AP3-CIII-2015-1 (Gabarito)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – CA´LCULO III – 2015-1 (Gabarito)
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 Caso existam, calcule os seguintes limites:
(a) (1,5 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x2y3
2x2 + y2
;
(b) (1,5 ponto) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x+ y + z
3x+ 2y + z
.
Soluc¸a˜o:
(a) Como lim
(x,y)→(0,0)
x2y = 0 e ∣∣∣∣ y22x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 1
para todo (x, y) ∈ R \ {(0, 0)}, o teorema do sandu´ıche garante que
lim
(x,y)→(0,0)
x2y3
2x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
(x2y)
(
y2
2x2 + y2
)
= 0.
(b) Atrave´s da reta α(t) = (0, 0, t), com t ∈ R, o limite da requerida func¸a˜o e´
lim
t→0
0 + 0 + t
3 · 0 + 2 · 0 + t = limt→0
t
t
= 1.
Por outro lado, ao longo da reta β(t) = (0, t, 0), com t ∈ R, o limite da mesma func¸a˜o e´ dado
por
lim
t→0
0 + t+ 0
3 · 0 + 2 · t+ 0 = limt→0
t
2t
=
1
2
.
Assim, na˜o existe lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x+ y + z
3x+ 2y + z
.
CA´LCULO III AP3 2
Questa˜o 2 (2,0 pontos) Considere a superf´ıcie z2 = x2+y2+4, com z ≥ 0. Determine a equac¸a˜o
do plano tangente a esta superf´ıcie que e´ perpendicular a` reta
L = {(1, 2, 3) + t(1, 2, 4); t ∈ R}.
Soluc¸a˜o:
Escrevamos a equac¸a˜o da superf´ıcie como F (x, y, z) = 4, onde F (x, y, z) = z2 − x2 − y2. Assim,
∇F (x0, y0, z0) = (−2x0,−2y0, 2z0)
e´ um vetor normal ao plano tangente a` superf´ıcie no ponto (x0, y0, z0). Como o plano tangente
procurado deve ser perpendicular a` reta L, que tem (1, 2, 4) como vetor diretor, existe λ ∈ R tal que
(−2x0,−2y0, 2z0) = λ(1, 2, 4).
Da´ı, x0 =
−λ
2
, y0 = −λ e z0 = 2λ. Consequentemente,
z20 = x
2
0 + y
2
0 + 4 =⇒ (2λ)2 =
(−λ
2
)2
+ (−λ)2 + 4 =⇒ 11λ
2
4
= 4 =⇒ λ = 4√
11
,
lembrando que λ = z0
2
≥ 0. Da´ı,
(x0, y0, z0) =
( −2√
11
,
−4√
11
,
8√
11
)
e tambe´m
∇F (x0, y0, z0) = ∇F
( −2√
11
,
−4√
11
,
8√
11
)
=
(
4√
11
,
8√
11
,
16√
11
)
.
Assim, a equac¸a˜o do plano tangente procurado e´(
x+
2√
11
, y +
4√
11
, z − 8√
11
)
·
(
4√
11
,
8√
11
,
16√
11
)
= 0,
o que equivale a
4x√
11
+
8y√
11
+
16z√
11
= 8.
Questa˜o 3 (2,0 pontos) Utilizando o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange, determine os pon-
tos de ma´ximo e de m´ınimo da func¸a˜o
f(x, y, z) = (x+ 3)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2
sobre a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Soluc¸a˜o:
Ponhamos g(x, y, z) = x2+y2+z2 para cada (x, y, z) ∈ R3. Assim, pelo Me´todo dos Multiplicadores
de Lagrange, os pontos de ma´ximo e de m´ınimo da func¸a˜o f , sujeita a` restric¸a˜o g(x, y, z) = 1, devem
satisfazer
∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z)
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CA´LCULO III AP3 3
e g(x, y, z) = 1, para algum λ ∈ R. Da´ı,
(2(x+ 3), 2(y + 1), 2(z − 1)) = λ(2x, 2y, 2z)
implica x = 3
λ−1 , y =
1
λ−1 e z =
−1
λ−1 . Portanto,
g(x, y, z) = 1 =⇒ 9
(λ− 1)2 +
1
(λ− 1)2 +
1
(λ− 1)2 = 1 =⇒ (λ− 1)
2 = 11 =⇒ λ = 1±
√
11.
Logo, os pontos procurados sa˜o
P1 =
(
3√
11
,
1√
11
,− 1√
11
)
e
P2 =
(
− 3√
11
,− 1√
11
,
1√
11
)
.
Uma vez que
f(P1) =
(
3√
11
+ 3
)2
+
(
1√
11
+ 1
)2
+
(
− 1√
11
− 1
)2
e
f(P2) =
(
− 3√
11
+ 3
)2
+
(
− 1√
11
+ 1
)2
+
(
1√
11
− 1
)2
,
segue que f(P1) > f(P2). Da´ı, P1 e´ o ponto de ma´ximo e P2 e´ o ponto de m´ınimo do problema
proposto.
Questa˜o 4 (3,0 pontos) Seja f : R2 −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel e ponhamos
g(s, t) = f(s2 − t2, t2 − s2)
para cada (s, t) ∈ R2. Sabendo que
fx(0, 0) = 2 e fy(0, 0) = 3,
calcule gs(1, 1) e gt(−1, 1).
Soluc¸a˜o:
Ponhamos x(s, t) = s2 − t2 e y(s, t) = t2 − s2. Pela Regra da Cadeia, temos
gs(s, t) = fx(x(s, t), y(s, t))xs(s, t) + fy(x(s, t), y(s, t))ys(s, t)
= fx(x(s, t), y(s, t)) · (2s) + fy(x(s, t), y(s, t)) · (−2s).
Logo,
gs(1, 1) = fx(x(1, 1), y(1, 1))xs(1, 1) + fy(x(1, 1), y(1, 1))ys(1, 1)
= fx(0, 0) · 2 + fy(0, 0) · (−2)
= 2 · 2 + 3(−2)
= −2.
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CA´LCULO III AP3 4
Analogamente,
gt(s, t) = fx(x(s, t), y(s, t))xt(s, t) + fy(x(s, t), y(s, t))yt(s, t)
= fx(x(s, t), y(s, t)) · (−2t) + fy(x(s, t), y(s, t)) · (2t),
donde
gt(−1, 1) = fx(x(−1, 1), y(−1, 1))xt(−1, 1) + fy(x(−1, 1), y(−1, 1))yt(−1, 1)
= fx(0, 0) · (−2) + fy(0, 0) · 2
= 2 · (−2) + 3 · 2
= 2.
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