Atividade 3(A3)

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Uma fábrica de faróis para carros está reformulando o formato de um dos seus modelos. Com a reformulação, o novo modelo de faróis tem o mesmo volume de um sólido que está sob o parabolide z=x²+y², acima do plano xy e dentro do cilindro x²+y²=2x, em que as unidades de medida estão em centímetros. Na propaganda, a fábrica anunciou que esse novo modelo possui aproximadamente 4,7 cm³ de volume. Utilizando π=3,14, resolva as equações e justifique as respostas.
Solução: O limite da equação x²+y² = 2x.
 
(x -1)² + y²= 1
Temos que (x -1)² + y² = r² e x = rcosƟ, assim o limite fica r² = 2r cos Ɵ 
D= {(r, Ɵ) | -π/2 ≤ 0 ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2 cosƟ}
V= ∫∫ (x² + y²) dA= ∫π/2 ∫2 cosƟ r² r dr dƟ = ∫π/2 [r⁴/4] 2 cosƟ dƟ
 D -π/2 0 -π/2 0
= 4 = ∫π/2 cos⁴Ɵ dƟ = 8 = ∫π/2 cos⁴Ɵ dƟ = 8 = ∫π/2(1 + cos2Ɵ/2) ²dƟ
 -π/2 0 0
=2 ∫π/2 [1 + 2cos2Ɵ + ½ (1 + cos4Ɵ)] dƟ
 0
=2 [3/2 Ɵ + sen2Ɵ + ⅛ sen4Ɵ] π/2 = 2(3/2) (π/2) = 3 π/2
 0
V = 3 (3,1415/2) = 4,71238 = aproximadamente 4,7 cm³ de volume.