Exercícios Aula 02 Representações de vetores no plano e espaço

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Exercícios 
 
 
1. Dados os pontos A (– 1, 2, 0), B (2, 0, – 2) e C (– 2, 1, – 1), determinar os módulos dos 
vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
2. Dados os pontos A (2, – 2, 0), B (–1, 1, 0) e C (0, 0, 1), determinar os vetores unitários 
das direções dos vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
3. Determine o vetor 
v
 sabendo que (7, 7, 2) + 2
v
 = (4, 10, -4) - 
v
 . 
a) (-1, 1, -2) 
b) (1, 1, 2) 
c) (2, 2, -2) 
d) (1, -1, 3) 
e) (0, 1, 2) 
 
 
 
4. Encontre os números a e b tais que 
w
 = a 
1v
 + b 
2v
 , sendo 
1v
 = (1, -2, 1), 
2v
 = (2, 0, 
-4) e 
w
 = (-4, -4, 14). 
 
a) a = 1 e b = -2 
b) a = 2 e b = -3 
c) a = -3 e b = 2 
d) a = 1 e b = -3 
e) a = 2 e b = 2 
 
 
 
5. Dado os pontos A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1) e os vetores 
u
 = (-2, -1, 1), 
v
 = (3, 0, -1) e 
w
 
= (-2, 2, 2), verifique se existem os números a, b e c, tais que: 
 
vcubABaw


 
 
 
a) a = 1, b = -2 e c = 3 
 
 
 
 2 
b) a = 2, b = -3 e c = -1 
c) a = 3, b = 1 e c = -1 
d) a = 3, b = -1 e c = -2 
e) a = 2, b = 1 e c = 2 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
 
1. Dados os pontos A (– 1, 2, 0), B (2, 0, – 2) e C (– 2, 1, – 1), determinar os módulos dos 
vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Solução 
Dados os pontos, os vetores são obtidos pela diferença das coordenadas entre os pontos 
extremidade e origem. 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ( ) ) ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ( ) ) ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ( )) ( ) 
Agora que determinamos os vetores, iremos determinar os módulos: 
 √ ( ) ( ) √ √ 
 √( ) ( ) ( ) √ √ 
 √( ) √ √ √ 
 
 
2. Dados os pontos A (2, – 2, 0), B (–1, 1, 0) e C (0, 0, 1), determinar os vetores unitários 
das direções dos vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Solução 
Primeiro precisamos determinar os vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ( ) ) ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ( ) ) ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ( ) ) ( ) 
 
Feito isto, determinaremos seus módulos 
AB ou | ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √( ) √ √ 
AC ou | ⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √( ) √ 
BC ou | ⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √ ( ) √ 
 
 
 
 
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Agora podemos determinar os vetores unitários das direções dos vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 ⃗ 
( )
 √ 
 (
 
 √ 
 
 
 √ 
 ) (
 
√ 
 
 
√ 
 ) 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 ⃗ 
( )
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 
 ⃗ 
( )
√ 
 (
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
) 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 ⃗ 
 
 
3. Determine o vetor 
v
 sabendo que (7, 7, 2) + 2
v
 = (4, 10, -4) - 
v
 . 
a) (-1, 1, -2) 
b) (1, 1, 2) 
c) (2, 2, -2) 
d) (1, -1, 3) 
e) (0, 1, 2) 
 
 
4. Encontre os números a e b tais que 
w
 = a 
1v
 + b 
2v
 , sendo 
1v
 = (1, -2, 1), 
2v
 = (2, 0, 
-4) e 
w
 = (-4, -4, 14). 
 
a) a = 1 e b = -2 
b) a = 2 e b = -3 
c) a = -3 e b = 2 
d) a = 1 e b = -3 
e) a = 2 e b = 2 
 
5. Dado os pontos A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1) e os vetores 
u
 = (-2, -1, 1), 
v
 = (3, 0, -1) e 
w
 
= (-2, 2, 2), verifique se existem os números a, b e c, tais que: 
 
vcubABaw


 
 
 
a) a = 1, b = -2 e c = 3 
b) a = 2, b = -3 e c = -1 
c) a = 3, b = 1 e c = -1 
d) a = 3, b = -1 e c = -2 
e) a = 2, b = 1 e c = 2