2017-1-AP1-AII-Gabarito

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Álgebra II
AP1 - Gabarito
Questão 1: (3,0 pontos) Considere o anel dos racionais (Q,⊕,�), onde:
a⊕ b = a + b− 2 e a� b = a + b− 1
2
ab
(a) (2,0 pontos) Verifique que o conjuntos dos inteiros pares é um subanel de (Q,⊕,�).
Observação: Determine incialmente o elemento neutro da adição e o simétrico de um
elemento qualquer a do anel
(b) (1,0 ponto) Considere agora o conjunto (Q,⊕,�), com
a⊕ b = a + b− x e a� b = a + b− yab,
onde x e y são números racionais diferentes de zero. Nesse caso, todos os 7 primeiros axiomas
de anel permanecem válidos. Mostre que o axioma 8 é válido se, e somente se, y =
1
x
.
Observação: Axioma 8: a� (b⊕ c) = (a� b)⊕ (a� c)
Solução:
(a) O conjunto dos inteiros pares é da forma
S = {2k; k ∈ Z} .
Para mostrarmos que S é um subanel basta garantirmos que é fechado para a ”subtração”
e para o produto Para isso, observe inicalmente que
• O elemento neutro da adição é o inteiro 2, pois a⊕ 2 = a + 2− 2 = a
• O simétrico do elemento a é −a + 4, pois a⊕ (−a + 4) = a + (−a + 4)− 2 = 2
Agora, sejam a = 2k1 e b = 2k2 dois elementos quaisquer de S.
• S1
a⊕ (−b) = a⊕ (−b + 4) = a + (−b + 4)− 2 = a− b + 2 =
2k1 − 2k2 + 2 = 2 (k1 − k2 + 1) = 2k
=⇒ a− b ∈ S
1
• S2
a� b = a + b− 1
2
ab = 2k1 + 2k2 − 122k12k2 = 2 (k1 + k2 − k1k2) = 2k
=⇒ a� b ∈ S
Conclusão: S é um subanel de (Q,⊕,�).
(b) Note que
a� (b⊕ c) = a� (b + c− x) = a + (b + c− x)− ya (b + c− x)
e
(a� b)⊕ (a� c) = (a + b− yab) + (a + c− yac)− x.
Dessa forma, tem-se que
a� (b⊕ c) = (a� b)⊕ (a� c)⇐⇒
a + (b + c− x)− ya (b + c− x) = (a + b− yab) + (a + c− yac)− x⇐⇒
yax = a⇐⇒ a (xy − 1) = 0.
Como a igualdade deve valer para quaisquer racionais a e b, então
a� (b⊕ c) = (a� b)⊕ (a� c)⇐⇒ xy = 1⇐⇒ y = 1
x
.
Questão 2: (2,5 pontos)
(a) (1,0 ponto) Prove que a função ϕ : Z30 → Z30 definida por ϕ(k) = 6k é um homo-
morfismo de anéis;
(b) (1,5 pontos) Determine o núcleo e a imagem de ϕ;
Solução:
(a) Se m,n ∈ Z30, então
• ϕ(m + n) = 6(m + n) = 6m + 6n = 6m + 6n = ϕ(m) + ϕ(n) .
• ϕ(m · n) = 6(m · n) = 36(m · n) = 6m · 6n = 6m · 6n = ϕ(m) · ϕ(n)
2
e, portanto, ϕ é um homomorfismo de anéis.
(b)
NÚCLEO
Temos que
m ∈ N(ϕ)⇐⇒ ϕ(m) = 6m = 0⇐⇒ 6m ≡ 0 : (mód 30)⇐⇒ m ≡ 0 : (mód 5)
Logo, N(ϕ) = {0, 5, 10, 15, 20, 25}.
IMAGEM
Note que
• ϕ(1) = ϕ(6) = ϕ(11) = ϕ(16) = ϕ(21) = ϕ(26) = 6
• ϕ(2) = ϕ(7) = ϕ(12) = ϕ(17) = ϕ(22) = ϕ(27) = 12
• ϕ(3) = ϕ(8) = ϕ(13) = ϕ(18) = ϕ(23) = ϕ(28) = 18
• ϕ(4) = ϕ(9) = ϕ(14) = ϕ(19) = ϕ(24) = ϕ(29) = 24,
ou seja, Im(ϕ) = {0, 6, 12, 18, 24}.
Questão 3: (2,0 pontos) Qual é o resto da divisão do polinômio P (x) = x100 por g(x) =
x2 − 1?
Solução: Note que
x100 =
(
x2 − 1
)
q(x) + r(x),
com gr(r(x)) ≤ 1, ou seja, r(x) = ax + b.
• Fazendo x = −1, obtemos
1 = (−1)100 = ((−1)2 − 1)q(−1) + a(−1) + b =⇒ −a + b = 1
• Fazendo x = 1, obtemos
1 = 1100 = (12 − 1)q(1) + a(1) + b =⇒ a + b = 1
3
Resolvendo o sistema, obtemos a = 0 e b = 1 e, portanto, r(x) = 1.
Questão 4: (2,5 pontos) Dados f(x) = 3x4− x3 + 2x2 + 3 e g(x) = 2x2 + 3x+ 1 polinômios
em Z7[x], determine q(x) e r(x) ∈ Z7[x] tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x) com r(x) = 0 ou
gr(r(x)) < gr(g(x)).
Solução:
3x4 −x3 +2x2 +3 2x2 + 3x + 1
−3x4 −x3 −5x2 5x2 + 6x
5x3 +4x2 +3
−5x3 −4x2 −6x
+x +3
Portanto, q(x) = 5x2 + 6x e r(x) = x + 3.
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