicular de r em é a projeção de r em .
Def.23
Definimos o ângulo entre uma reta r e um plano como sendo 90o se r é perpendicular a 
 e se r não é perpendicular a como sendo o ângulo que r faz com sua projeção sobre .
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
O portfólio da aula 03 consiste em você resolver os exercícios 33, 37, 42, 46 e 51 da lista abaixo e 
enviar as soluções através do seu portfólio:
CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 
32. Classifique em verdadeiro (V) ou falso(F):
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam 
secantes.
b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.
c) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é 
perpendicular ao plano.
d) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, são 
paralelos.
33. Demonstrar que, "Por um ponto P pode-se conduzir um único plano perpendicular a 
uma reta a". 
24
34. Provar que, " se uma reta r forma ângulo reto com duas retas concorrentes s e t, 
contidas em um plano , então r é perpendicular a ". 
35. Sejam r, s e t retas no espaço. Se r é perpendicular a t e s é perpendicular a t, então:
a) r e s são paralelas.
b) r, s e t são coplanares.
c) r e s são perpendiculares.
d) r e s são reversas. 
36. Qual a afirmação falsa?
a) Se dois planos são perpendiculares a uma reta, então eles são paralelos.
b) Se duas retas são perpendiculares a um plano, então elas são paralelas.
c) Se dois planos são paralelos e uma reta é perpendicular a um deles, então a reta 
também é perpendicular ao outro.
d) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.
e) Se uma reta é perpendicular a um plano, então toda reta paralela a ela é 
perpendicular a esse plano. 
37. Prove que "Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é 
perpendicular ao outro". 
38. Uma reta r é paralela aum plano . Os pontos A e B são tais que A ∈ r, B ∈ , o 
segmento AB mede 13 cm e a projeção ortogonal de AB sobre mede 12 cm. Qual é a 
distância entre r e ?
39. Considere a caixa de sapatos representada na figura, em que AF mede 36cm e AH 
mede 18 cm.
a) Qual é a distância do ponto A ao plano pl( E, F, G)?
b) Qual é a distância do ponto B ao plano pl( E, F, G)?
c) Qual é a distância da projeção ortogonal do segmento AF sobre o plano pl(E, F, G)?
40. Um ponto A dista 10 cm de um plano , e um ponto B, B ∈ , é tal que AB mede 20 
cm. Qual é a medida de um ângulo agudo que a reta AB forma com o plano ? 
41. Um ponto A, pertencente a um plano , e um ponto B, B ∉ tais que AB mede 20 m e 
a projeção ortogonal de AB sobre o plano mede 12 m. Qual é a distância do ponto B ao 
plano ? 
42. Dois planos e β são secantes cuja reta comum é r. Dois pontos distintos A e B são 
tais que B ∈ r, A ∈ , AB perpendicular a r, AB mede 8 cm e a projeção ortogonal A'B, de 
AB sobre β, mede 4 cm. Qual é a medida de um ângulo agudo formado por β e β? 
43. Sejam os pontos A, B, C e o plano tais que Qual é a 
medida de um ângulo agudo que a reta BC forma com o plano ? 
25
44. Demonstre que "Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles é 
perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular ao outro lado". 
45. Por um ponto P, de um plano , construa uma reta forme um ângulo θ (agudo, dado) 
com o plano a.
46. Por um ponto P, não pertencente a um plano a, construa uma reta que forme um θ
(agudo, dado) com o plano a.
47. Em uma sala de aula, duas paredes formam um diedro e são perpendiculares ao 
plano do piso.
a) Descreva uma maneira de medir esse diedro.
b) Sendo o plano do teto paralelo ao plano do piso, que relação existe entre as 
medidas das secções determinadas nesse diedro pelos planos do teto e do piso? 
48. Dados quatro pontos não coplanares A, B, C e D, determine os planos tais que cada 
um deles seja equidistante dos quatro pontos dados. 
49. Prove que "Se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a um 
deles é paralela ou está contida no outro". 
50. Prove que "por uma reta r não perpendicular a um plano , existe um único plano β
perpendicular a ".
a) 3cm 
b) 5cm 
c) 3,5cm 
d)3
e)3
51. Prove que "Se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a 
um deles é paralela ou está contida no outro". 
52. Prove que "por uma reta r não perpendicular a um plano , existe um único plano 
β perpendicular a ".
FÓRUM
Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas.
Fontes das Imagens
26
Geometria Euclidiana II 
Aula 04: Definições e Teoremas: Cilindro, Cone e Esfera 
Tópico 01: Cilindro
Fonte [1]
Entenderemos por figura plana qualquer um dos seguintes subconjuntos de um plano: polígono 
(convexo ou côncavo) mais a região delimitada por ele, disco fechado, elipse mais seu interior, etc., 
enfim, qualquer curva fechada, simples (isto é, sem auto interseção), mais a região delimitada por ela.
Vale ressaltarmos que a ideia de figura plana que acabamos de dar é um conceito primitivo, ou seja, 
sem definição, uma vez que não demos a definição de curva fechada simples e nem tampouco a definição 
da região delimitada por ela. Enfim, temos somente uma ideia.
Def. 25 (Cilidro)
Sejam: F uma figura contida num plano α; um plano beta paralelo a α; uma 
reta r que fura α(consequentemente, fura também β) e h a distância ente α e β. O 
subconjunto do espaço que é a união de todos os segmentos da reta com uma 
das extremidades em F e a outra em β, paralelo a r, chama-se cilindro de base F, 
com reta de inclinação r entre α e β. Definimos a altura do cilindro como 
sendo h.Caso a reta r seja perpendicular a α(e a β), o cilidreo chama-se cilindro 
reto de base F entre α e β.
Conforme demonstraremos adiante, a interseção do cilindro com o plano β é 
uma figura congruente à base (veja a definição de figuras congruentes logo após 
o Teorema 16 a qual será também chama de base.
Def. 26
27
Chama-se prisma todo cilindro cuja base é um polígono.
Num prisma, cada segmento paralelo à reta de inclinação partindo de um vértice da base com 
outra extremidade do plano β, e, os lados da base são chamados de aresta. As extremidades das 
arestas são denominadas de vértices do prisma e todo prisma são pertencentes a uma mesma aresta, 
de diagonal do prisma. A reunião dos segmentos paralelos à reta de inclinação com uma das 
extremidades num lado da base e a outra em β chama-se face lateral do prisma.
Def. 27
Um cilindro chama-se circular se sua base é um disco.
Def. 28
Chama-se paralelepípedo todo prisma cuja a base é um paralegramo. Todo paralelepípedo reto 
cuja base é um retângulo ou paralelepídedo retângulo.
Def. 29
Chama-se cubo todo paralelepípedo retangular cuja base é um quadrado e cuja altura é igual ao 
lado da base.
DICA
Seja r uma reta que fura um plano α. Então, toda reta paralela a r fura qualquer plano paralelo a α.
28
PROVA 1 
Seja s uma reta qualquer paralela a r. Seja y o plano determinado por r e 
s. Como r fura α, então α e y são concorrentes. Seja t = α ∩ γ.
Temos: r, s e t são coplanares (estão contidas em y), r//s e t e r são 
concorrentes. Logo, t e s são concorrentes. O ponto de concorrência de t e s
é comum a s e α. Desde que s ⊄ αpois s≠ t) segue-se que s fura α. Pelo 
Teorema 6, s fura qualquer plano paralelo aα.
Teorema 16
Seja P um prisma entre os planos α e β. Se é um plano paralelo a α e β, entre α e β, então ∩ P é 
uma figura congruente à base de P. 
PROVA 2 
Seja F ⊂ α a base de P. Pelo lema, as retas que contêm os segmentos 
paralelos à reta de inclinação do prisma com uma das extremidades em F furam 
. E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. Sejam A, B
e C vértices consecutivos quaisquer de F e A', B' e C' as respectivas interseções 
dos segmentos paralelos à reta de inclinação de P partindo de A, B e C com .
Basta mostrarmos que ABC ≡ A'B'C'. Temos // e como e 
estão contidos em planos paralelos (respectivamente, em α e π) e são 
coplanares, então // . 
29
Logo ABB'A é um paralelogramo. Pela mesma razão, BCC'B" e ACC'A' 
são paralelogramos. Logo, ≡ , ≡ e ≡ e daí, pelo caso 
L.L.L. de congruência de triângulos, segue-se que ABC ≡ A'B'C'.
O teorema anterior continua válido se trocarmos a palavra prisma por cilindro. Porém, precisamos de 
uma definição de figuras congruentes. Antes, vamos recordar a definição de polígonos congruentes.
Dois polígonos são congruentes quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre 
os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados de um são todos congruentes aos 
lados correspondentes do outro e o mesmo acontecendo com os ângulos.
DEF. 30 
Diremos que uma figura F é congruente a uma figura G e escrevemos F ≡ G 
se existe uma função bijetiva f : F → G tal que ≡ f(A)f(B) para quaisquer que 
sejam os pontos distintos A,B ∈ F. 
Em outras palavras, uma figura é congruente à outra se é possível 
estabelecer uma correspondência biunívoca entre elas de tal maneira que 
segmentos correspondentes são congruentes. Note que, pelo caso L.L.L. de 
congruência de triângulos, figuras congruentes têm ângulos correspondentes 
congruentes.
É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar, no caso de F 
ser um polígono, é equivalente à definição de congruência de polígonos que 
recordamos há pouco.
Omitiremos a prova.
Teorema 17
Seja C um cilindro entre os planos α e β. Se é um plano paralelo a α e β, entre α e β, então ∩ C é 
uma figura congruente à base de C.
PROVA 3 
Seja F ⊂ α a base de C. Pelo lema do Teorema 16, as retas que contêm os 
segmentos paralelos à reta de inclinação do cilindro com uma das extremidades 
em F furam . E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos. 
Seja F' = π ∩ C. Para mostrar que F≡ F' basta estabelecermos uma 
correspondência biunívoca entre F e F' de talmodo que segmentos 
correspondentes sejam congruentes. A correspondência é a seguinte: a cada A ∈
F associamos A' ∈ F', em que A' é o ponto de interseção do seguinte segmento 
com : aquele paralelo à reta de inclinação do cilindro com uma das 
extremidades em A e a outra em β. Sejam A, B e C distintos. Mostraremos que 
≡ . Com efeito, temos: // e como e estão contidos em planos 
30
paralelos (respectivamente, em α e π) e são coplanares, então ≡ . Logo, 
ABB'A' é um paralelogramo e, portanto, ≡
31
Geometria Euclidiana II 
Aula 04: Definições e Teoremas: Cilindro, Cone e Esfera 
Tópico 02: Cone
Def. 31 (cone)
Sejam: F uma figura plana e V um ponto não pertencente ao plano que contém F. O subconjunto 
do espaço que é a união de todos os segmentos de reta com uma das extremidades em F e a outra em 
V chama-se cone de base F e vértice V. Definimos a altura do cone como sendo a distância do vértice 
ao plano que contém a base.
Def. 32
Chama-se pirâmide todo cone cuja base é um polígono.
DEFINIÇÃO 
Numa pirâmide, cada segmento que une um vértice da base e o vértice 
da pirâmide, e, os lados da base são chamados de aresta. Os triângulos cujos 
vértices são o vértice da pirâmide e dois vértices consecutivos da base são 
chamados de faces laterais da pirâmide.
Def. 33
Uma pirâmide chama-se regular se sua base é um n-ágono regular, n ≥ 4 e a projeção de seu vértice 
sobre o plano da base coincide com o centro desta.
32
Def. 34
Chama-se tetraedro toda pirâmide cuja base é um triângulo.
DEFINIÇÃO 
Um tetraedro é dito regular se todas as suas faces são triângulos 
equiláteros.
Note que quatro pontos não coplanares são sempre vértices de um 
tetraedro e que qualquer face lateral de um tetraedro pode ser tomada como 
base.
Def. 35
Um cone chama-se circular se sua base é um disco. Um cone circular é dito reto se a projeção 
ortogonal de seu vértice sobre o plano da base coincide com o centro dela. Todo segmento de reta que 
une o vértice de um cone circular reto a um ponto da fronteira da base chama-se geratriz do cone.
DEFINIÇÃ 
Note que as geratrizes de um cone circular reto tem a mesma medida
DICA
33
Sejam: V um ponto não pertencente a um plano α; A,B ∈ α , distintos; π um plano paralelo a α
entre V e α; e . Então V A'B' ~ VAB com razão de semelhança igual a 
PROVA 1 
Temos: ∩ = ∅, pois estão contidas em planos paralelos e desde que 
são coplanares segue-se que são paralelas. Logo, VA'B' ~ VAB. Sendo A e B
quaisquer pontos distintos em , fixemos A e façamos B igual à projeção de V
em α. Desse modo, B' é a projeção de V em . Então, a razão de semelhança é 
igual a .
Teorema 18
Seja P um pirâmide de vértice V e base F contida num plano . Se é um plano paralelo a , entre V
e α, então π ∩ P é uma figura semelhante a F cuja razão de semelhança é . 
PROVA 2 
As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e o 
outra em V furam . E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios 
segmentos. Sejam A, B e C vértices consecutivos quaisquer de F e A', B' e C' as 
respectivas interseções dos segmentos que unem V a A, B e C com .
34
Basta mostrarmos que ABC ~ A'B'C' com razão de semelhança igual a 
. Pelo lema, temos: V A'B'~ VAB, VC'B'~ e VA'C' ~ VAC com razão de 
semelhança igual a . Desse modo, segue-se que . 
Pelo caso L.L.L. de semelhança de triângulos, decorre o resultado.
O teorema anterior continua válido se trocarmos a palavra pirâmide por cone. Porém, precisamos de 
uma definição de figuras semelhantes. Antes, vamos recordar a definição de polígonos semelhantes.
Dois polígonos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre 
os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados de um são proporcionais aos lados 
correspondentes do outro e ângulos correspondentes são congruentes. A razão de semelhança é a razão 
de proporcionalidade entre os lados do primeiro e os lados do segundo.
DEF. 36 (SEMELHANÇA DE FIGURAS) 
Sejam F e G figuras e k um número real positivo. Diremos que F é 
semelhante a G com razão de semelhança k e escrevemos ou, 
simplesmente, F ~ G se existe uma função bijetiva f: F → G tal que:
 para quaisquer que sejam os pontos distintos A, B ∈ F.
Em outras palavras, uma figura é semelhante à outra se é possível 
estabelecer uma correspondência biunívoca entre elas de tal maneira que 
segmentos correspondentes são proporcionais. Note que, pelo caso L.L.L. de 
semelhança de triângulos, figuras semelhantes têm ângulos correspondentes 
congruentes.
É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar, no caso de F
ser um polígono, é equivalente à definição de semelhança de polígonos que 
recordamos há pouco. Omitiremos a prova. Outro fato que não iremos 
demonstrar e que utilizaremos na aula subsequente acerca de figuras 
semelhantes é o seguinte: a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é 
igual ao quadrado da razão de semelhança.
Teorema 19
Seja C um cone de vértice V e base F contida num plano . Se π é um plano paralelo a α, entre V e α, 
então π ∩ C é uma figura semelhante a F cuja razão de semelhança é .
PROVA 3 
As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e o 
outra em V furam . E mais, o fazem em pontos pertencentes aos próprios 
segmentos. Seja F' = π ∩ C. Para mostrar que F ~ F', basta estabelecermos uma 
35
correspondência biunívoca entre F e F' de tal modo que segmentos 
correspondentes sejam proporcionais com razão de proporcionalidade. . A 
correspondência é a seguinte: a cada A ∈ F associamos A' ∈ F', em que A' é o 
ponto de interseção do seguinte segmento com : aquele com uma das 
extremidades em A e a outra em V. Sejam A,B F, distintos.
Mostraremos que . De fato, isto é decorrente do lema do 
Teorema 18.
DEF. 37 
Sejam: C um cone de vértice V e base F contida num plano α e π um 
plano paralelo a , entre V e α. O subconjunto de C dos pontos que se situam 
entre α e π chama-se tronco do cone C determinado por π. A distância dos 
planos α e π chamaremos de altura do tronco, e, F e π ∩ C de bases. 
36
Geometria Euclidiana II 
Aula 04: Definições e Teoremas: Cilindro, Cone e Esfera 
Tópico 03: Esfera
Def.38 (Esfera)
Sejam O um ponto e r um número real positivo. O conjunto dos pontos do espaço cuja distância a O é 
menor do que ou igual a r chama-se esfera de centro O e raio r e será denotada por (O; r).
Duas esferas são ditas concêntricas se possuem o mesmo centro.
Def.39
Dados uma esfera e um ponto P, dizemos que P é um ponto interior ou exterior de α se, 
respectivamente, d(P,O) < r ou d(P,O) > r. O conjunto de todos os pontos interiores de a é chamado de 
interior de α e é denotado por int α e o dos pontos exteriores é chamado de exterior de e é denotado por 
ext .
Def. 40
O subconjunto de uma esfera formado pelos pontos cuja distância ao centro é igual ao raio 
chamaremos de superfície da esfera.
Teorema 20
Se um plano tem, pelo menos, dois pontos em comum com uma esfera, então a interseção dos dois é 
um disco cujo centro é a projeção ortogonal do centro da esfera no plano e cuja circunferência é a 
interseção deste com a superfície da esfera.
PROVA 1 
Sejam α(O,r) a esfera; π o plano, e, A e B pontos distintos pertencentes a α e 
π. Seja O' a projeção ortogonal de O em π. Como A e B são distintos, então O' ≠ A 
ou O' ≠ B. Digamos que O' ≠ A. Seja C ∈ tal que está 
bem definido e é positivo, pois d(O,O') < d(O,A) ≤ r. E mais, d(O,C) = r, pois caso O 
≠ O' o triângulo OO'C é retângulo em O'. Mostraremos que o disco D contido em 
π de centro O' e raio' r' = O'C e α ∩ π. De fato, seja x ∈ D.
37
Temos d(X,O)2 = d(O',O)2 + d(X,O')2 ≤ d(O',O)2 + (r')2 = d(O',O)2 + O'C2 = r2
por conseguinte X ∈ α π. Tomemos agora X ∈ α ∩ π. Temos D(O',O)2 + d(X,O')
2 = d(X,O)2≤ r2 donde, d (X, O')2 ≤ r2 - d(O',O)2 = O'C2 = (r')2, portanto X e D. Isso 
mostra que D = α ∩ π. Seja C a circunferência de D. C é a interseção de 
com a superfície de Para provar isso é só seguiros mesmos passos que 
foram utilizados na demonstração de que D = α ∩ π< trocando-se por = .
38
Geometria Euclidiana II 
Aula 04: Definições e Teoremas: Cilindro, Cone e Esfera 
Tópico 04: Posições Relativas entre Planos e Esferas
Def. 41
Diremos que uma esfera e um plano são secantes se eles têm em comum, pelo menos, dois pontos; 
se eles têm em comum apenas um ponto diremos que são tangentes naquele ponto e se não tiverem 
ponto em comum diremos que são exteriores.
Teorema 21
Sejam α (O;r) uma esfera, π um plano e P ∈ α π. Então, π é tangente a α em P ⇔ P pertence à 
superfície de α e ⊥ π.
PROVA 1 
(⇒) Seja O' a projeção de O em π. Afirmamos que O' = P. Por absurdo, 
suponhamos que O' ≠ P. Então, O = O' ou o triângulo OO'P é retângulo em O'. Em 
ambos os casos, temos: OO' < OP ≤ r, donde, O' ∈ &alpha o que é uma 
contradição ao fato de α ∩ π = {P}. 
Portanto, O' = P e, por conseguinte, P = O ou ⊥ π. Não podemos ter P = O, 
pois se assim o fosse, tomando-se em um ponto Q tal que O , d(O,Q) ≤ r, 
teríamos outro ponto comum a e .
Logo P ≠ O e ⊥ π. Vamos agora mostrar que PO = r. Por absurdo, 
suponhamos que PO < r.
Seja a ∈ π tal que Desde que o triângulo OPA é 
retângulo em P, teremos: OA2 = OP2 + PA2 ≤ r2, donde, A seria outro ponto 
comum a e .
(⇐) Seja Q um ponto qualquer de π distinto de P. Dado que ⊥ π segue-se 
que e, como P pertence à superfície de então r < OQ. Conclusão: os 
pontos de , exceto P, não pertencem a . Portanto, α ∩ π = {P}.
Def. 42
39
Consideremos agora as superfícies de duas esferas distintas. Se a interseção delas possuir 
exatamente um ponto diremos que elas são tangentes e se possuir pelo menos dois pontos diremos que 
são secantes.
Teorema 22
Sejam α1(O1; r1) e α2(O2; r2) esferas não concêntricas e P um ponto comum às superfícies de α1 e α2. 
Então, elas são tangentes ⇔ O1, O2 e P são colineares.
PROVA 2 
(⇒) Por absurdo, suponhamos que O1, O2 e P não são colineares. 
Consideremos o plano determinado por O1, O2 e P. Podemos tomar no semi-
plano oposto ao que contém P, em relação a um ponto Q tal que QO1 = r1 e 
QO2 = r2, já que |r1 - r1| < O1O2 < r1 + r2.
Assim sendo, as superfícies de são secantes, o que contraria a 
hipótese.
(⇐) Por absurdo, seja Q um ponto comum às superfícies de α1 e α2 tal 
que Q ≠ P. Desde que O1 e O2 são equidistantes de P e Q, vem que está 
contida no plano mediador de Logo, P ∉ contrariando a hipótese. 
40
Geometria Euclidiana II 
Aula 04: Definições e Teoremas: Cilindro, Cone e Esfera 
Tópico 05: Posição Relativa entre duas Esferas
Teorema 23
Dadas duas esferas α1 (O1 ;r1) e α2 (O2 ;r2) não concêntricas, temos:
i) as superfícies de α1 e α2 são tangentes ⇔ d(O1,O2) = r1 + r2 ou (O1,O2) = | r1 + r2|;
ii) as superfícies de α1 e α2 são secantes ⇔ | r1 + r2| < d(O1,O2) < r1 + r2. 
iii) as superfícies de α1 e α2 tem interseção vazia ⇔ d(O1,O2) < | r1 + r2| ou d(O1,O2) > r1 + r2.
PROVA 1 
i) (⇒) Seja P o ponto comum às superfícies de α1 e α2. Pelo teorema anterior, 
P, O1e O2 são colineares. Por conseguinte, P ∈ ou P ∈ - . É 
imediato que, no primeiro caso, tem-se d (O1,O2) = r1 + r2 e, no segundo, d(O1, O2) 
= |r1 - r2|.
(⇐) Se d (O1,O2) = r1 + r2, tomemos P ∈ tal que O1P = r1. Desse modo, 
vem que O2P = r2. Portanto, P é um ponto comum às superfícies de . 
Como P, O1 e O2 são colineares, o teorema anterior garante o resultado. 
Suponhamos agora que d (O1,O2) = |r1 − r2| . Assim, d (O1,O2) = r1 − r2 ou d 
(O1,O2) = r2 − r1. No primeiro caso, tomemos P ∈ tal que O2 se situa entre O1
e P e O2P = r2 e, no segundo, tomemos P tal que O1 se situa entre O2 e P e O1P = 
r1. No primeiro caso, vem que O1P = r1 e, no segundo, O2P = r2. Logo, em ambos 
os casos, temos que P é um ponto comum às superfícies de . Como P, O1
e O2 são colineares, segue-se que {P} é a interseção das superfícies de .
ii) (⇒) Seja P um ponto comum às superfícies de . Pelo teorema 
anterior, P, O1 e O2 não são colineares e, portanto, o resultado segue-se pela 
desigualdade triangular.
(⇐) Consideremos um plano qualquer que contenha O1 e O2. Podemos 
tomar em cada semi-plano, em relação a respectivamente, um ponto P e um 
ponto Q tais que PO1 = r1, PO2 = r2, QO1 = r1 e QO2 = r2, já que |r1 - r2| < O1O2 < r1 + 
r2. Logo, as superfícies de α1 e α2 são secantes.
iii) É óbvio.
Sejam β1 e β 2 as respectivas superfícies de α1 e α2.
Observação 01
41
No caso em que d (O1,O2) = r1 + r2, temos que os pontos de uma, exceto o de 
tangência, P, são exteriores à outra.
Com efeito, seja Q≠P tal que Q ∈ β1 e α2 1, isto é, d (Q,O1) = r1. Como Q ∉
, vem que d(O1,O2) < d (O1,Q)+d (Q,O2), donde, r1+r2 < r1+d(Q,O2) e, portanto, r2
< d (Q,O2), ou seja, Q ∈ ext 2.
Nesse caso, dizemos que 1 e 2 são tangentes externas. 
Observação 02
No caso em que d(O1,O2)=|r1-r2|, então os pontos, exceto o de tangência, P, 
daquela que tiver o menor raio, são interiores à outra enquanto que os pontos, exceto 
o de tangência, daquela que tiver o maior raio, são exteriores à outra.
De fato, digamos que r1 < r2. Seja Q ∉ P tal que Q ∈ β1 ∪ β2. Desde que O1 ∉
(verifique isto), segue-se que d (Q,O2) < d (O1,Q)+d (O1,O2). É imediato que se 
Q ∈ β1, então d(Q,O2) < r2, e, se Q∈ β2, então r1 < d (Q,O1), como queríamos provar. 
Nesse caso, dizemos que aquela de menor raio é tangente interna à outra e que 
esta é tangente externa à primeira.
Observação 03
Se d(O1,O2) > r1+r2, então os pontos de uma são exteriores à outra. De fato, seja 
Q ∈ β1 ∪ β1. Temos que r1+r2 < d (O1,O2) ≤ d (O1,O2) ≤ (O1,Q) + (Q,O2), donde, decorre 
que se Q ∈ β1, então d (Q,O2) > r2,e, se Q ∈ β2, então d (O1,Q) > r1. Dizemos, nesse 
caso, que elas são externas. 
Observação 04
Se d (O1,O2) < |r1-r2|, então os pontos daquela de menor raio são interiores à 
outra enquanto que os pontos desta são exteriores à primeira. Com efeito, para 
fixarmos as ideias, digamos que r1 < r2
42
Seja Q ∈ β1 ∪ β2. Posto que d(Q,O2) ≤ d (O1,Q) + d(O1,O2) < (O1,Q) + |r1-r2|, 
decorre que se Q ∈ β1, então d (O1,Q) > r1. Nesse caso, dizemos que a de menor 
raio é interna à outra e que está é externa à primeira. 
Se duas esferas distintas são concêntricas, é imediato que os pontos daquela de 
menor raio são interiores à outra ao passo que os pontos da superfície desta são 
exteriores à primeira. Neste caso, diremos que a superfície da primeira é interna à da 
segunda e que a superfície desta é externa à da primeira.
Teorema 24
Sejam α1(O1; r1) e α2(O2; r2) duas esferas não concêntricas e cujas superfícies são secantes. Então, 
estas se interceptam segundo uma circunferência cujo centro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no 
plano que a contém.
PROVA 1 
Seja P um ponto comum às superfícies de α1 e α2. Como elas são secantes, 
temos que P não pertence a . Sejam o plano passando por P e 
perpendicular a e O o pé da perpendicular em . Temos O ≠ O1 ou O ≠
O2. Digamos que O ≠ O1. Seja β a circunferência contida em de centro O e raio r 
= OP. Afirmamos que a interseção das superfícies é β. Seja Q um ponto qualquer, 
distinto de P, na interseção. Q não pertence a . Mostraremos que Q ∈ β.
Com efeito, desde que O1O2P ≡ O1O2Q, segue-se que , donde, 
 e, portanto P1O ≡ QO1O. Posto que é reto, decorre que 
também o é e, portanto, Q e π. Uma vez que r = PO = QO, vem que 
Tomemos agora Devemos mostrar que Q pertence à interseção. De fato, 
como QO = r = PO, então PO1O = QO1O, donde, QO1 = PO1 = r1 e , 
logo, , por conseguinte, O1O2P ≡ O1O2Q e assim QO2 = PO2 = r2. 
Assim sendo, Q pertence à interseção das superfícies de α1 e α2. Por 
43
conseguinte, a interseção das superfícies das esferas é uma circunferência cujo 
centro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no plano que a contém.
EXERCITANDO 51 A 74
Sonhos são projetos da verdadeira riqueza: Valores, Virtudes e Sabedoria
Prof. Ms. Ailton Feitosa 
CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 
51. Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro 
equilátero de raior.
52. Um reservatório para álcool tem a forma de um cilindro reto com 16m de altura e 8m 
de diâmetro da base. Qual a capacidade, em litros, do reservatório?
53. Determine o volume do cilindro inscrito num cubo de aresta 2 cm.
54. O tonel representado ao lado está ocupado em 60% de sua capacidade. Qual a 
quantidade de água nele contida, em litros?
55. O raio interior de uma torre circular é de 120 cm, a espessura 50 cm e o volume do 
material utilizado na construção é 145 m3. Qual é a altura da torre?
56. Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm. A água colhida pelo 
pluviômetro depois de um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja 
circunferência da base mede 20 cm. Que altura havia alcançado a água no pluviômetro 
sabendo que no recipiente alcançou 180 mm?
57. O Líquido contido em uma lata cilíndrica deve ser distribuída em potes também 
cilíndricos cuja altura é ¼ da altura da lata e cujo diâmetro da base é 1/3 do diâmetro da 
base da lata .O Número da potes necessários é:
a) 6 
b)12
c) 18
44
d) 24
e) 36
58. A altura de um cilindro é de 20 cm. Aumentando-se 5 cm o raio da base desse 
cilindro, a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro. O Raio da base 
do primeiro cilindro é igual a:
a) 10 cm 
b) 12 cm 
c) 6 cm
d) 8 cm 
e) 5 cm 
59. Determinar o volume de um cilindro reto de raio r, sabendo que sua área total é igual 
à área de um circulo de raio 5r.
60. Um cone equilátero tem raio da base 3 cm. Calcule:
a) a área lateral do cone; 
b) a área total do cone;
c) A medida, em graus, do ângulo central do setor circula equivalente à superfície 
lateral do cone.
61. As áreas da base e de uma secção transversal de um cone circula são 32cm2 e 4cm2, 
respectivamente. Sabendo que a altura do cone é 12cm, calcule a distância entre o plano 
dessa secção transversal e a base do cone.
62. Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro da base é 8m. Então, a área total vale:
a) 52
b) 36
c) 20
d) 16
e) 12
63. Qual o volume de um cone circular reto, se a área de sua superfície lateral é de 24
cm2 e o raio de sua base mede 4 cm?
64. O ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral de um cone de 
revolução mede 72º. Determine o volume desse cone, sabendo que o perímetro de sua 
base é 6πcm.
65. Um cone de revolução de raio da base 12cm é equivalente a um cilindro de revolução 
de altura 12cm e raio da base 8cm. Qual é a área total do cone?
45
66. Um cone circular reto de altura 9m é equivalente a uma pirâmide regular 
quadrangular de altura de altura 4m e aresta da base 12 m. Obtenha a área da base do 
cone.
67. Um cone circula reto de altura 2 cm tem área lateral 8 √3cm2. Calcule a medida do 
ângulo que uma geratriz forma com o eixo do cone
68. O diâmetro da base de um cone circula reto mede 6 cm e a área da base é igual a 3/5 
da área lateral. Encontre o volume desse cone.
69. Uma secção meridiana de um cone equilátero é um triângulo de área A, Calcule, em 
função de A, o volume desse cone.
70. Um Cilindro de revolução tem raio da base r e altura 2r. Retiram-se desse cilindro dois 
cones circulares tais que suas bases coincidem com as bases do cilindro e seus vértices 
coincidem com o centro do cilindro. Calcule o volume do sódio remanescente, em função 
de r.
71. Uma secção plana de uma esfera tem raio 3 cm e dista 4 cm do centro da esfera. 
Calcular o volume dessa esfera.
72. Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8 cm2, o raio da esfera é:
a) √2cm
b) 3√2cm
c) √5cm
d) 7√5cm
e) √3cm
73. O volume de uma esfera é 36 cm3. Qual é a área de uma secção plana que dista 
2√2cm do centro dessa esfera?
74. O volume de uma esfera é 8/3 cm3. Qual é a área da superfície dessa esfera? 
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
O portfólio da aula 04, consiste em você resolver os seguintes exercitandos 54, 58, 63, 70 e 74 e 
enviar as soluções através do seu portfólio.
FÓRUM
Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas.
46
Fontes das Imagens
1 - http://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/geom_plana_02.png
47
Geometria Euclidiana II 
Aula 05: Volume e área de superfície 
Tópico 01: A Noção de Volume
Fonte [1]
Arquimedes, matemático grego, nasceu em 287 a.C. na cidade de Siracusa, na ilha de Sicília. 
Estudou em Alexandria e voltou à cidade natal onde permaneceu até a morte que ocorreu em 212 pela 
espada de um soldado romano. Ficou famoso pelas suas invenções bélicas. É o autor do princípio da 
alavanca, sobre o qual ficou conhecida a seguinte frase de Arquimedes: "Deem-me um ponto de apoio 
e moverei o mundo". É também autor do princípio segundo o qual um corpo imerso num líquido sofre a 
ação de uma força, de baixo para cima, igual ao peso da quantidade de líquido que desloca. Este ficou 
conhecido como o princípio de Arquimedes que utilizou para descobrir se a coroa do rei Híeron II fora 
confeccionada de ouro puro ou não.
Arquimedes deu uma grande contribuição à geometria espacial. Ele é responsável pela 
descoberta das fórmulas do volume e área da superfície dos principais sólidos geométricos tais como 
a esfera, cilindro, cone, etc. É este assunto que iremos abordar nesta aula.
Entenderemos por sólido qualquer um dos seguintes subconjuntos do espaço: cilindro, cone, esfera, 
poliedro (que iremos definir na próxima aula) ou qualquer superfície fechada, simples (isto é, sem auto 
interseção), mais a região delimitada por ela.
Vale salientarmos que a ideia de sólido que acabamos de dar é um conceito primitivo, ou seja, sem 
definição, uma vez que não demos a definição de superfície fechada simples e nem tampouco a definição 
da região delimitada por ela. Enfim, temos somente uma ideia.
VOLUME DE UM SÓLIDO 
Outro conceito primitivo que iremos considerar é o de volume de um sólido. 
O volume de um sólido é a quantidade de vezes que o cubo de aresta unitária 
"cabe" nele. O cubo de aresta unitária será chamado de unidade de medida de 
volume. Se a unidade de medida de comprimento utilizada é o metro, 
chamaremos a unidade de medida de volume (que é o cubo de aresta unitária) de 
metro cúbico e o denotaremos por 1m3. Assim, medir o volume de um sólido, 
com essa unidade de medida de volume, consiste em saber quantos metros 
48
cúbicos há nele. A ideia é de comparação dos sólidos com o cubo de aresta 
unitária no que tange ao lugar que eles ocupam no espaço.
Adotaremos a notação V(S) para denotar o volume de um sólido S.
Congruência de sólidos:
Diremos que um sólido S é congruente a um sólido S' e escrevemos S ≡ S' se 
existe uma função bijetiva f:: S → S' tal que para quaisquer que 
sejam os pontos distintos A, B S
Em outras palavras, um sólido é congruente a outro se e possível estabelecer uma correspondência 
biunívoca entre eles de tal maneira que segmentos correspondentes são congruentes. Note que, pelo caso 
L.L.L. de congruência de triângulos, sólidos congruentes tem ângulos correspondentes congruentes.
Diremos que um sólido S está decomposto como soma de dois sólidos S1 e S2 se S é a união de S1 e 
S2 e S1∩ S2 é subconjunto da superfície de ambos.
Admitiremos que sólidos congruentes têm mesmo volume e que se um sólido S está decomposto 
como soma de S1 e S2, então V(S) = V(S1) + V(S2). Também iremos admitir que paralelepípedos 
retangulares com bases congruentes e mesma altura são congruentes e, consequentemente, têm mesmo 
volume. Note que qualquer face de um paralelepípedo retangular pode ser tomado como base.
49
Geometria Euclidiana II 
Aula 05: Volume e área de superfície 
Tópico 02: Volume do Paralelepípedo Retangular
Considere um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem, respectivamente, 5 
e 4 unidades de medida de comprimento e cuja altura mede 3. Quantos cubos de aresta unitária "cabem" 
nele? Ou seja, qual seu volume? Veja a animação.
Enfim, um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base 
medem, respectivamente, m e n unidades de medida decomprimento e cuja 
altura mede h, em que m, n e h são números inteiros, tem volume igual ao 
produto mnh. Esse resultado continua válido para m, n e h números reais 
positivos quaisquer.
É o que pretendemos mostrar em seguida.
Lema
Seja (an) uma sequência de números reais e a, b ∈ R tais que e para 
todo n. Então, a = b.
PROVA 
Mostraremos que não temos e a < b nem b < a . Se a < b, escolhamos um 
inteiro positivo . Assim, . Sendo an < a', vem que , 
donde, , o que é uma contradição! Se b > a , de modo análogo, também 
chegaremos a uma contradição. Logo, a = b.
Teorema 25
Sejam p e p' paralelepípedos retangulares de bases congruentes e alturas a e a', respectivamente. 
Então, .
50
PROVA 
Sejam XYZW e X'Y'Z'W' as bases de P, em que XX' = YY' = ZZ' = WW' = a, e, 
ABCD e A'B'C'D' as bases de P', em que AA'= BB'= CC'= DD' = a'. Escolhamos a 
altura que for menor do que ou igual à outra. Digamos que a' ≤ a. Para cada 
inteiro positivo n, dividamos em n partes congruentes, isto é, sejam A'1,...,A'n - 1
∈ com A'1 entre A'n - 1 e A'n + 1 para cada i ∈ {1,..., n - 1} (tomamos A'0 = A'e) tais 
que para todo i ∈ {1,..., n }.
Seja . Por cada ponto de divisão A'i consideremos o plano 
paralelo à base. Estes interceptam P' segundo retângulos congruentes à 
base. Assim sendo, o paralelepípedo P' fica decomposto em n 
paralelepípedos congruentes entre si. Desse modo, o volume de cada um 
deles é igual a . Consideremos agora a semi reta e o número real 
positivo xn. Então, existem A1,A2,..., ∈ com Ai e Ai-1 e Ai+1 para todo i ∈ N* 
(tomamos A0 = X) tais que Ai - 1 Ai = xn.
Além disso, posto que , vem que existe um inteiro 
positivo mn tal que X' = Amn< ou X' está situado entre Amn ou Amn + 1. 
51
Tem-se ainda que mn. xn ≤ a < (mm + 1)xn, donde,
.
Fazendo , vem que .
Por cada Ai, consideremos o plano paralelo à base. Estes determinam 
paralelepípedos todos congruentes aos paralelepípedos da decomposição de 
P' (por terem bases congruentes e mesma altura xn), portanto, todos com 
mesmo volume . Desse modo, o volume de P é maior do que ou igual à 
soma de mn desses volumes e é menor do que a soma de mn+1 dos mesmos.
Em símbolos, temos:
,
donde,
.
Posto que e para cada inteiro positivo n, 
segue-se, pelo lema, que .
Corolário 01
Sejam P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base 
medem, respectivamente, a e b e cuja altura mede c, e, P' um paralelepípedo 
retangular cujas arestas adjacentes da base medem, respectivamente a' e b' e 
cuja altura mede c'. Então, 
Clique aqui para visualizar a prova.
CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR A PROVA
Prova
Sejam P" um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base 
medem, respectivamente, b e c e cuja altura mede a', e, P" um paralelepípedo 
52
retangular cujas arestas adjacentes da base medem, respectivamente, a' e c e 
cuja altura mede b'. Comparando P com P", P" com P"' e P"' com P',
Multiplicando-se estas igualdades membro a membro chega-se ao 
resultado. 
Corolário 02
Seja P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base 
medem, respectivamente, a e b e cuja altura mede c. Então, V(P) = abc.
Clique aqui para visualizar a prova.
CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR A PROVA
Prova
Basta fazer no corolário anterior P' igual a um cubo de aresta unitária.
Utilizando o Corolário 2, podemos concluir que o volume de um 
paralelepípedo retangular é igual ao produto da área da base pela altura.
53
Geometria Euclidiana II 
Aula 05: Volume e área de superfície 
Tópico 03: Volume do Cilindro e do Cone
Chamaremos de plano horizontal todo aquele paralelo ou coincidente com um certo plano que 
fixamos (implicitamente ou explicitamente) como referencial numa discussão.
A seguir, enunciaremos um axioma conhecido por "Princípio de Cavalieri'', com o qual iremos deduzir 
as fórmulas que darão os volumes do cilindro, do cone e da esfera. 
OLHANDO DE PERTO
Princípio de Cavalieri.
"Sejam S e S' sólidos. Se todo plano horizontal intercepta S e S' segundo figuras com mesma 
área, então S e S' têm mesmo volume.''
Consideraremos o conjunto vazio ou um conjunto unitário como uma figura de área nula para efeito 
do enunciado do princípio de Cavalieri.
Teorema 26
O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.
Enunciado
Seja C um cilindro entre os planos α e β de base F e altura h, em que F ⊂ α. 
Considere um paralelepípedo P, retangular, cuja base R está contida em α e tem a 
mesma área de F, cuja altura seja h e esteja no mesmo semi espaço (determinado 
por α) em que se encontra C. 
Considere um plano π paralelo a α e β, entre α e β. Pelo Teorema 17, π ∩ C ≡
F e π ∩ P ≡ R. Como F e R têm mesma área, segue-se as secções π ∩ C e π ∩ P 
têm mesma área. Pelo princípio de Cavalieri, o cilindro e o paralelepípedo têm 
54
mesmo volume. Desde que o volume de P, de acordo com o Corolário 2 do 
Teorema 20, é o produto da área de R por h, decorre que o volume de C é o 
produto da área de R por h e, posto que R e F têm mesma área, segue-se que o 
volume de C é o produto da área de F por h. 
Teorema 27
Dois cones têm mesmo volume se têm mesma altura e suas bases têm mesma 
área
Enunciado
Coloquemos as bases dos dois cones num mesmo plano, digamos, α, e seus 
vértices num mesmo semi espaço determinado por α. Sejam: C e C' os cones, F e F' 
as respectivas bases, V e V' os respectivos vértices e h a altura comum. Para 
demonstrar que C e C' têm o mesmo volume utilizaremos o princípio de Cavalieri. 
Seja π um plano paralelo a α, entre V (ou V') e α e h' = d(V, π). Basta mostrarmos 
que π ∩ C e π ∩ C' têm mesma área. 
Pelo Teorema 19, vem que F ~ π ∩ C com razão de semelhança igual a 
com razão de semelhança também igual a e F ~ π ∩ C. Desde que a razão 
entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de 
semelhança, segue-se que . Posto que área (F) = 
área (F'), decorre que área (π ∩ C) = área (π ∩ C'). 
Teorema 28
O volume de um cone é igual a um terço da área da base pela altura.
Enunciado
Inicialmente, demonstraremos o teorema para o caso do cone ser um tetraedro. 
Consideremos então um tetraedro T de base um triângulo ABC, de vértice D e altura 
h. 
Sejam α o plano que contém ABC, β o plano paralelo a α passando por D e B' e C' 
os respectivos pontos de interseção das retas paralelas a passando por B e C 
com α, Considere o prisma P entre α e β cuja reta de inclinação é e cuja base em 
α é ABC. A base de P em β é DB'C'. Observe que P está decomposto como soma dos 
seguintes três tetraedros: T, o tetraedro T' de vértices em B, C, D e B' e o tetraedro T'' 
de vértices em B', C', D e C. Vamos mostrar que esses três tetraedros têm mesmo 
55
volume. Com efeito, tomando ABD como base de T, B'DB como base de T' e C como 
vértice comum a T e T', então T e T' têm bases congruentes e mesma altura, logo, 
pelo Teorema 22, têm mesmo volume. Pela mesma razão, T' e T'' têm mesmo volume 
se considerarmos BB'C como base de T', C'CB' como base de T'' e D como vértice 
comum a T' e T''. Posto que T, T' e T'' têm mesmo volume e P está decomposto como 
soma destes tetraedros, segue-se que área (ABC) • h. 
Por conseguinte, o teorema vale para tetraedros.
Para demonstrarmos que o resultado e valido para um cone C qualquer e só 
considerarmos um tetraedro com mesma altura de C e cuja base tenha a mesma 
área da base de C. O resultado decorre do teorema anterior. 
Corolário 01
O volume de um cone circular é igual a , em que r é o raio da base e h é 
a altura do cone.
Corolário 02
O volume de uma pirâmide, cuja base é um polígono regular, é igual a , 
em que p e a são, respectivamente, o semi perímetro e o apótema da base e h é a 
altura da pirâmide.
Enunciado da prova 04
O resultado segue-se pelo fato da área de um polígono regular ser igual ao 
produto de seu semi perímetro pelo seu apótema 
Corolário 03
O volume de um tronco de pirâmide, cujas bases são polígonos regulares, 
cuja altura é h, cujos semi