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Resistência Interna de Fontes e Força Eletromotriz Bruno Vecchi Jacqueline Karla Alves da Silva Vinícyus de Oliveira Martins Setor de Ciências Exatas - Departamento de Física – Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico – Jd. das Américas – 81531-990 – Curitiba – PR - Brasil e-mail 1: bv12@fisica.ufpr.br e-mail 2: jkas12@fisica.ufpr.br e-mail 3: vom12@fisica.ufpr.br Resumo. O objetivo deste trabalho foi determinar experimentalmente a força eletromotriz, o valor da resistência interna de uma fonte de tensão, utilizando como parâmetro de variação oito resistores, e verificar o teorema da máxima transferência de potência da fonte para a carga resistiva. Para a força eletromotriz e para a resistência da fonte, obtiveram-se os valores de 1,5458 V e 216,69 Ω, respectivamente, com um erro de 0,27% para a fem e 0,14% para a resistência interna. Ao verificar a condição de máxima transferência de potência, observou-se que este fenômeno ocorria quando os valores das resistências se igualavam, embora, mesmo tendo máxima potência, a eficiência do uso da fonte era apenas de 50%, visto que metade da potência gerada era dissipada em forma de calor diretamente na própria fonte. Contudo, pôde-se perceber que os resultados obtidos foram satisfatórios. Palavras chave: resistor, resistência, força eletromotriz, potência, Lei de Ohm, energia elétrica. Introdução Quando trabalhamos com circuitos elétricos, em alguns casos, precisamos de um dispositivo que mantenha uma diferença de potencial entre dois terminais, pois, caso não houvesse esta diferença de potencial, não haveria corrente elétrica circulando pelo circuito. Para este tipo de dispositivo, dá-se o nome de fonte de tensão. Uma fonte de tensão é um aparelho que, ao ser ligado a um circuito, submete os portadores de carga a uma diferença de potencial, isto é, fornece a energia para o movimento através do trabalho que realiza sobre os portadores de carga. É justamente o fato de executar trabalho sobre os portadores de carga que se mantém uma diferença de potencial entre os terminais. Esta “energia” produzida pela fonte de tensão é denominada força eletromotriz (ε), também conhecida como fem. A força eletromotriz de uma fonte de tensão é definida como sendo o trabalho que a fonte executa para transferir cargas do terminal de menor potencial para o terminal de maior potencial por unidade de carga, ou seja, dt dW (1) , onde, no SI, a unidade da força eletromotriz é o Joule por Coulomb, definido como Volt. Uma fonte de tensão pode ser caracterizada de dois tipos: fonte de tensão ideal e fonte de tensão real. Uma fonte de tensão ideal é aquela que não apresenta nenhuma resistência ao movimento interno das cargas de um terminal para outro. A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à sua força eletromotriz. Na fonte de tensão real, isto não ocorre. Dentro da fonte existem diversos materiais condutores, onde cada um deles produzem uma certa resistência ao movimento interno das cargas. Ao considerar a resistência provinda de todos os condutores internos à fonte, podemos defini-los como sendo um único resistor cuja resistência equivalente é igual à soma das resistências de todos os condutores. Com isso, uma idealização de uma fonte de tensão real seria considerá-la como sendo uma fonte de tensão ideal, mas com uma resistência interna (r). Então, quando uma fonte real não está ligada a um circuito, a diferença de potencial entre os terminais desta é exatamente igual ao valor de sua força eletromotriz. A partir do momento em que se conecta a fonte ao circuito, esta conduz uma corrente, fazendo com que a diferença de potencial nos terminais seja menor que a sua força eletromotriz. Figura 1 - Esquema de uma fonte de tensão real conectada a um circuito elétrico contendo um resistor externo (R). O objetivo do experimento é determinar o valor da resistência interna (r) da fonte de tensão e sua força eletromotriz. Para isso, aplicamos um método denominado método da conservação de energia para deduzir a relação entre a corrente elétrica que está passando pelo circuito, a força eletromotriz da fonte e as resistências interna e externa. Sabemos que RiV (2) , ViP (3) e 2RiP (4) Então, em um intervalo de tempo dt, uma energia dada por dtridtP 21 (5) e por dtRidtP 22 (6) é transformada em energia térmica no resistor R e r da figura 1 (dizemos que essa energia é dissipada). Durante um mesmo intervalo de tempo dt, uma carga dada por dtidq (7) atravessa a fonte de tensão, e o trabalho realizado pela fonte sobre a carga é dado pela equação (1), isto é, dtidqdW (8) De acordo com a lei da conservação de energia, o trabalho realizado pela fonte é igual à energia térmica dissipada nos resistores. Assim, dtRidtridti 22 (9) Manipulando a equação (9), temos dtiRrdti 2)( (10) Dividindo ambos os lados da equação (10) por dt, 2)( iRri (11) Ainda, dividindo ambos os termos de (11) por i e resolvendo a equação para i , obtemos iRr )( (12) rR i (13) A equação (13) nos dá a relação desejada entre i , , R e r . Então, numa fonte real, a diferença de potencial entre os dois terminais nunca será igual à força eletromotriz, pois, quando a corrente passa pelos resistores, o sistema perde potencial dado pelo negativo da equação (2). Assim, quando mais cargas resistivas houverem no circuito, maior será a diminuição do potencial provindo da força eletromotriz. Dada a relação (13), pede-se para determinar experimentalmente os valores de r e . Para isso, manipulamos a equação (13) de modo a deixar a resistência externa em função dos demais termos. Assim, r i R (14) Com a equação (14), mediante simples substituição de variáveis, podemos determinar uma relação linear entre os termos R e i . Então, como a equação de uma reta é dada por BAxy (15) substituímos os coeficientes e termos de (14) em (15), obtendo Ry (16) i x 1 (17) A (18) rB (19) Logo, ao plotar um gráfico (4) de R em função do inverso da corrente ( 1i ), linearizamos a equação (14). Aplicando o Método dos Mínimos Quadrados, encontramos os valores dos coeficientes A e B da equação (14), conforme queríamos. Procedimento Experimental Para a realização deste trabalho, foi montado um experimento utilizando os seguintes materiais: Placa para montagem do circuito elétrico; Fonte de tensão de fem =1,55V e resistência interna r = 217 Ω; Cabos do tipo “banana-banana” para conexão elétrica; Dois multímetros digitais; Interruptor; Oito resistores com resistências variando entre 10 Ω e 1KΩ. Em posse de todos os materiais citados, foi montado um circuito conforme o da figura (2). Com a fonte conectada ao circuito, fixaram-se dois pontos “A” e “V” nos quais foram colocados os dois multímetros digitais para fazer a leitura da tensão e da correnteque passava pelo circuito. Figura 2 - Circuito utilizado no experimento. Na posição “A”, foi colocado um multímetro na função amperímetro. Tal ponto foi escolhido devido à presença do resistor externo (R) e do interruptor, pois, com base em R, poderíamos determinar o valor da resistência interna da fonte e sua força eletromotriz medindo a corrente elétrica que fluía após sua passagem pelo resistor R devido ao fechamento do interruptor. Na posição “V”, foi colocado o segundo multímetro na função voltímetro. Escolheu-se esse ponto pois gostaríamos de determinar a queda de tensão no circuito como um todo mediante a variação do resistor externo. Assim, fechando o interruptor, mediu-se, através da leitura mostrada nos multímetros, os valores da tensão e da corrente relacionados com o resistor externo utilizado. Foram feitas medidas para os oito resistores e, de um modo geral, foi plotada a tabela (1), relacionando a queda de tensão e a corrente com cada resistor. Resultados e Análise Com o auxílio de um amperímetro de precisão igual a 1,0 10 -2 A e de um voltímetro de precisão igual a 1,0 10 -2 V, foram medidos os valores da corrente elétrica e da queda de tensão em cada resistor. Tais valores foram anotados e relacionados na tabela (1). Resistor Resistência (Ω) Corrente (A) Tensão (V) 1 22 6,490 x 10 -3 0,220 2 33 6,180 x 10 -3 0,270 3 68 5,450 x 10 -3 0,430 4 100 4,860 x 10 -3 0,540 5 220 3,550 x 10 -3 0,820 6 560 2,000 x 10 -3 1,130 7 800 1,500 x 10 -3 1,240 8 1000 1,280 x 10 -3 1,280 Tabela 1 - Relação entre a resistência externa, corrente e tensão. De posse dos valores da tabela (1), foi plotado o gráfico (1), o qual relaciona o comportamento da queda de tensão nos resistores em função da corrente elétrica que passa pelo circuito. Gráfico 1 - Relação entre a tensão e corrente. Podemos notar que esta relação entre a queda de tensão e a corrente no circuito é inversamente proporcional. Da equação (13), sabemos que a corrente diminui quando aumentamos os valores de R e aumenta quando diminuímos estes valores. Assim, substituindo (13) em (2), obtemos rR R V (20) Dividindo o numerador e o denominador de (20) por R, temos que R r V 1 (21) Assim, percebemos em (13) que quando ocorre o aumento do valor da resistência R (visto que r é constante), a intensidade da corrente elétrica decai. Em (19), vemos que quando R cresce, a tensão aumenta. Então, em relação à resistência externa, a queda de tensão e a corrente elétrica que passa pelos resistores são inversamente proporcionais. A necessidade de mostrar esta relação entre corrente e tensão decorreu somente para estudar como estas grandezas se comportam à medida em que varia-se o resistor externo. Dito isso, foram plotados dois gráficos (gráfico (2) e gráfico (3)), os quais evidenciam de uma maneira mais nítida esta relação entre tensão, corrente e resistência, comprovando o que foi comentado anteriormente. Gráfico 2 - Relação entre a queda de tensão e a resistência externa. Gráfico 3 - Relação entre a corrente e a resistência externa. A partir do gráfico (3), pôde-se encontrar uma maneira para determinar experimentalmente os valores da força eletromotriz e da resistência interna da fonte utilizada. Com isso, houve a necessidade de linearizá-lo, a fim de facilitar a sua análise e interpretação. Para fazer a linearização, foi criada uma tabela (2), relacionando os resistores com o inverso da corrente que passava por eles. Logo, teve-se Resistor Resistência (Ω) Corrente -1 (A-1) 1 22 154,0832 2 33 161,8123 3 68 183,4862 4 100 205,7613 5 220 281,6901 6 560 500,0000 7 800 666,6667 8 1000 781,2500 Tabela 2 - Relação entre a resistência externa e o inverso da corrente. Com os valores da tabela (2), foi plotado o gráfico (4), o qual evidencia um comportamento aparentemente linear da resistência em função do inverso da corrente. Gráfico 4 - Relação entre a resistência externa e o inverso da corrente. Baseando-se no comportamento do gráfico (4), foi aplicado o método dos mínimos quadrados, a fim de determinar a melhor reta que se ajustava à curva de pontos obtida. Após a aplicação do método e por meio das equações (14), (15), (16), (17), (18) e (19), pôde-se determinar o valor da força eletromotriz e o da resistência interna da fonte trabalhada. Tais valores foram anotados na tabela (3). Coeficiente Significado Valor A Força Eletromotriz 1,5458 B - (Resistência Interna) - 216,69274 Tabela 3 - Coeficientes provindos do MMQ. Logo, Item Valor Real Valor Obtido (Ajustado) Erro Relativo Percentual Força Eletromotriz 1,55 V 1,5458 V 0,27% Resistência Interna 217 Ω 216,69274 Ω 0,14% Tabela 4 - Comparação entre os valores medidos com os valores obtidos experimentalmente (ajustados). Ainda, pôde-se analisar um segundo item, o qual era verificar o teorema da condição de máxima transferência de potência da fonte para a carga resistiva. Para isso, criou-se um conjunto de dados relacionando a potência dissipada com cada resistor utilizado. Resistor Resistência (Ω) Potência Dissipada em R - Medida (W) 1 22 0,93 x 10 -3 2 33 1,26 x 10 -3 3 68 2,02 x 10 -3 4 100 2,36 x 10 -3 5 220 2,77 x 10 -3 6 560 2,24 x 10 -3 7 800 1,80 x 10 -3 8 1000 1,64 x 10 -3 Tabela 5 - Potência dissipada (medida) em cada resistor R. A tabela (5) foi montada utilizando os valores medidos diretamente nos multímetros (valores da tabela (1)). Para o cálculo da potência dissipada em cada resistor, foi utilizada a equação (4). Com os valores da tabela (5), foi plotado o gráfico (5), relacionando a potência dissipada no resistor externo com os respectivos resistores R. Gráfico 5 - Potência (medida) dissipada no resistor externo em função dos resistores externos. A fim de obter uma comparação entre os valores reais (valores medidos) com os obtidos experimentalmente (ajustados), criou-se a tabela (6). Na tabela (6) foram dispostos os valores das potências dissipadas (ajustadas) no resistor externo, isto é, com os dados obtidos por meio do processo de linearização do gráfico (4) – coeficientes A e B – foi determinada uma corrente elétrica ajustada em função de cada resistor R. E, com o valor desta corrente, apenas substituindo-o na equação (4), obteve-se o valor da potência ajustada no resistor. Resistor Resistência (Ω) Potência Dissipada em R – Ajustada (W) 1 22 0,92 x 10 -3 2 33 1,26 x 10 -3 3 68 2,00 x 10 -3 4 100 2,38 x 10 -3 5 220 2,76 x 10 -3 6 560 2,22 x 10 -3 7 800 1,85 x 10 -3 8 1000 1,62 x 10 -3 Tabela 6 - Potência dissipada (ajustada) em cada resistor R. A partir da tabela (6), foi plotado o gráfico (6). Observe que ser comportamento está muito próximo ao comportamento da curva do gráfico (5), mostrando satisfatoriedade nos resultados obtidos até então. Gráfico 6 - Potência (ajustada) dissipada no resistor externo em função dos resistores externos. Também, foi calculada a potência dissipada no resistor interno em função dos resistores externos. Com isso, foi montada a tabela (7) e, com estes valores, foi plotado o gráfico (7), conforme segue. Resistor Resistência (Ω) Potência Dissipada em r (W) 122 9,14 x 10 -3 2 33 8,29 x 10 -3 3 68 6,45 x 10 -3 4 100 5,13 x 10 -3 5 220 2,73 x 10 -3 6 560 0,87 x 10 -3 7 800 0,49 x 10 -3 8 1000 0,36 x 10 -3 Tabela 7 - Relação entre a potência dissipada no resistor interno e R. Gráfico 7 - Potência dissipada no resistor interno em função dos resistores externos. A partir das potências dissipadas nos resistores externos e no resistor interno, pôde-se determinar a potência total dissipada no circuito. Assim, foi constituída a tabela (8) e, também, plotado o gráfico (8) relacionado à estes dados. Resistor Resistência ( Ω) Potência Total Dissipada (Pint+Pext) (W) 1 22 10,05 x 10 -3 2 33 9,54 x 10 -3 3 68 8,46 x 10 -3 4 100 7,48 x 10 -3 5 220 5,50 x 10 -3 6 560 3,11 x 10 -3 7 800 2,29 x 10 -3 8 1000 1,99 x 10 -3 Tabela 8 - Potência total dissipada nos resistores. Gráfico 8 - Potência total dissipada nos resistores em função da resistência externa. Para uma melhor visualização, os gráficos relacionados às potências dissipadas foram postos num único gráfico (gráfico (9)). Gráfico 9 - Potências dissipadas em função da resistência. Analisando o gráfico (9), temos que a potência dissipada nos resistores externos (carga resistiva) é conhecida como potência útil, isto é, a potência provinda da fonte que realmente será utilizada (dissipada) pela carga que estiver no circuito. A potência dissipada no resistor recebe o nome de potência dissipada, pois está acaba sendo transformada em energia térmica dentro da própria fonte, sendo, portanto, inutilizada pelos demais elementos do circuito. Ainda interpretando as curvas do gráfico (9), percebemos que as curvas formadas pelas potências dissipadas nos resistores externos (medida e ajustada) possuem um ponto de máximo. Neste ponto ocorre um fenômeno interessante, a máxima transferência de potência da fonte para o resistor externo. Para determinar este ponto, substituímos a equação (13) em (4) e calculamos a sua primeira derivada, igualando-a a zero. Assim, temos: rR R rR RRiP 22 2 (22) Derivando (20): 0 )( )(2)( 4 2 2 rR rRRrR dR dP 0 )( 2 )( 1 32 2 rR R rRdR dP (23) Manipulando a equação (23): 3 2 2 2 )( 2 )( rR R rR Dividindo ambos os termos por 2 : 32 )( 2 )( 1 rR R rR Multiplicando ambos os membros por 2)( rR : rR R2 1 (24) Assim, multiplicando ambos os termos de (24) por rR : RrR 2 (25) Subtraindo R de ambos os lados da equação (25), obtemos, por fim: Rr (26) Isto significa que a máxima transferência de potência da fonte para a carga resistiva ocorrerá quando o valor da resistência externa assumir o mesmo valor da resistência interna da fonte. Então, analisando a curva descrita pela potência dissipada no resistor externo, temos que quando o valor de sua resistência é menor que o valor da resistência interna da fonte, esta é obrigada a gerar muita energia elétrica, onde boa parte desta energia é dissipada na própria fonte. Isto tem um efeito ruim, pois pode superaquecê-la, aumentando consideravelmente o consumo de energia (se for uma bateria ou pilha, ela acabará descarregando-se muito mais rápido que o normal), podendo danificá- la. Notamos que, pela equação (13), a corrente que passa pelo circuito é uma função inversamente proporcional ao valor da resistência externa. Como o valor dessa resistência está aumentando gradativamente, a corrente decai. Com a corrente caindo, a diferença de potencial nos resistores também decai. Logo, as potências dissipadas, tanto em R quanto em r, também deveriam cair. Entretanto, a potência dissipada no resistor externo cresce. Ela cresce, pois, neste intervalo, a maior parte da potência total gerada pela fonte está sendo dissipada no resistor interno, visto que r >R e, que a corrente, mesmo decaindo, é igual em ambos os resistores. Por isso, a dissipação de potência na resistência externa cresce, compensando a queda da corrente, fazendo com que a dissipação no resistor interno decaia mais rápido. Vemos ainda que a maior parte da potência gerada não é aproveitada pelos componentes resistivos do circuito, pois, sua maior parte é transformada em calor na própria fonte, sendo assim, “perdida”. Quando os valores das resistências são iguais, a corrente continua caindo, mas ainda assim é a mesma em ambos resistores. Com isso, a diferença de potencial nos resistores é a mesma, resultando numa igualdade entre as potências dissipadas. Com essa igualdade na dissipação, tem-se que a potência total gerada acaba sendo dissipada 50% em cada resistor. Embora tenha-se a máxima transferência de potência para o resistor externo, percebemos que a eficiência da fonte não é máxima. Isso é facilmente evidenciado ao ver a igualdade da dissipação das potências, onde metade da potência gerada foi dissipada na própria fonte em forma de calor. Assim, apenas 50% da potência gerada foi realmente aproveitada e utilizada pela carga resistiva. A partir do momento em que o valor da resistência externa é maior que o da resistência interna, vemos que a corrente decai de uma forma mais abrupta. Com isso, a diferença de potencial no resistor interno decaiu mais que a diferença de potencial no resistor externo. Como R é maior que r, a maior parte da potência gerada passou a ser dissipada no resistor externo. Portanto, ambas as curvas passaram a ter um comportamento decrescente, pois não houve mais a necessidade de compensar a queda da corrente como na situação em que a resistência interna tem um valor maior que a externa, visto que em r a potência decai muito mais rápido do que em R. Assim, podemos perceber que quando o valor do resistor interno à fonte for muito menor que o valor do resistor externo, quase toda a potência gerada pela fonte será efetivamente transferida e dissipada em R. Embora o resistor interno ainda dissipe uma fração da potência gerada, está é muito pequena ao ser comparada com a potência que foi dissipada no resistor externo, podendo assim ser desprezada. Conclusão O experimento realizado teve como objetivo principal determinar a força eletromotriz e a resistência interna de uma fonte de tensão real, além de verificar o teorema da máxima transferência de potência. A determinação da força eletromotriz e da resistência interna da fonte deu-se através da passagem de corrente elétrica em um circuito contendo uma resistência externa R. Com isso, medindo a corrente e a queda de tensão nos resistores, foi possível plotar um gráfico linear da resistência externa em função do inverso da corrente. Através deste gráfico foi possível determinar experimentalmente o valor da força eletromotriz da fonte utilizada no experimento e, também, o valor da resistência interna, obtendo 1,5458 V e 216,69 Ω. Ao comparar os valores ajustados graficamente neste trabalho com os valores medidos previamente com o auxilio dos multímetros para a confecção da tabela (1), obteve-se um erro relativo percentual de 0,27% para a força eletromotriz e de 0,14% para a resistência interna. Além disso, pôde-se demonstrarque a corrente elétrica que flui pelo circuito e a queda de tensão nos resistores são funções das cargas resistivas presentes neste. Como a força eletromotriz e o valor da resistência interna da fonte são fixas, teve-se que, com o aumento do valor da resistência externa, a corrente decaiu, enquanto a tensão mostrou ter um comportamento diretamente proporcional ao valor da resistência. Para verificar o teorema da máxima transferência de potência, foram plotados gráficos que relacionam as potências dissipadas nos resistores interno e externo com a variação dos resistores externos. Analisando estes gráficos, foi detectado um ponto em que a potência dissipada no resistor externo foi máxima. Este ponto ocorreu quando os valores das resistências foram igualadas, obtendo uma potência útil de ~5,50 x 10 -3 W. A fonte deveria acabar fornecendo toda a sua potência para o circuito e a dissipando por completo na carga resistiva. Entretanto, na prática, esta situação não ocorreu. Metade da potência total gerada pela fonte acabou sendo dissipada em forma de calor nela mesma, forçando-a a gerar energia elétrica. Para evitar esta perda de potência, aumentando a eficiência do uso da fonte, é aconselhável fazer com que a resistência interna da fonte seja quase nula, isto é, ao ser comparada com a resistência externa, a potência dissipada na fonte é desprezível. Assim, praticamente toda a potência gerada acaba sendo transformada em potência útil e sendo dissipada no resistor externo, tendo máxima eficiência. Portanto, quando trabalhando com sistemas eletrônicos, quer-se que a perda de energia seja a mínima possível. Faz-se, então, que o valor das resistências dos receptores sejam igualadas ao valor da resistência interna, aproveitando quase os 100% da potência gerada. De um modo geral, pôde-se concluir que os resultados obtidos foram satisfatórios. Referências [1] Fundamentos de Física, vol. 3: Eletromagnetismo/ Halliday, Resnick, Jearl Walker; tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. – Rio de Janeiro: LTC, 2009. [2] Nussenzveig, Herch Moysés – Curso de Física Básica – vol. 3: Eletromagnetismo. 4ª Edição – São Paulo: Edgard Blücher, 2002. [3] Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. – Lectures on Physics – vol. 2: Eletromagnetism and Matter – CALTECH, 1964.
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