Técnica de Frequência e Duração

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1 
 
SUMÁRIO 
1. Técnica da Frequência e Duração ................................................................................ 2 
1.1. Influência da Frequência .............................................................................................. 2 
1.2. Frequência e Duração ................................................................................................... 3 
1.2.1. Desempenho Médio ...................................................................................................... 5 
1.2.2. Frequência do Ciclo...................................................................................................... 6 
1.3. Frequência Individual ................................................................................................... 8 
1.3.1. Probabilidade limite dos estados .................................................................................. 9 
1.3.2. Probabilidade de estados acumulados ........................................................................ 10 
1.3.3. Frequência de residência ............................................................................................ 10 
1.3.4. Tempo médio de residência ........................................................................................ 13 
1.4. Freqüência Acumulada ............................................................................................... 13 
1.5. Duração de Estados Acumulados ............................................................................... 15 
 
2 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
1. TÉCNICA DA FREQUÊNCIA E DURAÇÃO 
As técnicas de Markov descritas anteriormente permitem avaliar a probabilidade de 
residir em cada estado do sistema. Consequentemente, a probabilidade de estar nos estados 
que determinam o sucesso total, o sucesso parcial e a falha da operação do sistema pode ser 
avaliada. 
Entretanto, para um melhor entendimento do comportamento de sistemas com 
componentes reparáveis, é necessário obter alguns índices adicionais de confiabilidade. 
Dentre eles estão os índices de frequência e duração (F&D), os quais podem representar a 
frequência de se encontrar um estado do sistema e a duração média de residência neste estado. 
A avaliação destes índices é baseada nos diagramas de espaço de estados para os processos 
contínuos de Markov. 
1.1. INFLUÊNCIA DA FREQUÊNCIA 
Para todo e qualquer sistema que tenha seus estados divididos entre falha e sucesso, a 
frequência f será dita frequência de falha (obviamente, igual à frequência de sucesso). Se o 
comportamento de um sistema é descrito somente pelas probabilidades de seus estados, 
haverá a perda de informações importantes. 
Considere, por exemplo, 2 sistemas com um único componente reparável. O primeiro 
com taxas  e  , e o segundo com taxas 2 e 2 . 
 
1P

 


 
1
2
2 2
P
 
   
 
 
 
2P

 


 
2
2
2 2
P
 
   
 
 
 
Observa-se que ambos terão a mesma indisponibilidade, porém, o segundo falha duas 
vezes mais que o primeiro. 
 
1 2


1 2
2
2
3 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
O histórico de ocorrências dos sistemas é: 
 
1 1
1
1 1
S U
U
T
T


  
1 1
1
1 1
S D
D
T
T


   
1
1
1 1
( ) U
U D
T
A P t
T T

 
  
 
1
2
1 1
( ) D
U D
T
U P t
T T

 
  
 
 
 
2 1
2 3 1
2 2 2
S U
U U U
T
T T T


   

2 1
2 3 1
2 2 2
S D
D D D
T
T T T


   

 
2 3 1
1
2 3 2 3 1 1
( ) U U U
U U D D U D
T T T
A P t
T T T T T T

 

   
    
 
2 3 1
2
2 3 2 3 1 1
( ) D D D
U U D D U D
T T T
U P t
T T T T T T

 

   
    
 
 
Esta situação pode ter um grande impacto na operação do sistema. Portanto, pode ser 
vital avaliar não somente a indisponibilidade (ou disponibilidade) do sistema, mas também a 
frequência e a duração de encontrar os vários estados do sistema, ou mais especificamente, a 
frequência de falha deste sistema. 
1.2. FREQUÊNCIA E DURAÇÃO 
Portanto, uma informação fundamental em relação à confiabilidade de um sistema é a 
frequência com que ele se encontra em determinado estado e o valor médio do tempo de 
residência neste estado. 
Seja o sistema reparável com apenas 1 elemento, ou seja, um sistema a dois estados, 
sendo  a taxa de falha do componente e  a taxa de reparo do componente. 
1 2


TU1
TD1
1 2
2
2
TU3TU2
TD2 TD3
TU1 = TU2 + TU3
TD1 = TD2 + TD3
4 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
 
UA P

 
 

 
DU P

 
 

 
Considere o seguinte histórico do elemento reparável (sistema a dois estados): 
 
 
O período total considerado é dado por: 
1 2 3 1 2 3U U U D D DTempo Total T T T T T T      
Assim, 
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
3
( )
3 3
U U U U U U
U
U U U D D D
T T T T T T
A P t
Tempo Total T T T T T T

 
 
   
    
     

 
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
3
( )
3 3
D D D D D D
D
U U U D D D
T T T T T T
U P t
Tempo Total T T T T T T

 
 
   
    
     

 
1 2 3
1 2 3
3 3
U U U
U U U
T T T
T T T


    
 
 
1 2 3
1 2 3
3 3
D D D
D D D
T T T
T T T


    
 
 
 
Portanto: 
1 2 3( ) U U UU
T T T m
A P t
Tempo Total m r

 
 
   
 
 
1 2 3( ) D D DD
T T T r
U P t
Tempo Total m r

 
 
   
 
 
Up Down


TU3TU2TU1
TD1 TD2
TD3
5 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
1 2 3
1 2 3
3 1
3
U U U
U U U
T T T
m
T T T m

 
   
 
 m: tempo médio de funcionamento 
1 2 3
1 2 3
3 1
3
D D D
D D D
T T T
r
T T T r

 
   
 
 r: tempo médio de reparo 
1.2.1. Desempenho Médio 
O desempenho médio do sistema é apresentado pela Figura 1: 
 
Figura 1. Desempenho médio de um sistema. 
onde T é o ciclo de tempo do sistema, também denominado de tempo médio entre falhas 
(MTBF), sendo igual à soma de m (MTTF - Tempo Médio Para Falha) e r (MTTR - Tempo 
Médio Para Reparo). 
1 2 3
3
U U UT T Tm MTTF
 
  
1 2 3
3
U U UT T T
 
 
 
1
m

 
1 2 3
3
D D DT T Tr MTTR
 
  
1 2 3
3
D D DT T T
 
 
 
1
r

 
T MTBF m r   
 
Em algumas publicações, MTBF é utilizado como sendo o MTTF. Contudo, existe uma 
diferença conceitual significante entre MTTF e MTBF. A diferença numérica entre estes dois 
parâmetros dependerá do valor do MTTR. Na prática o tempo de reparo é muito pequeno 
comparado com o tempo de operação e, portanto, os valores numéricos de MTTF e MTBF são 
usualmente muito similares. 
m r
T
6 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
1.2.2. Frequência do Ciclo 
Considerando o desempenho médio do sistema da Figura 1, a frequência do ciclo ou 
frequência de encontrar um estado do sistema, pode ser obtida por: 
MTBF
1
rm
1
T
1
f 

 (1.1) 
No caso de um sistema a dois estados representado por um simples componente, a 
frequência de se encontrar este componente no estado de operação é a mesma de se encontrar 
no estado de falha. Em um sistema mais complexo, com mais de dois estados, geralmente a 
frequência é diferente para cada estado. 
 
O método de avaliação dos índices de frequência e duração é baseado nos conceitos de 
desempenho médio (ciclo médio). A probabilidade de se residir em qualquer estado do 
sistema é igual ao tempo médio de residência nesse estado dividido pelo período de ciclo 
médio para esse estado ocorrer. 
Portanto, se PS é a probabilidade de residir no estado S, mS é o tempo médio de 
residência em S e TS é o tempo médio de se encontrar o estado S (período de S), tem-se: 
S
S
S
m
P
T
 (1.2) 
No caso de um simples componente reparável: 
 
De acordo com desempenho médio representado na Figura 1, tem-se: 
1 1
U
m m f
A P
m r T T

   
 
      
   
 (1.3) 
 
1 1
D
r r f
U P
m r T T

   
 
      
   
 (1.4) 
 
Portanto, pode-se concluir que: 
Up Down


7 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
U Df P P     (1.5) 
 
Colocadoem palavras: 
 Frequência de se encontrar o sistema operativo = PU x  = 
(probabilidade de estar no estado Up) x (taxa de saída do estado Up) 
 Frequência de se encontrar o sistema em reparo = PD x  = 
(probabilidade de estar no estado Down) x (taxa de saída do estado Down) 
O conceito da equação (1.5) se aplica para todos os sistemas reparáveis, 
independentemente do número de estados existentes. Se PS é a probabilidade de residir no 
estado S e 
out
S é a taxa de saída deste estado (para todos os estados diretamente ligados ao 
estado S), então, a frequência de ocorrência do estado S será: 
out
S S Sf P   (1.6) 
Partindo do conceito de taxa de transição, é fácil concluir que a duração média de um 
estado S é igual ao inverso de sua taxa de saída 
out
S , que é também igual à razão entre a 
probabilidade de residir no estado pela frequência de ocorrência do estado. Portanto: 
1 S
S out
S S
P
m
f
  (1.7) 
 
Exemplo: 
 
Figura 2. Sistema com 5 estados. 
1 21
out  1 21 1f P  
1
2
4
5
3
12
21
23
32
34
2451
25
52
8 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
2 21 23 24 25
out         2 21 23 24 25 2f P        
3 32 34
out     3 32 34 3f P    
5 51 52
out     5 51 52 5f P    
4 0
out  5 40 0 Estado Absorventef P    
 
É importante ressaltar que os conceitos anteriores somente podem ser aplicados no caso 
de regime permanente (limite) ou na avaliação do comportamento médio do sistema, não 
sendo válidos para o cálculo da frequência ou probabilidade dependente no tempo. 
1.3. FREQUÊNCIA INDIVIDUAL 
A aplicação destas técnicas a sistemas multicomponentes (ou estados) pode ser ilustrada 
considerando um sistema de dois componentes a dois estados, Up (UP) e Down (DN), com 
taxas de falha e reparo: 
1 , 1 e 2 , 2 , para os componentes 1 e 2, respectivamente. O 
diagrama de espaço de estados deste sistema é mostrado na Figura 3. 
 
Figura 3. Diagrama de espaço de estado de um sistema de dois componentes a dois estados. 
As probabilidades limites dos estados podem ser obtidas através da matriz de transição 
estocástica [P] para 2 componentes reparáveis (a 2 estados): 
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
9 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
 
(1.8) 
1.3.1. Probabilidade limite dos estados 
O primeiro passo do método F&D é determinar a probabilidade limite de cada estado, 
resolvendo o sistema de equação: 
P   (1.9) 
 
Para nosso problema, 
   
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2 1 2 1
2 1 1 2
1 ( ) 0
1 ( ) 0
0 1 ( )
0 1 ( )
P P P P P P P P
   
   
   
   
  
 
 
  
  
 
  
 
 
Substituir uma das equações por 1 2 3 4 1P P P P    obtêm-se um sistema de 4 
equações com 4 incógnitas, o qual pode resultar trabalhoso. 
Outra opção é calcular as Probabilidades Limites dos Estados através de simples 
combinações dos dois componentes independentes: 
Estado 1: 1 UP e 2 UP 
1 2
1
1 1 2 2( ) ( )
P
 
   
 
 
 (1.10)
 
Estado 2: 1 DN e 2 UP 
1 2
2
1 1 2 2( ) ( )
P
 
   
 
  
(1.11) 
Estado 3: 1 UP e 2 DN 
1 2
3
1 1 2 2( ) ( )
P
 
   
 
  
(1.12) 

















)μμ(1μμ0
λ)μλ(10μ
λ0)μλ(1μ
0λλ)λλ(1
P
2112
1212
2121
2121
1 2 3 4
1
4
2
3
10 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
Estado 4: 1 DN e 2 DN 
1 2
4
1 1 2 2( ) ( )
P
 
   
 
  
(1.13) 
1.3.2. Probabilidade de estados acumulados 
Considerando que os estados individuais do sistema são mutuamente exclusivos, as 
probabilidades dadas pelas equações (1.7) a (1.13) podem ser combinadas para obter a 
probabilidade de residência em qualquer conjunto de estados acumulados. Por exemplo, 
representando por Pi a probabilidade de cada estado: 
(a) Sistema série: PUP = A = P1; PDN = U = P2 + P3 + P4 
(b) Sistema paralelo: PUP = A = P1 + P2 + P3; PDN = U = P4 
 
Figura 4. Estado de sucesso e falha para um sistema de dois componentes a dois estados. 
1.3.3. Frequência de residência 
Conhecidas as probabilidades limites dos estados, o próximo passo é determinar as 
frequências de residência nos diversos estados do sistema, que são obtidas através da equação 
(1.6). As taxas de entrada e saída para cada estado podem ser obtidas a partir do diagrama de 
espaço de estado, Figura 3, ou a partir da matriz de transição estocástica (1.8). As taxas são 
apresentadas na a seguir: 
 
 
 
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
Série Sucesso
Falha
Sucesso
Paralelo
Falha
11 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
Tabela 1. Taxas de entrada e saída dos estados. 
Estado Componente 1 Componente 2 Taxas de Entrada Taxa de Saída 1
out 
1 UP UP 1 2  1 2  
2 DN UP 1 2  1 2  
3 UP DN 2 1  1 2  
4 DN DN 1 2  1 2  
 
(a) Frequência de se encontrar o Estado 1: 
1 1 1
outf P   
Observando o espaço de estados, tem-se: 
1 1 2
out    
Portanto: 
1 2
1 1 1 1 2
1 1 2 2
 ( )
( )( )
outf P
 
  
   
    
 
 
Como a frequência de saída é igual à de entrada: 
1 2
1 21 31 2 1 3 2 1 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )( )
f f f P P
 
   
   
        
 
 
onde f21 é a frequência com que o sistema transita do estado 2 para o estado 1 e f31 é a 
frequência com que o sistema transita do estado 3 para o estado 1. 
 
(b) Frequência de se encontrar o Estado 2: 
2 2 2
outf P   
Observando o espaço de estados, tem-se: 
2 1 2
out    
Portanto, 
1 2
2 2 2 1 2
1 1 2 2
 ( )
( )( )
outf P
 
  
   
    
 
 
Como a frequência de saída é igual à de entrada: 
1 2
2 12 42 1 1 4 2 1 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )( )
f f f P P
 
   
   
        
 
 
12 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
onde f12 é a frequência com que o sistema transita do estado 1 para o estado 2 e f42 é a 
frequência com que o sistema transita do estado 4 para o estado 2. 
 
(c) Frequência de se encontrar o Estado 3: 
3 3 3
outf P   
Observando o espaço de estados, tem-se: 
3 1 2
out    
Portanto, 
1 2
3 3 3 1 2
1 1 2 2
 ( )
( )( )
outf P
 
  
   
    
 
 
Como a frequência de saída é igual à de entrada: 
1 2
3 13 43 1 2 4 1 1 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )( )
f f f P P
 
   
   
        
 
 
onde f13 é a frequência com que o sistema transita do estado 1 para o estado 3 e f43 é a 
frequência com que o sistema transita do estado 4 para o estado 3. 
 
(d) Frequência de se encontrar o Estado 4: 
4 4 4
outf P   
Observando o espaço de estados, tem-se: 
4 1 2
out    
Portanto, 
1 2
4 4 4 1 2
1 1 2 2
 ( )
( )( )
outf P
 
  
   
    
 
 
Como a frequência de saída é igual à de entrada: 
1 2
4 24 34 2 2 3 1 1 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )( )
f f f P P
 
   
   
        
 
 
onde f24 é a frequência com que o sistema transita do estado 2 para o estado 4 e f34 é a 
frequência com que o sistema transita do estado 3 para o estado 4. 
13 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
1.3.4. Tempo médio de residência 
Usando a definição de tempo médio de residência mostrada na equação (1.7), pode-se 
calcular o tempo médio de residência em cada estado como segue: 
1
1 1 2
1 1
out
m
  
 

 (1.14)
 
2
2 2 1
1 1
out
m
  
 
 
(1.15) 
3
3 1 2
1 1
out
m
  
 
 
(1.16) 
4
4 1 2
1 1
out
m
  
 
 
(1.17) 
 
Para um sistema série m1 representa o MTTF, já para um sistema em paralelo m4 será o 
MTTR, como se pode observar na Figura 5. 
 
Figura 5. Tempo médio de residência para um sistema de dois componentes a dois estados, série e paralelo. 
1.4. FREQÜÊNCIA ACUMULADA 
A avaliação da frequência e duração de estados individuais somente fornece uma 
informaçãoparcial para o problema da análise de confiabilidade. Os diversos estados do 
sistema devem ser combinados ou acumulados de maneira a fornecer, por exemplo, os estados 
de sucesso e de falha da sua operação. 
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
21
out
1
1
11
m




21
out
4
4
11
m




14 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
A probabilidade de residir em um desses estados acumulados pode ser avaliada 
simplesmente somando as probabilidades de cada estado apropriado, visto que são estados 
mutuamente exclusivos. Já para o caso da avaliação da frequência de se encontrar estados 
acumulados, é necessário eliminar as interseções, i.e., as frequências de transição entre os 
estados acumulados. 
Para ilustrar este processo considere o sistema da Figura 6 e avalie a frequência de se 
encontrar o estado acumulado resultante da combinação dos estados 3 e 4. 
 
Figura 6. Frequência acumulada de um sistema de dois componentes a dois estados. 
f34 = f3 + f4 – (frequência de encontros entre os estados 3 e 4) 
 = f3 + f4 – (P3 1 + P4 1 ) 
 = P3( 1 + 2 ) + P4( 1 + 2 ) – P3 1 – P4 1 
 = P3 2 + P4 2 
= (P3 + P4) 2 
O resultado anterior permite concluir que a frequência de se encontrar o estado 
acumulado 3 e 4 pode ser obtida considerando o número de transições através da fronteira em 
torno do estado acumulado. A Figura 7 a seguir apresenta as fronteiras para alguns estados 
acumulados possíveis. 
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
15 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
 
Figura 7. Fronteiras de estados acumulados de um sistema de dois componentes a dois estados. 
Exemplo: Achar as probabilidades de sucesso e falhar para o sistema da Figura 8, assim 
como a frequência de falhar e sucesso. 
 
Figura 8. Estados de falhar e sucesso sistema a 8 estados. 
PSucesso = P1 + P2 + P3 + P5 + P7 
PFalha = P4 + P6 + P8 + P9 
fSucesso = P3 x (λ34 + λ39) + P5 x (λ56 + λ58) + P7 x (λ78) 
fFalha = fSucesso 
1.5. DURAÇÃO DE ESTADOS ACUMULADOS 
O último passo na avaliação dos índices de frequência e duração é obter a duração 
média de residir em cada estado acumulado do sistema. A partir da equação (1.7) pode-se 
concluir que a duração média de qualquer estado acumulado é igual à razão entre a 
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
1
2
9
5
3
7
6
4
8
Sucesso
Falha
Fronteira
16 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
probabilidade de estar no estado acumulado e a frequência de se encontrar o estado 
acumulado. Para o sistema da Figura 9 abaixo, tem-se: 
 
Figura 9. Duração de Estado 4, sistema a 4 estados e 2 componentes. 
1 2
4 4 1 1 2 2
4
1 2 1 24 4 4 1 2
1 1 2 2
( )( ) 1
( )
( )( )
out
P P
m
f P
 
   
     
   
 
   
  
 
 (1.18) 
 
Para o sistema da Figura 10, tem-se: 
 
Figura 10. Duração de estados acumulados 4-3 sistema a 4 estados e 2 componentes. 
443 4 3 4 3
43
43 4 4 3 3 4 2 3 2
out out
P PP P P P P
m
f P P P P   
 
   
 
3
2 4 3( )P P  2
1


 (1.19) 
 
Para o sistema da Figura 11, tem-se: 
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
17 
 
©Agnelo Marotta Cassula 
 
Figura 11. Duração de estados acumulados 234 sistema a 4 estados e 2 componentes. 
432 4 3 2
432
432 4 4
out
P P P P
m
f P 
 
  4 3 2
3 2 2 13 3 2 2
out out
P P P
P PP P   
 

  
(1.20) 
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
432
1 2 1 2
2 1
1 1 2 2 1 1 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
m
     
           
   
 
       
 
     

  
   
 (1.21) 
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
432
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
( )( )
( ) ( )
( )( )
m
     
         
       
   
 
   
 
   
 
 (1.22) 
ou 
1
1
1 2 1 2 1 2
432 4 3 2 4 3 2 1 1 2 2
432
1 2432 1 1 1
1 2
1 1 2 2
( )( )
( )
( )( )
out
out
P
P P P P P P P
m
f f P

     
   
   
   
 
     
   

 
 
 
(1.23) 
 
Estado 3
1 UP e 2 DN 1
1
Estado 4
1 DN e 2DN
Estado 1
1 UP e 2 UP
2 22 2
Estado 2
1 DN e 2 UP
1
1
	1. Técnica da Frequência e Duração
	1.1. Influência da Frequência
	1.2. Frequência e Duração
	1.2.1. Desempenho Médio
	1.2.2. Frequência do Ciclo
	1.3. Frequência Individual
	1.3.1. Probabilidade limite dos estados
	1.3.2. Probabilidade de estados acumulados
	1.3.3. Frequência de residência
	1.3.4. Tempo médio de residência
	1.4. Freqüência Acumulada
	1.5. Duração de Estados Acumulados