2019-2 AD2-AII-Gabarito

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Álgebra II
AD2 - Gabarito
Questão 1: (5,0 pontos) Em cada um dos seguintes casos, verifique se o conjunto é um
grupo ou não.
(a) (3,0 pontos) G = {(a, b) ∈ R2; a 6= 0}, com a operação definida por (a, b) · (c, d) =
(ac, ad + b).
(b) (2,0 pontos) S1 = {a + ib ∈ C; a2 + b2 = 1}, munido da operação de produto de
números complexos.
Solução:
(a) Vamos verificar se valem as propriedades de grupo
• Associatividade: VALE
De fato, tem-se que
[(a, b) · (c, d)] · (e, f) = (ac, ad + b) · (e, f) = ((ac)e, (ac)f + (ad + b))
= (a(ce), a(cf + d) + b)) = (a, b) · (ce, cf + d) = (a, b) · [(c, d) · (e, f)]
• Elemento Neutro: VALE
O par ordenado (1, 0) satisfaz (a, b) · (1, 0) = (a1, a0 + b) = (a, b)(1, 0) · (a, b) = (1a, 1b + 0) = (a, b) .
• Elemento Inverso: VALE
Dado o par ordenado (a, b), seu inverso é
(
1
a
,− b
a
)
. De fato
(a, b) ·
(
1
a
,− b
a
)
=
(
a
1
a
, a
−b
a
+ b
)
= (1, 0)(
1
a
,− b
a
)
· (a, b) =
(
1
a
a,
1
a
b− b
a
)
= (1, 0)
.
1
Coclusão: (G, ·) é um grupo.
(b) Como o conjunto dos complexos é um grupo multiplicativo, basta verificar que o
ćırculo unitário é fechado para o produto e inverso. Ou seja, precisamos mostrar que
z, w ∈ S1 =⇒ zw−1 ∈ S1.
De fato, se z = a + ib e w = c + id são tais que a2 + b2 = 1 e c2 + d2 = 1, então
zw−1 = (a + ib)(c− id) = (ac + bd) + i(bc− ad)
e
(ac + bd)2 + (bc− ad)2 = a2c2 + 2acbd + b2d2 + b2c2 − 2bcad + a2d2
= a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = a2 + b2 = 1.
Coclusão: S1 é um grupo.
Questão 2: (5,0 pontos)
(a) (1,0 pontos) Dado um grupo G, mostre que (xy)−1 = y−1x−1, ∀x, y ∈ G.
(b) (2,0 pontos) Dado um grupo G, mostre que (xy)−1 = x−1y−1, ∀x, y ∈ G se, e somente
se, G é abeliano.
(c) (2,0 pontos) Dê exemplo de um grupo G e elementos x, y ∈ G tais que (xy)−1 6=
x−1y−1.
Solução:
(a) De fato, ∀x, y ∈ G, tem-se que
(xy)
(
y−1x−1
)
= x
(
yy−1
)
x−1 = xex−1 = xx−1 = e
(
y−1x−1
)
(xy) = y−1
(
x−1x
)
y = y−1ey = y−1y = e
e, portanto, (xy)−1 = y−1x−1.
(b)
Suponha, inicialmente, que G seja abeliano. Nesse caso, ∀x, y ∈ G, tem-se que
(xy)−1 = y−1x−1 = x−1y−1.
2
Suponha, agora, que (xy)−1 = x−1y−1, ∀x, y ∈ G. Dessa forma, caluclando os inversos
de ambos os lados tem-se que
(
(xy)−1
)−1
=
(
x−1y−1
)−1
=⇒ xy =
(
y−1
)−1 (
x−1
)−1
=⇒ xy = yx
e, portanto, G é abeliano.
(c) Seja G o grupo das matrizes reais 2 × 2 invert́ıveis, com a operação de produto e
considere os elementos
x =
 2 1
3 0
 , y =
 0 1
5 7

Nesse caso, temos
xy =
 5 9
0 3
 =⇒ (xy)−1 =
 15 −35
0 1
3

e
x−1 =
 0 13
1 −2
3
 , y−1 =
 −75 15
1 0
 =⇒ x−1y−1 =
 13 0
−31
15
1
5

Conclusão: (xy)−1 6= x−1y−1.
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