Matemática aplicada

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Matemática Aplicada
Prof. Gabriel Mendes
Lógica
Introdução
Origem da Lógica
Na Grécia Antiga, 342 a.C, em meio a embates filosóficos, Aristóteles sistematizou a Lógica com o intuito de verificar que argumentos eram válidos, elevando-a assim à categoria de ciência. 
Em sua obra chamada Organum (“ferramenta para o correto pensar”), estabeleceu princípios tão gerais e sólidos que até hoje são considerados válidos.
Origem
Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos. 
A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento.
Argumento
Um argumento é uma seqüência de proposições (declarações/afirmações) na qual uma delas é a conclusão e as demais são premissas.
Uma proposição (ou declaração/afirmação) é uma sentença que pode ser verdadeira ou falsa 
O objeto de estudo da lógica é determinar se a conclusão de um argumento é ou não uma consequência lógica das premissas. 
Validade de um Argumento 
Em um argumento válido, as premissas são consideradas provas evidentes da verdade da conclusão, caso contrário não é válido.
Quando é válido, podemos dizer que a conclusão é uma consequência lógica das premissas, ou ainda que a conclusão é uma inferência decorrente das premissas.
Validade de um Argumento
Inferência é a relação que permite passar das premissas para a conclusão (um “ encadeamento lógico”)
A palavra inferência vem do latim, Inferre, e significa “conduzir para”
Validade de um Argumento 
Exemplo 1: O argumento que segue é válido?
	
	Se eu ganhar na Loteria, serei rico. 
	Eu ganhei na Loteria. 
	Logo, sou rico.
		É Válido 	
		 (a conclusão é uma decorrência 		 		lógica das duas premissas.)
Validade de um Argumento
Exemplo 2: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico 
Eu não ganhei na Loteria 
Logo, não sou rico
		 Não é Válido 	
		 (a conclusão não é uma decorrência 		 lógica das duas premissas.)
Validade de um Argumento
A lógica se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a forma do raciocínio. A verdade do conteúdo de cada premissa e da conclusão é estudo das demais ciências. 
A validade do argumento está diretamente ligada à forma pela qual ele se apresenta (Lógica Formal – estuda a forma dos argumentos).
Dedução e Indução
Algumas das ferramentas que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos são a dedução e a indução, que dão origem a dois tipos de argumentos: Dedutivos e Indutivos.
Argumentos Dedutivos
Pretendem que suas premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão e podem ser: 
Válidos: quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para a conclusão. Isto é, se as premissas forem verdadeiras, é impossível que a conclusão seja falsa; 
Inválidos: não se verifica a característica anterior. 
Argumentos Dedutivos
Exemplos de argumentos dedutivos:
Os dois exemplos anteriores (um válido e outro inválido)
Outro exemplo:
Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.
					(Argumento Válido)
Argumentos Indutivos
Não pretendem que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade. (possibilidade, probabilidade)
Seguem do Raciocínio Indutivo, isto é, obtém conclusões baseada em observações/experiências. Enquanto que um Raciocínio Dedutivo exigi uma prova formal sobre a validade do argumento.
Os termos válidos e inválidos não se aplicam, são avaliados de acordo com a maior ou a menor probabilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas.
Argumentos Indutivos 
Exemplo:
	
 Joguei uma pedra no lago, e ela afundou; Joguei outra pedra no lago e ela também afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar. 
(Argumento Indutivo)
Argumentos Indutivos
A Lógica Formal só estuda Argumentos Dedutivos, verificando se são ou não válidos.
Validade e Verdade
Verdade e Falsidade: são propriedades das proposições, nunca dos argumentos
Validade ou Invalidade: são proprie-dades dos argumentos dedutivos que dizem respeito a inferência ser ou não válida (raciocínio ser ou não correto)
Validade e Verdade
Exemplo 1
	Toda baleia é um mamífero 	(V) Todo mamífero tem pulmões	(V) Logo, toda baleia tem pulmões 	(V)
	 Argumento válido e a conclusão 	verdadeira.
Validade e Verdade
Exemplo 2 
	Toda aranha tem seis pernas (F) Todo ser de seis pernas tem asas (F) Logo, toda aranha tem asas (F)
	 Argumento válido e a conclusão 	falsa
Validade e Verdade
Os conceitos de argumento válido ou inválido são independentes da verdade ou falsidade de suas premissas e conclusão.
Qualquer combinação de valores verdade entre as premissas e a conclusão é possível, exceto que nenhum argumento dedutivo válido tenha as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
Um argumento dedutivo no qual todas as premissas são verdadeiras é dito Argumento Correto, evidentemente sua conclusão também é verdadeira.
Avaliação de um Argumento
Principal propósito de um argumento:
Demonstrar que uma conclusão é provável ou verdadeira.
Como avaliar que um argumento atinge ou não esse propósito?	 (Se ele é válido?)
Avaliação de um Argumento
Critérios usados para avaliar um argumento:
Se todas as premissas são verdadeiras;
Se, dada a verdade das premissas, a conclusão é ao menos provável;
Se as premissas são relevantes para a conclusão;
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos
Os argumentos podem ser classificados em duas categorias:
Argumento dedutivo 
Argumento cuja conclusão deve ser verdadeira se suas premissas básicas forem verdadeiras.
	Em outras palavras - um argumento é dedutivo quando: “se as premissas forem verdadeiras é impossível a conclusão ser falsa”.
Argumento indutivo (ou dedutivo inválido)
Argumento cuja conclusão não é necessária, dadas suas premissas básicas.
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
 Exemplos
1) .	Todo homem é mortal
 . Sócrates é um homem
 ◊ 	Sócrates é mortal
2) . 	Freqüentemente quando chove fica nublado
. Está chovendo
◊ Está nublado
Dedutivo
(“ Arg. Válido”)
Indutivo
(“Arg. Inválido”)
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
 Exercícios
1)
. Não há registros de seres humanos com mais 	de 5 metros de altura.
◊ Nunca tivemos um ser humano com mais de 5 	metros de altura.
2)
. Alguns porcos tem asas
. Todas as coisas aladas gorjeiam
◊ Alguns porcos gorjeiam
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
 Exercícios
3)
. Se houver uma guerra nuclear, a civilização será destruída.
. Haverá uma guerra nuclear
◊ A civilização será destruída por uma guerra nuclear.
4)
. O cloreto de potássio é, quimicamente, muito similar ao sal de cozinha (cloreto de sódio).
◊ O Cloreto de potássio tem sabor igual ao do sal de cozinha.
Argumento Dedutivo e
Argumento Indutivo: Exercícios
Avalie os seguinte argumentos com relação aos critérios 1 e 2:
1)
. Todos tem um e um só pai biológico.
. Os irmãos tem o mesmo pai biológico.
. Ninguém é pai biológico de si mesmo.
Não há pai biológico que seja também seu irmão.
Argumento Dedutivo e
Argumento Indutivo: Exercícios
2)
. Os visitantes da china quase nunca contraem malária no país.
. José está visitando a China.
José não contrairá malária na China.
3)
. Eu sonho com monstros.
. Meu irmão sonha tambémcom monstros.
 Todas as pessoas sonham com monstros. 
Argumento Complexo 				Exercícios
3)	"Todos os argumentos são ou indutivos ou dedutivos. O que você está lendo agora é um argumento. Este argumento não é indutivo. Este argumento é dedutivo.“
4)	"Não existe o maior número primo. Mas de todos os números primos sempre podemos imaginar que certamente existe um maior. Logo, existem números primos maiores do que qualquer um que possamos imaginar."
Argumentos
Qual o tipo de argumento que estudaremos?
A Lógica Formal estuda o argumento dedutivo no sentido tradicional
O objetivo da Lógica Formal é mostrar a validade de certas formas de argumento (estruturas). 
O estudo das formas de argumento facilita a verificação da validade dos argumentos.
Na Lógica formal estudaremos formas básicas do raciocínio lógico de um ponto de vista sintático (manipulação de símbolos) e em seguida os princípios semânticos que justificam estas formas de raciocínio.