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Indaial – 2019 CálCulo DiferenCial e integral iii Prof.a Jaqueline Luiza Horbach Prof. Leonardo Garcia Santos 1a Edição Copyright © UNIASSELVI 2019 Elaboração: Prof.a Jaqueline Luiza Horbach Prof. Leonardo Garcia Santos Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial. Impresso por: H811c Horbach, Jaqueline Luiza Cálculo diferencial e integral III. / Jaqueline Luiza Horbach; Leonardo Garcia Santos. – Indaial: UNIASSELVI, 2019. 211 p.; il. ISBN 978-85-515-0347-8 1. Cálculo diferencial. – Brasil. 2. Cálculo integral. – Brasil. I. Santos, Leonardo Garcia. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. CDD 515.3 III apresentação Prezado acadêmico! Seja bem-vindo à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III. Neste livro continuaremos o estudo iniciado nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e II. No momento, adentraremos em um estudo com qual não estávamos acostumados. Deixaremos muitas vezes de trabalhar com o plano e estaremos voltados às discussões de funções no espaço, assim como explorado na última unidade do Cálculo Diferencial e Integral II. Outro ponto bastante peculiar desta disciplina serão as aplicações existentes no campo da física como base fundamental. Em diversos momentos verificaremos que antes do conceito físico a ser explorado, haverá uma contextualização e justificativa física para o conceito, algo que até então não era praticado nas disciplinas teóricas da matemática. Por exemplo, ao verificar o fluxo de um fluído escoando em um espaço limitado, poderemos conhecer, dado um ponto, a quantidade deste fluído que escoa por unidade de tempo. Para tal, iniciaremos compreendendo as influências da densidade e da velocidade do fluído para apenas na sequência, enunciarmos o conceito de “divergente de um campo vetorial”. Conceito este, riquíssimo em aplicações práticas e que possui uma matemática extremamente rigorosa por detrás. Este material fala mais especificadamente do Cálculo Vetorial e está dividido em três unidades. Na primeira unidade definiremos integral para funções de mais de uma variável. Em especial, as integrais duplas e triplas e suas respectivas mudanças de coordenada. Na Unidade 2 teremos uma introdução importantíssima para o estudo posterior do cálculo vetorial. Neste ponto abordaremos os conceitos básicos de curvas no plano e espaço e enunciaremos os principais campos vetoriais (e escalares) que serão necessários para os importantes teoremas que trataremos na Unidade 3. Unidade esta que trabalhará com aplicações do Cálculo na Área da Física e, em especial, nos casos em que as grandezas a serem estudadas sejam representadas por vetores. Sabemos, acadêmico, que para ter sucesso nesta disciplina é preciso disciplina, organização e um horário de estudos pré-definido. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita concentração e dedicação. Aproveitando esta motivação, iniciemos a leitura desde livro. A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico. IV Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material. Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo. Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão. Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade. Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos! NOTA Esperamos que ao final deste estudo, você consiga notar a evolução do seu entendimento matemático, e consiga aplicar estes conhecimentos na sua área de atuação. Desta forma, a disciplina pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes. Bons estudos! Prof.a Dra. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Me. Leonardo Garcia Santos V Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos! UNI VI VII UNIDADE 1 – INTEGRAIS MULTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS ............................................1 TÓPICO 1 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS ................................................................................................3 1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3 2 INTEGRAIS DUPLAS ...........................................................................................................................4 2.1 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS .............................................................................5 2.2 INTEGRAL DUPLA DE REGIÕES NÃO RETANGULARES ................................................... 11 3 INTEGRAL TRIPLA ............................................................................................................................. 20 3.1 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIÃO COM FORMATO DE UM PARALELEPÍPEDO .. 21 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 23 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 25 TÓPICO 2 – MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS .............................. 29 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 29 2 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DUPLA ................................................................. 30 2.1 COORDENADAS POLARES ......................................................................................................... 31 3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL TRIPLA ............................................................... 36 3.1 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS .................................................... 37 3.2 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS .......................................................... 41 RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 47 AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................49 TÓPICO 3 – APLICAÇÕES .................................................................................................................... 51 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 51 2 MASSA DE UM CORPO ..................................................................................................................... 51 3 CARGA ELÉTRICA ............................................................................................................................. 54 4 CENTRO DE MASSA .......................................................................................................................... 56 5 MOMENTO DE INÉRCIA .................................................................................................................. 61 LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 66 RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 70 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 71 UNIDADE 2 – INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO VETORIAL.......................................................... 73 TÓPICO 1 – FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS ............................................................................. 75 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 75 2 FUNÇÕES VETORIAIS ...................................................................................................................... 75 3 CURVAS ................................................................................................................................................. 79 3.1 CURVAS PARAMÉTRICAS EM 2 E EM 3. ............................................................................ 84 4 DERIVADA E INTEGRAL DE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ......... 89 4.1 RETA TANGENTE ........................................................................................................................... 93 4.2 COMPRIMENTO DE ARCO ......................................................................................................... 95 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 99 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................101 sumário VIII TÓPICO 2 – CAMPOS VETORIAIS .................................................................................................107 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................107 2 CAMPO VETORIAL ..........................................................................................................................107 3 GRADIENTE .......................................................................................................................................111 4 ROTACIONAL ...................................................................................................................................114 5 DIVERGENTE ....................................................................................................................................118 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................121 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................123 TÓPICO 3 – INTEGRAIS DE LINHA................................................................................................127 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................127 2 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES ..................................................................127 3 INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS ..................................................................132 LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................139 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................147 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................148 UNIDADE 3 – TEOREMAS DO CÁLCULO VETORIAL ..............................................................151 TÓPICO 1 – TEOREMA DE GREEN .................................................................................................153 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................153 2 TEOREMA DE GREEN ......................................................................................................................154 3 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA .....................................................................................................161 RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................165 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................166 TÓPICO 2 – TEOREMA DE GAUSS .................................................................................................169 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................169 2 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO ESCALAR .......................................................172 3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO VETORIAL .....................................................173 4 TEOREMA DE GAUSS......................................................................................................................176 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................183 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................184 TÓPICO 3 – TEOREMA DE STOKES ...............................................................................................187 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................187 2 TEOREMA DE STOKES ....................................................................................................................188 LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................198 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................208 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................209 REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................211 1 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de: • definir integral de múltiplas variáveis e funções vetoriais; • apresentar técnicas de mudança de variáveis; • conhecer as principais propriedades de funções vetoriais; • parametrizar curvas definidas por funçõesvetoriais; • calcular o gradiente de capôs escalares; • calcular o divergente, rotacional de campos vetoriais; • entender a motivação física de divergente e rotacional; • definir e calcular integral de linha de campos vetoriais; • conhecer os Teoremas de Green e Stokes e suas aplicações. Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS TÓPICO 2 – MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS TÓPICO 3 – APLICAÇÕES 2 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1 INTRODUÇÃO Ao longo da construção do conhecimento matemático, já era conhecido que problemas que envolviam medidas, ou ainda comprimentos, áreas e volumes vieram se aperfeiçoando ao longo dos anos. Vimos anteriormente que as integrais possibilitam um avanço substancial nestes casos, em que, por exemplo, calculamos áreas abaixo de curvas e volumes de superfícies de revolução. Já no Egito antigo, já se fazia necessário o cálculo de área de campos e volume de grãos. Porém, a ideia de integrais duplas e triplas começou a ser desenvolvida quando Gilles Personne de Roberval (1602-1675) usando o princípio de Cavalieri tentou calcular a área sob um arco da cicloide. Esse estudo de integrais duplas e triplas só foi aprofundado por Blaise Pascal (1623-1662) que calculou aproximações por somas triangulares (no caso de integral dupla) e piramidais (no caso de integrais triplas). Agora no Cálculo III, após conhecer os conceitos de derivadas parciais de funções de mais de uma variável real, em que podemos fixar uma das variáveis e realizar o processo de derivação em relação a uma delas apenas por vez, estenderemos este conceito, de modo análogo para integrais indefinidas, em que a integração pode ser realizada em cada variável de modo específico. Por exemplo, 4 3 2 2 3 2 . 4 = = + ∫ ∫ xx y dx y x dx y C Note que consideramos os valores de y como constantes e realizamos a integração em torno apenas da variável x. Este será o ponto central destes nossos primeiros conceitos. UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 4 em que f(x) é uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [a, b], é definida como sendo a área limitada abaixo da função f(x), acima do eixo X e lateralmente pelas retas x = a e x = b. O que será realizado é a extensão deste conceito para uma função de duas variáveis 2 INTEGRAIS DUPLAS Sabemos que o cálculo das integrais de uma variável é simbolicamente dado por ( ) , b a f x dx∫ 2: ,⊆ → f D contínuas na região D (compacta), como por exemplo, em nossas primeiras análises, no retângulo ( ){ }2, : e .= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤xyD x y a x b c y d GRÁFICO 1 – RETÂNGULO FONTE: Os autores Nas duas próximas subseções, estudaremos como calcular integral dupla e tripla de funções e algumas propriedades importantes sobre o assunto. x y TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 5 2.1 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RETÂNGULOS Vamos iniciar o estudo de integrais duplas sobre retângulos, considere então uma função de duas variáveis z = f(x, y), contínua e com domínio na região retangular compacta, [ ] [ ] ( ){ }2, , , : e .= × = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤xyD a b c d x y a x b c y d Suponha ainda que f é não negativa, ou seja, a superfície gerada por f está acima do plano XY. Definiremos integral dupla em alguns passos para facilitar o entendimento, porém, na prática, prezado acadêmico, você deve imaginar-se calculando o volume que está acima do plano XY e abaixo da superfície descrita por z = f(x, y). Inicialmente, devemos particionar a região do domínio retangular D, na direção do eixo X e do eixo Y, conforme descrito a seguir 0 1 1 0 1 1 e ,− −= < < …< < = = < < …< < =m m n na x x x x b c y y y y d respectivos aos intervalos [a, b] e [c, d]. Em seguida, o processo é formar retângulos [xi, xi+1] x [yj, yj+1] a partir das partições, formando uma quantidade de m · n retângulos de lados iguais a: 1 1 e .+ + − − ∆ = − = ∆ = − =i i j j b a d cx x x y y y m n Retomando o conceito de limites, sabemos que quando as quantidades m e n aumentam, os lados dos retângulos tendem a zero. Após este fato, tomaremos um ponto interno de cada um destes retângulos e calcularemos o valor da função z = f(x, y), ou seja, calcularemos zij = f (ui, vj). Como ui e vj representam conjuntamente um retângulo e o valor da função zij a “altura” da superfície em questão, podemos imaginar o produto zij = f (ui, vj) como sendo o volume de uma pequena fatia abaixo da superfície, conforme apresenta o gráfico a seguir. UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 6 GRÁFICO 2 – REPRESENTAÇÃO DA INTEPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA FONTE: Os autores O próximo passo é recorrer ao mesmo processo que utilizamos na interpretação da integral simples, o das somas de Riemann. Aqui, cada parcela f (ui, vj) · ∆x∆y, ao serem somadas, geram: ( ), 0 0 , . = = = ∆ ∆∑∑ n m m n i j i j S f u v x y Esta soma de Riemann trata-se de uma aproximação por falta ou por excesso do volume do sólido de base D (retângulo) e superfície descrita pela função f(x, y). Ao realizarmos o limite desta soma, teremos o volume real deste sólido e teremos definido este fato como sendo a integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo de área D, como mostrado a seguir: Sendo que o produto dxdy = dA é a área infinitesimal. ( ) , 0 0 0 lim , ( , ) → = = ∆ ∆ =∑∑ ∫∫ n m i jm n i j D f u v x y f x y dxdy A integral dupla reza as mesmas propriedades da integral simples. Dentre elas podemos destacar as propriedades de linearidade, aditividade e valor médio. NOTA TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 7 Obviamente, para calcular uma integral dupla (volume abaixo de uma superfície) não teremos que recorrer sempre ao processo das somas de Riemann. Desta forma, para este fim, verificaremos agora o dispositivo de cálculo necessário para esta resolução, o Teorema de Fubini. Teorema de Fubini Seja uma função f de duas variáveis, contínua no domínio retangular então em que, ( ){ }2, : e = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤xyD x y a x b c y d ( )( , ) , =∫∫ ∫∫ d b D c a f x y dxdy f x y dxdy ( ) ( ) ( ), , , . d b d b b d c a c a a c f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Note que a ordem em que a integral é calculada não modifica o resultado alcançado. Por este modo, o Teorema de Fubini é conhecido como o teorema das integrais iteradas. Neste processo, por exemplo, resolvemos a integral ( ), , b a f x y dx∫ mantendo temporariamente a variável y constante, e em seguida, integramos o resultado alcançado com relação a variável y, no intervalo [c, d]. Vamos analisar o cálculo de uma integral dupla resolvendo alguns exemplos. Exemplo: calcular a integral dupla, sobre o retângulo [0,1] x [0,1], e abaixo da superfície ( ) 2, .f x y xy= UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 8 Resolução: verificando o enunciado para este exemplo, temos que a integral dupla a ser resolvida será 1 1 0 0 ² .xy dxdy∫∫ Como a primeira integral a ser resolvida é com relação à variável x, iremos momentaneamente admitir a variável y como sendo uma constante, e assim sendo, teremos 1 1 2 0 0 y x dx dy ⋅ ∫ ∫ ou seja, primeiro resolveremos a integral interna aos colchetes do modo já verificado para as integrais simples 11 12 2 2 2 2 0 00 1 0 2 2 2 xy dy y dy ⋅ = − ∫ ∫ 1 2 0 . 2 y dy= ∫ Agora a integral só depende de y e resolvemos normalmente 11 2 00 1 1 ³ 1 . 2 2 3 6 yy dy = ⋅ = ∫ Procure calcular a integral, invertendo a ordem da integração, realizando: Note, que este fato só é possível com esta naturalidade (sem demais preocupações), pois a região do domínio de integração é um retângulo. IMPORTANT E 1 1 0 0 ² .∫∫xy dydx TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 9 Exemplo: calcular o volume do sólido S, acima da região retangular [0,1] x [0,1] e abaixo da superfícieplana x + y + z = 2. Resolução: observe, antes de resolvermos o exemplo em questão, o fato que estamos calculando um volume antes complicado de ser resolvido, de um modo mais tranquilo, através da integração dupla. Observe o gráfico a seguir que mostra graficamente a situação apresentada no exemplo. GRÁFICO 3 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DESCRITO NO EXEMPLO FONTE: Os autores A integral dupla para o caso é construída da seguinte forma 1 1 0 0 2 .x y dxdy− −∫∫ Para a sua resolução, utilizando o Teorema de Fubini, teremos 1 1 0 0 2 .x y dx dy − − ∫ ∫ Lembrando que devemos manter a variável y como constante e integrando em relação a x na primeira integral a ser resolvida, assim 11 12 0 00 32 . 2 2 xx xy dy y dy − − = − ∫ ∫ UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 10 Agora a função dentro da integral só depende de y e integramos normalmente 11 2 0 0 3 3 3 1 1. 2 2 2 2 2 y yy dy − = − = − = ∫ Exemplo: determinar o volume do sólido R, sobre o retângulo [–1,1] x [0,1], e abaixo da superfície cilíndrica z = 1 – x2. Resolução: para ilustrar, analisemos o gráfico: GRÁFICO 4 – REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DESCRITO NO EXEMPLO FONTE: Os autores Usando a definição de integral dupla e iniciando a integração pela variável y, temos que o volume é 1 1 2 10 1V x dydx − = −∫ ∫ 1 1 1 0 1 ² x dy dx − = − ∫ ∫ 1 2 1 1 0− = − ∫ y x y dx 1 2 1 1 .x dx − = −∫ TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 11 Integrando com relação a x, teremos 1 2 1 1 V x dx − = −∫ 13 13 xx − = − ( ) ( ) 311 41 1 . 3 3 3 − = − − − − = 2.2 INTEGRAL DUPLA DE REGIÕES NÃO RETANGULARES O próximo passo acadêmico é pensar em regiões que não são retangulares, como calculamos a integral dupla nesse caso. A ideia é recorrer à mesma teoria vista para as regiões retangulares. Deveremos tomar como base o fato de que a região D (não retangular) estará totalmente inscrita em um retângulo, conforme mostra o gráfico seguir. GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA EM UMA REGIÃO NÃO RETANGULAR FONTE: Os autores Por este motivo, podemos tratar este tipo de integral do mesmo modo da integral dupla vista anteriormente. Da mesma maneira, utilizaremos o Teorema de Fubini para o cálculo destas integrais, é claro que em uma visão um pouco mais geral e sendo a região D uma região dita “simples”, ou seja, com uma das direções do domínio fixada em valores fixos e a outra direção podendo variar ao longo de uma função. Serão dois casos importantes. UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 12 Região vertical simples Neste caso inicial, teremos uma região do domínio do tipo ( ) ( ) ( ){ }2 2 1, : e = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤xR x y a x b g x y g x em que g1, g2 são funções contínuas. O gráfico a seguir representa uma região vertical simples. Temos variação fixa em intervalo no eixo X e funções delimitando a variação no eixo Y. GRÁFICO 6 – REPRESENTAÇÃO DE UMA REGIÃO VERTICAL SIMPLES FONTE: Os autores A integral a ser resolvida fica da forma: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , . = ∫∫ ∫ ∫ x g xb R a g x f x y dxdy f x y dy dx Vamos entender como trabalhar com esse caso através de exemplos. Exemplo: calcular a integral dupla, sobre a função ( ) 2, ,f x y xy= em que o domínio é o quarto de círculo no primeiro quadrante ( ){ }2, : 0 1 e 0 1 ² .= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ −D x y x y x TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 13 Resolução: utilizando o Teorema de Fubini sobre a região vertical simples originada, teremos 2 21 1 1 1 2 2 0 0 0 0 x x xy dy dx x y dy dx − − = ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ 211 3 0 03 x yx dx − = ⋅ ∫ 1 3 2 2 0 1 1 . 3 x x dx = ⋅ ⋅ − ∫ Observe que para realizar a integral devemos utilizar o método da substituição. Considere u = 1 – x2, e assim sendo, du = –2x dx, ou seja, 1 1 33 2 22 0 0 1 11 3 6 = ⋅ ⋅ − = − ⋅ ∫ ∫x x dx u du 15 2 0 1 2 6 5 u = − ⋅ ( ) 15 2 2 0 1 2 11 . 6 5 15 x = − ⋅ − = Exemplo: calcular a integral dupla ( ) 3 3 D x y dA+∫∫ em que D é a região limitada pelas curvas y = x2 e y = 2x. Resolução: quando a região não está delimitada, devemos analisar o gráfico, observe que o gráfico é apresentado no gráfico a seguir. UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 14 GRÁFICO 7 – REPRESENTAÇÃO DO DOMÍNIO D FONTE: Os autores Em seguida, apesar de já estar claro na figura, devemos saber quais os pontos de intersecção das duas curvas, e para isso basta resolver a equação x2 = 2x, nesse caso encontramos os valores x = 0 e x = 2. Portanto, a região pode ser vista como vertical simples, cujo domínio será ( ){ }2, : 0 2 e ² 2 .= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤D x y x x y x Com o Teorema de Fubini, temos ( ) 2 2 22 2 2 2 3 3 0 0 33 2 xx x x yx y dy dx x y dx + = + ∫ ∫ ∫ ( ) ( )22 22 3 3 2 0 33 2 2 2 2 xx x x x x dx ⋅⋅ = ⋅ + − ⋅ −∫ 2 4 4 2 5 0 32 6 2 xx x x dx= + − −∫ ( ) 2 5 4 2 0 1 2 12 2 x x x dx= ⋅ − + +∫ 26 5 3 0 1 2 12 2 6 5 3 x x x = − + + 6 5 31 2 2 2 12 2 2 6 5 3 ⋅ ⋅ = − + + 1 64 32 12832 . 2 3 5 15 = − + + = TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 15 Exemplo (área a partir de uma integral dupla): calcular por integral dupla a área da região compreendida entre as curvas 2 2 16 2 4.x y e x y+ = + = Resolução: incialmente, devemos fazer a seguinte análise, a fim de compreender o dispositivo de cálculo que será utilizado neste exemplo, imaginemos uma função f(x, y) = 1, que se trata de uma superfície de altura constante igual a 1. Ora, todo prisma de altura igual é 1, possui volume numericamente igual a área da base, isto é ( ) 1 . D A D dA= ∫∫ Agora, com este conhecimento, determinaremos os limites para o domínio indicado. Para encontrar a região indicada primeiro isolando o y nas duas equações temos e 2 216 8 2 2 x xy −= = − 4 2 2 2 x xy −= = − agora encontramos os pontos de intersecção resolvendo a equação 216 4x x− = − 2 12 0,x x− − = por Bhaskara, encontramos as seguintes soluções x = –3 e x = 4 podemos observar isso no gráfico a seguir. UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 16 GRÁFICO 8 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DO EXEMPLO FONTE: Os autores Portanto, a região D pode ser descrita por: ( ) 2 2, : 3 4 e 2 8 2 2 = ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − x xD x y x y e pelo Teorema de Fubini, temos que a área é 2 2 84 42 3 32 2 8 21 2 2 − − −− − = − ∫ ∫ ∫ x x x dy dx y dx x 4 2 3 8 2 2 2 x x dx − = − − +∫ 4 2 3 6 2 2 x x dx − = + −∫ ( ) 4 3 1 34312 ² . 2 12 x x dx − = ⋅ + − =∫ TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 17 Exemplo: calcular a área, via integral dupla da região D, entre as curvas y = x2 e x = y2. Resolução: verificamos que as funções dadas não estão com a mesma variável como independente. Logo a função x = y2 será reescrita como y = √x. Os pontos de intersecção são x = 0 e x = 1. Desta forma, o Teorema de Fubini, para o cálculo desta área fica escrito como ( ) 2 1 1 2 0 0 1 x x dy dx x x dx = − ∫ ∫ ∫ 13 3 2 0 2 1 . 3 3 3 = − = xx Região horizontal simples Neste caso teremos uma região do domínio do tipo: ( ) ( ) ( ){ }2 1 2, : e = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤xR x y h y x h y c y d em que h1, h2 são funções contínuas. O gráfico a seguir representa uma região horizontal simples. Temos variação fixa em intervalo no eixo Y e funções delimitando a variação no eixo X. GRÁFICO 9 – REPRESENTAÇÃO DE UMA REGIÃO HORIZONTAL SIMPLES FONTE: Os autores A integral a ser resolvida fica da forma: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , , . = ∫∫ ∫ ∫ x h xd R c h x f x y dxdy f x y dx dy UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 18 Vamos entender como trabalhar com esse caso através de exemplos. Exemplo: calcular a integral dupla ( ) 3 3 D x y dA+∫∫ em que D é a região limitada pelas curvasy = x2 e y = 2x. Resolução: sabemos que o gráfico dessa região é GRÁFICO 10 – REPRESENTAÇÃO DO DOMÍNIO D FONTE: Os autores Podemos escrever o domínio da região acima, isolando o x e nesse caso encontramos ( ) 2, : e 0 4 . 2 = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ yD x y x y y Com o Teorema de Fubini, temos TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 19 ( ) 4 4 4 3 0 0 22 3 3 4 yy yy xx y dx dy yx dy + = + ∫ ∫ ∫ ( ) 4 4 4 0 23 3 4 4 2 y y yy y y dy = + − − ⋅∫ 4 32 4 2 2 0 33 4 64 2 y y yy dy= + − −∫ 4 32 4 2 0 5 3 4 64 y yy dy−= + −∫ 45 3 52 0 5 6 12 5 320 y y y = − + − 53 5 25 4 6 44 12 5 320 ⋅ = − + − 80 192 16 128 . 3 5 5 15 = − + − = ( ) 2 1 1 2 0 0 1 y y dx dy y y dy = − ∫ ∫ ∫ 13 3 2 0 2 1 . 3 3 3 = − = yy Observe que encontramos o mesmo resultado, mesmo com métodos diferentes. Exemplo: calcular a área, via integral dupla da região D, entre as curvas y = x2 e x = y2. Resolução: verificamos que as funções dadas não estão com a mesma variável como independente. Em vez de isolar o y como fizemos no caso anterior aqui, isolaremos o x, logo a função y = x2 será reescrita como x = √y e os pontos de intersecção são y = 0 e y = 1 Pelo Teorema de Fubini a área é UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 20 Podemos supor ainda que a região D pode ser decomposta em duas ou mais regiões simples. Do tipo vertical ou horizontal. Após isto, a integral dupla é calculada pela propriedade aditiva das integrais. NOTA ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , .= +∫∫ ∫∫ ∫∫ D D D f x y dA f x y dA f x y dA 3 INTEGRAL TRIPLA Para o estudo da integração tripla, para fins de simplificação, tomaremos como compreendidas as mesmas construções, definições e propriedades da integral dupla. Assim, temos por definição, que a integral tripla de f sobre uma região espacial R é dada por ( ), , ∫∫∫ R f x y z dV em que dV = dx · dy · dz é uma unidade infinitesimal de volume. Caso tenhamos f (x, y, z) = 1, estamos calculando o volume da região espacial R, assim como similarmente tinhamos uma propriedade para a integral dupla. NOTA TÓPICO 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS 21 3.1 INTEGRAL TRIPLA EM UMA REGIÃO COM FORMATO DE UM PARALELEPÍPEDO Dada uma função 3:f R ⊂ → , contínua e compacta, seguindo os seguintes pontos ( ){ }3, , : , , R x y z a x b c y d e z f= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ então a integral tripla de f sobre R é dada por: ( ), , fb d a c e f x y z dz dy dx ∫ ∫ ∫ e ainda, de modo idêntico o Teorema de Fubini se aplica, podendo-se permutar a ordem de integração. Exemplo: calcular a integral tripla da função f (x, y, z) = xyz, em que a região de domínio é dada por: ( ){ }3, , :1 2, 0 1, 1 2 .= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤R x y z x y z Resolução: a partir da região mostrada no exemplo, podemos afirmar que ela se trata de um paralelepípedo reto-retângulo, que pode ser notado como [1, 2] x [0, 1] x [1, 2], logo: 2 1 2 1 0 1 xyz dx dy dz − ∫ ∫ ∫ 22 1 2 12 1 0 1 01 3 2 2 x yz dy dz yz dy dz − = = ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ 12 22 1 10 3 3 9 . 2 2 4 8 y z dz z dz = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ Assim como nas integrais duplas, é possível também termos o cálculo de integrais triplas com regiões não retangulares, em que neste caso, as duas integrais calculadas incialmente possuem variação de acordo com funções de duas e uma variável, respectivamente e a última integral a ser calculada varia entre intervalo fixo. UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 22 Exemplo: calcular a integral tripla 2 2 2 R x y z dV+ +∫∫∫ em que R é delimitada pelos planos x + y + z = 2, x = 0, y = 0 e z =0 Resolução: para iniciar a resolução desta questão, vamos analisar o gráfico a seguir que exemplifica o caso. GRÁFICO 11 – REPRESENTAÇÃO DO EXEMPLO FONTE: Os autores Analisando os limites da região dada, verificamos que: ( ){ }3, , : 0 2 , 0 2 , 0 2R x y z x y x z x y= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ − − o que resulta na integral tripla a seguir, cujo resultado será obtido pelo Teorema de Fubini: 22 2 2 2 2 0 0 0 x yx x y z dz dy dx − −− + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 1 2 3 3 2 ² 3 x x y x y x y dy dx − = ⋅ − − ⋅ + + − − ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 0 1 82 2 1 . 3 5 = ⋅ ⋅ − − + =∫ x x x dx 23 Neste tópico, você aprendeu que: • Uma integral dupla é uma extensão do conceito da integração simples, e ainda: • Para integrais duplas de regiões não retangulares, podemos analisar o domínio segundo: ◦ Região vertical simples • Uma integral dupla, além do cálculo do volume abaixo de uma superfície, o cálculo de área de uma região D (domínio), através de: ◦ Região horizontal simples • A resolução de uma integral dupla é feita a partir do Teorema de Fubini: RESUMO DO TÓPICO 1 ( ) ( ), , .=∫∫ ∫∫ d b D c a f x y dxdy f x y dxdy ( ) ( ) ( ), , , . d b d b b d c a c a a c f x y dxdy f x y dx dy f x y dy dx = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , . = ∫∫ ∫ ∫ x g xb R a g x f x y dxdy f x y dy dx ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , , . = ∫∫ ∫ ∫ y h xd R c h x f x y dxdy f x y dx dy ( ) 1 . D A D dA= ∫∫ 24 • Uma integral tripla tem a forma: E é calculada por: ( ) , , . R f x y z dV∫∫∫ ( ), , . fb d a c e f x y z dz dy dx ∫ ∫ ∫ 25 Acadêmico, um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos sobre matrizes estudados neste tópico. 1 Calcular as integrais duplas: a) 2 Um dos primeiros princípios e utilizações para as integrais múltiplas é o cálculo de áreas e volumes de figuras e/ou sólidos os quais não possuem formatos usuais. Isso pode estar fortemente ligado à elaboração de uma peça em um processo produtivo, ao qual necessitamos saber qual é a quantidade de material utilizado ou qual o espaço exato que esta peça ocupará dentro de um componente. Considere a região delimitada por x = 2, x = 8, y = 2x + 2, y = 2x. Faça o que se pede: a) Construa no sistema cartesiano de coordenadas a região correspondente. b) Se esta região representa a área de uma peça de viscose talhada, calcule esta área por meio de uma integral dupla. 3 Assinale a opção que delimita o volume do tetraedro, dado pela intersecção do plano x + y + z = 1 e o primeiro octante. b) AUTOATIVIDADE ( ) 3 2 2 0 2 6xy dydx+∫∫ ( ) 3 4 1 2 40 2xy dydx−∫∫ 26 a) ( ) 1/6. b) ( ) 1/2. c) ( ) 1/3. d) ( ) 1/4. e) ( ) 1/5. 4 Define-se o valor médio de uma função sobre uma região R no espaço por • Maria afirma que a integral para o caso é: ( ) .= ∫∫∫m R V F F dV 0,5 24 0 0 8 2 4 x x y dydx − + − −∫ ∫ 2 42 0 0 8 2 4 y x y dxdy − + − −∫ ∫ Considerando a função F(x, y, z) = x. y. z, o valor médio de F sobre o cubo limitado pelos planos x = 4, y = 4 e z = 4, no primeiro octante é igual a? a) ( ) 512. b) ( ) 64/3. c) ( ) 64. d) ( ) 8. 5 Por integração dupla, a área da região limitada por y = x2 e y = √x, em unidades de área é igual a: a) ( ) 1/3. b) ( ) 2/3. c) ( ) 5/6. d) ( ) 7/6. 6 Maria e José estão discutindo a lista de exercícios de integrais duplas e triplas para calcular o volume do sólido S obtido a partir da intersecção das superfícies 2x + 4y + z = 8, z = 0, y = 0 e x = 0. • José afirma que a integral para resolver o caso é: 27 Em relação às soluções propostas por Maria e José, julgue a verdadeira: a) ( ) Maria está incorreta e José correto. b) ( ) Maria está correta e José incorreto. c) ( ) Ambos estão corretos. d) ( ) Ambos estão incorretos. 7 Considere a função f(x, y), e a região D no plano, delimitada pelas retas x = 0, x = 6 – y e a parábola y = x2, com x > 0. Assinale a opção que calcula o volume abaixo da superfície de f(x, y) e acima da região D. a) () b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) 22 0 6 , x x f x y dx dy − ∫ ∫ ( ) 2 2 6 3 , x x f x y dy dx − − ∫ ∫ ( ) 2 2 6 0 , x x f x y dy dx − ∫ ∫ ( ) 2 ² 36 , x x f x y dy dx − − ∫ ∫ 28 29 TÓPICO 2 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Acadêmico, você já estudou algumas técnicas de resolução de integrais no tópico anterior, porém existem integrais que precisam de técnicas mais elaboradas. O objetivo deste tópico é abordar a técnica de substituição de variáveis para resolver integrais duplas e triplas, dependendo das funções que estamos integrando, vamos usar uma substituição adequada. Quando estudamos a técnica de integrais simples por substituição, o que estamos realizando é uma mudança de variáveis para conseguir utilizar uma integral da tabela de primitivas. O que fazemos é tomar uma função [ ]: ,f a b → , contínua e [ ]: ,g c d → , derivável, sendo que g' é integrável e ainda g(c) = a e g(d) = b, para obter: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ´ . g d d g c c f x dx f g u g u du= ⋅∫ ∫ Para relembrar o processo, vamos utilizar o seguinte exemplo. Calcular a integral: Logo 1 0 1 ² .x dx−∫ Para resolver tal integral, devemos lembrar que se tomarmos f(x) = √1 – x2, 0 ≤ x ≤ 1, com a substituição x = g(u) = sen(u), obtemos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ² cos e ainda ´ cos , com 0 . 2 π = − = = ≤ ≤f g u sen u u g u u u ( ) 1 2 2 0 0 1 ² x dx cos u du π − =∫ ∫ UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 30 agora, sabendo que ( ) ( )( )2 1cos 1 cos 2 , 2 u u= + concluímos que ( )( ) 1 2 2 0 0 11 1 cos 2 2 x dx u du π − = ⋅ +∫ ∫ ( )21 .2 2 2 40 π π + = sen u u O próximo passo é deduzir o processo de mudança de variável para integrais com mais de uma variável. 2 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DUPLA Nesta seção a ideia é resolver as integrais duplas usando mudanças de variável, no primeiro momento, entenderemos como realizar o processo de mudança de variáveis na integração dupla de funções de várias variáveis. Em geral trabalharemos com duas variáveis f = f(x, y). Para funções de várias variáveis, devemos recorrer a uma transformação do tipo 2: ²T → , tal qual ( ) ( ) , : , x x u v T y y u v = = sendo que as funções, que chamaremos de “funções coordenadas”, x(u, v) e y(u, v), possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Além desta suposição inicial, deveremos considerar o Jacobiano que é definido pelo determinante das derivadas parciais de x e y em relação às novas variáveis u e v, ou seja, ( ) .u v u v x x J T y y = TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 31 Visto isto, definiremos para a mudança de variável de uma função com duas variáveis, a seguinte expressão ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , , , . xy uvR R f x y dxdy f x u v y u v J T dudv= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ Esta fórmula representa a mudança de variáveis, neste caso das coordenadas cartesianas, x e y, para qualquer outro referencial de coordenadas u e v. Sabemos também, que isto permite-nos uma série de tipos de troca de variável, porém, em algumas situações, não teremos grandes aplicações práticas deste processo, o que não é o objetivo deste material. Assim, exemplificaremos para este item, inicialmente, um tipo de troca de variáveis, bastante útil em diversos casos, que é a mudança para coordenadas polares. 2.1 COORDENADAS POLARES Antes de iniciarmos o processo de cálculo em si para a troca de coordenadas, devemos imaginar a seguinte questão: Estamos bastante acostumados, até o momento, a identificar um ponto no plano cartesiano, através de suas coordenadas (vertical e horizontal). No entanto, será que existe outra forma de conseguirmos localizar este ponto além dessa? A resposta é sim! Para tal, devemos informar a distância que este ponto se encontra da origem do sistema e ainda qual o ângulo formado entre o segmento de reta que liga este ponto à origem com o eixo das abscissas (eixo X). Note que o ponto localizado com um par (r, θ), ou seja, distância e ângulo, é único e assim sendo conseguimos tal localização. Analisando o gráfico a seguir, podemos notar que existe uma relação (transformação) para cada x e y, utilizando-se de novas variáveis (r, θ), conforme reza a regra que vimos anteriormente para a troca de variáveis. GRÁFICO 12 – REPRESENTAÇÃO DE COORDENADAS POLARES FONTE: Os autores UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 32 Note que a transformação que devemos considerar, já que podemos usar as formas trigonométricas do triângulo retângulo, é ( ) ( ) cos : . sen θ θ = ⋅ = ⋅ x r T y r A transformação inversa é dada por r2 = x2 + y2 e ( ) ytg x θ = . E para a transformação T temos o seguinte Jacobiano ( ) ( ) ( )( ) ( ) cos sen sen cos r J T r θ θ θ θ − ⋅ = ⋅ ( ) ( )2 2 .r cos r sen rθ θ= ⋅ + ⋅ = Deste modo, sempre que utilizarmos a mudança de variável de coordenadas retangulares (padrão) para coordenadas polares, teremos que substituir a área elementar dxdy por ( ) ,J T drd r drdθ θ= ⋅ assim como visto na fórmula para mudança de variáveis. Por fim, indica-se que esta mudança de variáveis é bastante útil para áreas e domínios que possuem similaridade com circunferências. A equação de uma circunferência é dada por x2 + y2 =r2. Acadêmico, não se esqueça da equação da circunferência, ela será muito útil nos cálculos em que utilizaremos a mudança para coordenadas polares. NOTA Exemplo: calcular a integral dupla ( ) 2 2 log . xyR x y dA+∫ ∫ TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 33 em que Rxy é a região delimitada pelos círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. Resolução: percebemos que esta integral dupla é uma séria candidata a utilização de coordenadas polares. Vejamos no gráfico a seguir a representação da região Rxy indicada. GRÁFICO 13 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO R xy FONTE: Os autores Perceba que a faixa que estamos interessados em analisar possui raio variando entre 1 e 2 e, por ser uma região do primeiro quadrante, o ângulo variando entre 0 e π/2. Sendo assim, a região Rxy quando transformada na região (já para coordenadas polares) Rrθ passa a ser ( ) 2, :1 2, 0 . 2r R r rθ πθ θ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ Logo, lembrando que x2 + y2 = r2 e a área elementar dA = r · drdθ, teremos uma nova visão da integral dupla, agora, em coordenadas polares: ( ) ( ) /2 2 2 2 2 0 1 log log . xyR x y dA r r drd π θ+ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ( ) /2 2 2 0 1 log .r r dr d π θ = ⋅ ∫ ∫ Agora, para a resolução desta integral interna, devemos lembrar o processo de cálculo por substituição simples, visto na disciplina de Cálculo II. Ou seja: UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 34 ²u r= 2 . 2 = = dudu r dr r dr Assim sendo ( ) ( ) 2 4 2 1 1 1log log 2 r r dr u du⋅ =∫ ∫ ( )( ) 4 1 log 1 2 u u = ⋅ − ( )( ) ( )( )4 1log 4 1 log 1 12 2 = − − − ( ) ( )1 32log 4 2 0 2log 4 . 2 2 = − − + = − Finalizando o cálculo da integral dupla ( ) ( ) ( ) /2 0 3 3 32log 4 2 log 4 log 4 .2 2 2 40 π π πθ θ π − = − ⋅ = ⋅ − ∫ d Caro acadêmico, você já percebeu que vamos utilizar muito o conceito de integração que estudamos na disciplina Calculo Diferencial e Integral I. UNI Exemplo: calcular a integral dupla 2 14 ² xyR x y dA− −∫ ∫ em que Rxy é a região delimitada pelos círculos 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9. TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 35 Resolução: observando que esta integral possui domínio delimitado por círculos, é interessante realizar a troca de variáveis para coordenadas polares, com raio variando entre 2 e 3 e ângulo de volta completa, ou seja, de zero a 2π. Devemos lembrar que x2 + y2 = r2. Então ( ) 2 3 2 0 2 14 ( ²) 14 ² . π θ− + = − ⋅∫ ∫ ∫ ∫ xyR x y dA r r drd Que resolvendo, temos 32 3 2 2 4 3 0 2 0 2 1414 2 4 r rr r drd d π π θ θ − = − ∫ ∫ ∫ 2 4 4 2 2 0 3 27 3 7 2 4 4 d π θ = ⋅ − − ⋅ − ∫ ( ) 2 0 8163 28 4 4 d π θ = − − − ∫ 22 00 81 81 81 . 4 4 2 ππ πθ θ = = = ∫ d Exemplo: calcular a integral dupla 2 2 xyR x x y dxdy+∫ ∫ em que Rxy é a região do primeiro quadrante delimitada pelos círculos 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4. Solução: observe que nesse caso o raio está variando entre 1 e 2 e o ângulo é um quarto de volta, ou seja, de zero a 2 π . Devemos lembrar que x2 + y2 = r2 e que x = rcos(θ), então ( ) 22 2 2 2 0 1 . π θ θ+ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫∫ xyR x x y dxdy r cos r r drd UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 36 Que resolvendo, temos ( ) ( ) 2 42 2 3 0 1 0 2 cos cos 4 1 rr drd d π π θ θ θ θ=∫∫ ∫ ( ) 42 0 2 1cos 4 4 d π θ θ = − ∫ ( ) ( ) 2 0 15 15cos 2 4 4 0 π π θ θ θ= =∫ d sen ( )15 15 150 . 4 2 4 4 sen senπ = − = Acadêmico, preste muito atenção na mudança de coordenadas cartesianas para polares para não perder informação. Sempre que possível, desenhe o gráfico da região em que você estiver integrado usando algum software como o Geogebra ou WolframAlpha. 3 MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL TRIPLA No caso de integrais triplas, a função a ser integrada é uma função de três variáveis, e da mesma forma que na seção anterior, fazer uma mudança de variável é essencial para conseguimos calcular mais facilmente algumas integrais triplas. Nessa seção estudaremos como fazer a mudança de variável para as integrais triplas. Para realizar o processo de mudança de variáveis na integração tripa, devemos recorrer a uma transformação do tipo 3 3: ,T → de uma forma totalmente análoga a mudança de variável na integral dupla, tal qual: ( ) ( ) ( ) , , : , , , , x x u v w T y y u v w z z u v w = = = TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 37 sendo que as funções, que chamaremos de “funções coordenadas”, x(u, v, w), y(u, v, w) e z(u, v, w), possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Além desta suposição inicial, deveremos considerar o seguinte Jacobiano (nova definição): ( ) . u v w u v w u v w x x x J T y y y z z z = Visto isto, definiremos para a mudança de variável de uma função com três variáveis, a seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , , , , , , , , , . xyz uvwR R f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A ideia é modificar a integral de forma que essa nova integral seja mais simples de ser calculada, quando estamos em três dimensões uma das mudanças de variáveis mais eficaz é a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. 3.1 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Para este tipo de mudança de variáveis, vamos considerar no plano a mudança de variável para coordenadas polares, já estamos em duas dimensões, e a altura z envolvida permanece inalterada. Desta forma, teremos a seguinte transformação para a mudança de coordenadas cilíndricas. ( ) ( ) ( )( ), , , , .θ θ θ=T r z rcos rsen z Lembre-se de que a transformação inversa é e .2 2 2r x y= + ( ) ytg x θ = Quanto ao Jacobiano, ele será exatamente o mesmo das coordenadas polares, dado por r, e desta forma, uma integral tripla, do tipo: ( ) , , R f x y z dV∫∫∫ UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 38 será calculada por ( ) ( ) ( )( ) , , , , θ θ θ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xyz r zR R f x y z dV f rcos rsen z r dzdrd ou seja, em coordenadas cilíndricas, o volume elementar dV será dado por r dzdrdθ. Acadêmico, lembre-se de que a integral tripla da função constante 1 é o volume do sólido, ou seja, NOTA .= ∫∫∫ D Volume dV Exemplo: calcular utilizando integral tripla, o volume de um cilindro de raio R e altura h. Resolução: seguindo o conceito visto para coordenadas cilíndricas, teremos extremos de integração para a integral tripla : 0 2 , 0 , 0 .r zR r R z hθ θ π≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ E assim: [ ] 2 2 0 0 0 0 0 0 R h R hr dzdrd r z drd π π θ θ= ⋅∫ ∫∫ ∫ ∫ 2 0 0 R h r drd π θ= ⋅∫ ∫ 2 2 0 0 2 R rh d π θ = ⋅ ∫ 2 22 . 2 R h R hπ π= ⋅ = ⋅ TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 39 Exemplo: utilize coordenadas cilíndricas para determinar a integral tripla D xy dV∫∫∫ em que a região D é limitada por x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1. Resolução: observando que a expressão x2 + y2 ≤ 1 é a região interna de um cilindro de raio 1, e tomando a altura variando de 0 até 1, temos a integral escrita, em coordenadas cilíndricas, como sendo: ( ) ( )( ) 2 1 1 0 0 0 D xy dV rcos rsen r dzdrd π θ θ θ= ⋅∫∫∫ ∫ ∫∫ lembre-se de que x = rcos(θ) e y = rsen(θ), logo ( ) ( ) 2 1 1 2 0 0 0 cos D xy dV r sen dzdrd π θ θ θ= ⋅∫∫∫ ∫ ∫∫ ( ) ( ) 2 1 2 0 0 1 cos 0 r sen z drd π θ θ θ= ⋅ ⋅∫ ∫ ( ) ( ) 2 1 2 0 0 cos r sen drd π θ θ θ= ⋅∫ ∫ ( ) ( ) 12 3 0 0 cos 3 r sen d π θ θ θ = ∫ ( ) ( ) 2 0 1 cos 3 sen d π θ θ θ= ∫ para calcularmos essa última integral, devemos usar a mudança de variável u = cos(θ) e como du = –sen(θ)dθ temos que 2 0 1 3D xy dV u du π = −∫∫∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 1 1 cos 3 2 6 0 0 u π π θ= − = − ( ) ( )2 21 1cos 2 cos 0 0. 6 6 π= − + = UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 40 Nesse caso a integral tripla pode ser igual a zero, pois não estamos falando de volume e sim simplesmente de integração. Exemplo: calcule a integral tripla D dxdydz∫ ∫ ∫ com D o conjunto x2 + y2 ≤ z ≤ 2 – x2 – y2. Resolução: observe que nesse caso a limitação de z também vai precisar ser modificada já que não temos constantes, mas sim funções que limitam z. Primeiro fazemos a integração em relação a z. 2 2 2 2 2− − + =∫∫∫ ∫∫ ∫ xy x y x y D D dxdydz dz dxdy 2 2 2 2 2 − − = +∫∫ xyD x y z dx dy x y 2 22 2 2 .= − −∫∫ xyD x y dxdy Vamos considerar 2 2 2r x y= + ( )cosx r θ= ( ) y r sen θ= observe também que x2 + y2 = 2 – x2 – y2 é uma circunferência de raio 1 e centro (0, 0), concluímos assim que o raio varia de 0 até 1 e que o ângulo varia de 0 até 2π. Assim, a integral tripla após a mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas fica ( )2 1 2 0 0 2 2 π θ= −∫∫∫ ∫ ∫ D dxdydz r rdrd 2 1 3 0 0 2 2 π θ= −∫ ∫ r r drd 42 22 0 0 1 1 02 2 π π θ θ= − =∫ ∫ rr d d 21 . 02 π θ π= = TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 41 Lembre-se, acadêmico, de que a mudança de variável é uma técnica de integração, você vai ter que decidir qual é a melhor técnica a ser usado para cada uma das integrais, quando temos um domínio que é uma circunferência ou parte a técnica de mudança de variável cartesiana para cilíndrica é muito recomendada. 3.2 INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS Outra técnica usada para integrais triplas é a mudança de coordenadas cartesianas para a esférica. Nesse caso a transformação usada é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , cos , , cos ,ρ θ φ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ=T sen sen sen ou seja, x = ρ sen(ϕ) cos(θ) y = ρ sen(θ) sen(ϕ) z = ρ cos(ϕ) ou ainda, 2 2 2x y zρ = + + yarctg x θ = 2 2 2 arccos z x y z φ = + + e cuja interpretação geométrica é dada no gráfico a seguir. GRÁFICO 14 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA MUDANÇA DE VARIÁVEL CARTESIANA PARA ESFÉRICA FONTE: Os autores UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 42 O Jacobiano dessa transformação é dado por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 cos cos cos cos cos . cos 0 φ θ ρ φ θ ρ φ θ φ θ ρ φ θ ρ φ θ ρ φ φ ρ φ − = + = − sen sen sen J T sen sen sen sen sen sen Ou seja, em coordenadas esféricas, a transformação se reduz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 , , cos , , cos ρθφ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xyzR R f x y z dV f sen sen sen sen d d d Vamos resolver algumas integrais triplas usando a mudança de variável cartesiana para esférica nos exemplos a seguir. Exemplo: (STEWART) Calcule a integral 2 2 2 ( )3/2 x y z D e dxdydz+ +∫ ∫ ∫ com D a bola unitária ( ){ }3 2 2 2, , : 1 .D x y z xy z= ∈ + + ≤ Resolução: como estamos trabalhando com uma esfera, teremos 0 1ρ≤ ≤ 0 2θ π≤ ≤ 0 φ π≤ ≤ 2 2 2 2x y zρ = + + GRÁFICO 15 – GRÁFICO ESFERA DE RAIO 1 FONTE: Os autores 1 1 –1 x y z TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 43 Então a integral fica ( )2 2 2 3/2 3 2 1 ( ) 2 0 0 0 π π ρ ρ φ ρ φ θ+ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫x y z D e dxdydz e sen d d d ( ) 3 2 1 2 0 0 0 .sen e d d d π π ρφ ρ ρ φ θ= ∫ ∫ ∫ Para resolvermos a primeira integral, vamos usar a mudança de variável u = ρ3 logo du = 3ρ2dρ, portanto 3 1 1 2 0 0 1 3 ue d e duρ ρ ρ =∫ ∫ ( ) 1 1 1 1 . 3 3 0 ue e= = − Assim ( ) ( )2 2 2 3/2 2 ( ) 0 0 1 1 3 π π φ φ θ+ + = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫x y z D e dxdydz e sen d d ( ) ( ) 2 0 1 1 cos 3 0 e d π π φ θ= − − ∫ ( ) 2 0 2 1 3 e d π θ= − ∫ ( ) ( ) 2 2 41 1 . 3 3 0 e e π πθ= − = − Exemplo: (STEWART) Determinar o volume do sólido que é interior à esfera x2 + y2 + z2 = z e ao cone ( )23 ² .z x y= + Resolução: para idealizar qual o volume estamos lidando, vamos inicialmente, analisar o gráfico a seguir. UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 44 GRÁFICO 16 – REPRESENTAÇÃO DO SÓLIDO DESCRITO NO EXEMPLO FONTE: Os autores Note que os dois sólidos se interceptam quando ( ) ( )2 2 2 23 ² 3 ²x y x y x y+ + + = + ( ) ( )2 2 24 3 ²x y x y+ = + ( ) ( )22 2 2 216 3x y x y+ = + ou seja, quando (x, y) = (0, 0) ou quando 2 2 3 16 x y+ = uma circunferência de centro (0, 0) e raio 3 4 , nesse caso, como estamos trabalhando com uma circunferência, temos que θ varia de 0 até 2π. Falta determinar a variação de ρ e ϕ, como 2 2 2x y z z+ + = fazendo a mudança de variável temos ( )2 cosρ ρ φ= ou seja, ( )cosρ φ= TÓPICO 2 | MUDANÇA DE VARIÁVEIS 45 concluímos assim que ρ varia de 0 até cos(ϕ). E, por último, temos que ( )2 23z x y= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2cos 3 cos 2 3 2ρ φ ρ φ π ρ π φ= +sen sen sen ( ) ( )2 2cos 3 senρ φ ρ φ= ( ) ( )cos 3 senρ φ ρ φ= ( ) 1 . 63 tg πφ φ= ⋅ = Desta forma, a integral tripla fica descrita como ( ) ( ) ( ) ( )cos2 2 36 6 2 0 0 0 0 0 cos 3 0 sen d d d sen d d π π φπ π φρρ φ ρ φ θ φ φ θ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 32 6 0 0 cos . 3 sen d d π π φ φ φ θ= ∫ ∫ Note que para resolvermos a integral ( ) ( ) 36 0 cos 3 sen d π φ φ φ∫ precisamos utilizar a substituição de variável, considere u = cos(ϕ) logo du = –sen(ϕ)dϕ e temos ( ) ( ) 3 36 6 0 0 cos 3 3 usen d du π π φ φ φ = −∫ ∫ ( )44 cos 6 12 12 0 πφ = − = − u UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 46 ( ) 4 44cos cos 0 1 3 16 12 12 12 2 12 π = − + = − + 9 1 7 . 192 12 192 = − + = Concluímos que o volume do sólido é ( ) ( ) cos2 26 2 0 0 0 0 7 192 sen d d d d d π φπ π ρ φ ρ φ θ φ θ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ 2 7 7 . 192 96 0 π πθ= = Acadêmico, a determinação dos limites de integração é de fundamental importância, cada sólido tem seus limites, preste muito atenção na hora de encontrá-los. NOTA 47 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu que: • A forma geral para a mudança de variáveis na integral dupla é dada por: • Para escrever uma integral dupla em coordenadas polares: Teremos: • Para a mudança de variáveis na integral tripla, devemos utilizar: • Nas coordenadas esféricas, utilizamos: • Nas coordenadas cilíndricas, utilizamos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , , , . xy uvR R f x y dxdy f x u v y u v J T dudv= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2: . θ θ θ = ⋅ = + = = ⋅ x r cos yT ou r x y e tg y r sen x Cujo Jacobiano é: ( ) ( ) ( )( ) ( ) cos sen . sen cos r J T r r θ θ θ θ − ⋅ = = ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , , , , , , , , , . xyz uvR R f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) , , , , . θ θ θ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xyz r zR R f x y z dV f rcos rsen z r dzdrd ( ) ( ) 2 , , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ρθφ ρ φ θ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ= ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xyzR R f x y z dV f sen cos sen sen cos sen d d d 48 em que ou ainda, e( ) ( ) cos ,x senρ φ θ= ( ) ( ) ρ θ φ=y sen sen ( ) cosz ρ φ= e2 2 2x y zρ = + + yarctg x θ = 2 2 2 arccos .z x y z φ = + + 49 Prezado acadêmico, chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e borracha em mãos e boa atividade! 1 Calcule as integrais duplas a seguir: a) 2 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas cilíndricas: 4 Escreva uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região formada por x = –2, x = 2, y > 0 e x2 + y2 = 4. 5 Calcular a área da região delimitada pelas curvas x2 + y2 = 9 e x2 + y2 = 1. 3 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas esféricas: b) a) a) b) b) AUTOATIVIDADE 22 2 2 2 0 0 x x y dy dx − +∫ ∫ 21 1 0 0 x x dy dx − ∫ ∫ 2 2 2 2 4 2 2 2 0 0 . x x y x y dz dy dx − + +∫ ∫ ∫ 211 2 2 1 0 0 . y x x y dz dx dy − − +∫ ∫ ∫ 2 2 2 , em que é o conjunto 0, 4. D x dxdydz D x x y z≥ + + ≤∫ ∫ ∫ 2 2 2 , em que é o conjunto1 4 e 0.≤ + + ≤ ≥∫ ∫ ∫ D z dxdydz D x y z z 50 6 Calcular o volume dado pela integral 7 Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 – x2 – y2. Em seguida, assinale a opção que apresenta este valor. a) ( ) π b) ( ) 4 π c) ( ) 2π d) ( ) 2 π e ( ) 4π 8 O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional. Efetuando a mudança para coordenadas cilíndricas ou esféricas, faça o que se pede: a) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z = –4 + x2 + y2 e z = 5. b) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 3 + x2 + y2 e z = 2. c) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 8 – x2 – y2 e z = –2. ( ) 2 2 2 2 4 0 0 . − +∫ ∫ x x ye dydx z y x (0, 0, 1) 0 D 51 TÓPICO 3 APLICAÇÕES UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Além de determinarmos os procedimentos de cálculo necessários para se trabalhar com as integrais múltiplas (duplas e triplas), um aspecto importante é o fato de trabalharmos com as aplicações possíveis para estes dispositivos de cálculo e análise. Neste tópico verificaremos algumas dessas aplicações. Um ponto importante a ser dito aqui, logo no início, é que focaremos nas aplicações das integrais duplas, tomando como conhecido que, para integrais triplas, os processos são análogos, porém, para aplicações que em alguns casos são mais trabalhosas de se representarem. Dentre as aplicações que estudaremos, teremos: cálculo da massa de um corpo (e sua respectiva densidade, se necessário), centro de massa, momento de inércia e cargas elétricas. 2 MASSA DE UM CORPO Vamos supor uma chapa (lâmina) acondicionada em uma região D do plano cartesiano, com densidade conhecida em qualquer um de seus pontos. A densidade será dada pela função δ(x, y), em que garante-se que ela seja contínua e integrável no intervalo considerado. Desta forma, definiremos a massa elementar por unidade de área, calculada por integração dupla como sendo δ(x, y)dxdy, sendo a massa total do corpo dada por ( ), .δ= ∫∫ D m x y dxdy Utilizando este procedimento, conseguimos determinar a massa de quaisquer chapas (lâmina) no plano. A única premissa inicial é o fato de possuirmos a função densidade do corpo antecipadamente. 52 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Exemplo: dada uma chapa de vértices situados no plano XY, nos pontos (0, 0), (4, 0), (0, 2) e (4, 2), formando um retângulo. Calcule a massa da chapa, em gramas, sabendo que a função densidade de massa por área em qualquer ponto P é δ(x,y) = 3xy. Resolução: a fim de calcular a massa desta chapa, utilizaremoso conceito de integração dupla e a fórmula vista anteriormente. Como o gráfico é um retângulo, podemos facilmente desenhar esta região. GRÁFICO 17 – REPRESENTAÇÃO DA CHAPA DADA NO EXEMPLO FONTE: Os autores Assim, temos que o conjunto D, é dado por ( ){ }2, : 0 4 e 0 2= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤D x y x y e a massa total é ( ), 3 δ= =∫∫ ∫∫ D D m x y dxdy xy dxdy 2 4 2 4 0 0 0 0 3 3 xy dx dy y x dx dy = = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 22 0 0 4 3 24 2 0 xy dy y dy= =∫ ∫ 2 2 24 48. 2 0 y = = TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 53 Assim, temos que a massa total da chapa é de 48 gramas. Exemplo: (GUIDORRIZI) Calcule a massa de um semicírculo de raio R, sendo a densidade superficial no ponto P proporcional à distância do ponto ao centro do círculo. Resolução: sabemos que a distância do ponto P = (x, y) ao centro da circunferência (podemos supor que o centro está sobre o ponto (0, 0)) é dado por R R (x, y) 2 2d x y= + assim a densidade superficial é ( ) 2 2,x y k x yδ = + com k a constante de proporcionalidade. Portanto, a massa é ( ) 2 2, δ= = +∫∫ ∫∫ D D m x y dxdy k x y dxdy vamos usar a mudança de variável polar r2 = x2 +y2, como estamos trabalhando com um semicírculo temos que 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ r ≤ R, logo 2 0 0 R m kr dr d π θ = ∫ ∫ 3 3 0 0 3 3 0 R r kRk d d π π θ θ= =∫ ∫ 3 3 . 3 3 0 kR k R π πθ= = 54 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Observe que no primeiro exemplo não usamos a mudança de variável cartesiana para polar, pois a integração segue de maneira simples, já no segundo exemplo fez-se necessário. 3 CARGA ELÉTRICA De modo análogo ao conceito anterior, vamos supor uma região D do plano cartesiano, com densidade, agora de carga elétrica conhecida em qualquer um de seus pontos. A densidade de carga será dada pela função δ(x, y), em que, garante-se também, que ela seja contínua e integrável no intervalo considerado. Desta forma, definiremos a carga elementar por unidade de área, calculada por integração dupla como sendo δ(x, y)dxdy, sendo a carga total do corpo, como sendo ( ), .δ= ∫∫ D q x y dxdy Exemplo: sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região D situada no retângulo de vértices (3,2), (0,2), (3,0) e (0,0) está associada a uma função densidade de carga definida por δ(x,y) = x2y, em coulomb por metro quadrado (C/m²). Calcule a carga total desenvolvida nesta região. Resolução: para calcular a carga total, sabemos que se deve analisar graficamente a região considerada. GRÁFICO 18 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO FONTE: Os autores Sendo assim, temos que a região D, é dada por ( ){ }2, : 0 3 e 0 2 ,= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤D x y x y TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 55 e a carga total é ( ) 2,δ= =∫∫ ∫∫ D D q x y dxdy x ydxdy 2 3 2 3 2 2 0 0 0 0 x y dx dy y x dx dy = = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 23 0 0 3 9 3 0 xy dy y dy= =∫ ∫ 2 2 9 9 2 18. 2 0 y = = ⋅ = Logo, a carga total na região D é de 18 coulombs. Exemplo: sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região triangular de vértices (0,0), (1,1) e (1,0) está associada a uma função densidade de carga definida por δ(x, y) = (x – x2)(y – y2), em coulomb por centímetro quadrado (C/ cm²). Calcule a carga total desenvolvida nesta região. Resolução: segundo os dados retirados do problema, temos que a região é ( ){ }2, : 0 1 e 0 ,= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤D x y x y x e a carga total é ( ) ( )( ) 1 2 2 0 0 ,δ= = − −∫∫ ∫∫ x D q x y dxdy x x y y dydx ( ) 1 2 2 0 0 x x x y y dy dx = − − ∫ ∫ ( ) 1 2 3 2 0 2 3 0 x y yx x dx = − − ∫ ( ) 1 2 3 2 0 2 3 x xx x dx = − − ∫ 1 3 4 5 0 5 2 6 3 x x x dx= − +∫ 56 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 4 5 6 1 1 1 1 8 6 18 8 6 18 0 x x x = − + = − + 9 12 4 1 . 72 72 − + = = Logo, a carga total na região D é de 1 72 coulombs. 4 CENTRO DE MASSA Através dos conceitos de resistência de materiais sabemos que simbolicamente o centro de massa de um corpo é um ponto (x,y) que centraliza teoricamente a massa de um corpo nele. Através de integração dupla, definimos centro de massa como sendo ( ) ( ) , , δ δ = = ∫∫ ∫∫ y D D x x y dxdy M x m x y dxdy e ( ) ( ) , . , δ δ = = ∫∫ ∫∫ x D D y x y dxdy My m x y dxdy Nesta relação, temos m a massa total do corpo, que já vimos o seu procedimento de cálculo anteriormente e Mx e My são os momentos do corpo com relação a cada um dos eixos orientados, x e y. Isso quer dizer, estamos respeitando o conceito físico que indica o fato de ser o centro de massa calculado pelo produto da massa pela distância em que esta massa está localizada. Neste centro de massa, teremos o ponto referência de equilíbrio do corpo. Teoricamente, seria como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele. Exemplo: inicialmente, calcule a massa e em seguida o centro de massa de uma chapa triangular de vértices (0,0), (0,2) e (1,0), em que sua função densidade é δ(x,y) = 1 + 3x + y. Resolução: representando o gráfico, temos: TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 57 GRÁFICO 19 – REPRESENTAÇÃO DA REGIÃO DADA NO EXEMPLO FONTE: Os autores Assim, notamos (realizando a equação da reta y = 2 – 2x) que a região é delimitada por: x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x. Logo a região a ser integrada é dada por ( ){ }2, : 0 1 e 0 2 2 .= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ −D x y x y x Deste modo, para a massa ( ) ( ), 1 3δ= = + +∫∫ ∫∫ D D m x y dxdy x y dxdy 1 2 2 0 0 1 3 x x y dy dx − = + + ∫ ∫ 1 2 0 2 2 3 2 0 x yy xy dx − = + + ∫ ( ) ( ) 21 0 2 2 2 2 3 2 2 2 x x x x dx − = − + − +∫ 1 3 2 0 1 44 4 4 3 0 xx dx x= − = −∫ 4 84 . 3 3 = − = 58 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Para os momentos, temos: ( ) 2, 3δ= = + +∫∫ ∫∫x D D M x y dxdy y xy y dxdy 1 2 2 2 0 0 3 x y xy y dy dx − = + + ∫ ∫ 1 2 2 3 0 2 2 3 2 2 3 0 x y xy y dx − = + + ∫ ( ) ( ) ( )2 2 31 0 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 x x x x dx − − − = + +∫ 1 3 2 2 2 3 0 8 24 24 82 4 2 6 12 6 3 x x xx x x x x dx− + − += − + + − + +∫ 1 3 2 0 14 106 2 3 3 xx x dx= − − +∫ 3 4 2 1 14 2 53 3 3 6 0 x x xx= − − + 14 2 5 113 . 3 3 6 6 = − − + = ( ) 2, 3 δ= = + +∫∫ ∫∫y D D M x y dxdy x x xy dxdy 1 2 2 2 0 0 3 x x x xy dy dx − = + + ∫ ∫ 1 2 2 0 2 2 3 2 0 x xyxy x y dx − = + + ∫ ( ) ( ) ( ) 21 2 0 2 2 2 2 3 2 2 2 x x x x x x dx − = − + − +∫ 1 2 2 3 2 3 0 2 2 6 6 2 4 2x x x x x x x dx= − + − + − +∫ 1 3 4 2 0 1 4 4 2 0 x x dx x x= − + = − +∫ TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 59 1 2 1.= − + = Assim segue que: e 11 e 1. 6x y M M= = Em que, finalmente, para o centro de massa, teremos: 1 3 8 8 3 yMx m = = = 11 116 .8 16 3 xMy m = = = Finalizando com o centro de massa no ponto: ( ) 3 11, , 8 16 x y = , como mostra o gráfico a seguir. GRÁFICO 20 – REPRESENTAÇÃO DO CENTRO DE MASSA RESULTANTE FONTE: Os autores ( ) 3 11, , 8 16 x y = () 311 ,, 816 xy = 60 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS Exemplo: (GUIDORRIZI) Calcule o centro de massa de um semicírculo de raio R, sendo a densidade superficial no ponto P proporcional à distância do ponto ao centro do círculo. Resolução: já sabemos que a densidade superficial é dada pela função e ( ) 2 2, x y k x yδ = + com k a constante de proporcionalidade e a massa é igual a 3 . 3 k Rπ Para determinar o centro de massa, precisamos calcular Mx e My, para isso, vamos usar novamente a mudança de variável cartesiana para polar x = rcos(θ) e y = rsen(θ) com 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ r ≤ R ( ) ( )3 0 0 , π δ θ θ= =∫∫ ∫∫ R x D M y x y dxdy k r sen dr d ( ) 4 0 4 0 R rk sen d π θ θ= ∫ ( ) 4 04 Rk sen d π θ θ= ∫ ( ) 4 4 cos 4 2 0 R kRk π θ= − = ( ) ( )3 0 0 , π δ θ θ= =∫∫ ∫∫ R y D M x x y dxdy k r cos dr d ( ) 4 0 4 0 R rk cos d π θ θ= ∫ () 4 04 kR cos d π θ θ= ∫ ( ) 4 sen 0. 4 0 Rk π θ= = TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 61 e Portanto, o centro de massa é 3 0 0 3 yMx k Rm π = = = 4 3 32 . 2 3 x kR M Ry k Rm π π = = = 5 MOMENTO DE INÉRCIA Sabemos do conceito físico de momento de inércia, de uma partícula de massa m, que ele é definido por mr2, em que r é a distância da partícula até o eixo de rotação desta partícula. Porém, este conceito é restrito para distribuições discretas de massa. Ao estender este conceito para uma distribuição contínua, como por exemplo, o momento de inércia de uma barra, uma chapa ou uma esfera, devemos conhecer a função que descreve a densidade do corpo δ(x,y), que deve ser contínua no intervalo considerado (região D do plano XY) e aplicando o conceito teórico de integração dupla, conforme veremos agora e trataremos como momento de inércia para uma distribuição contínua de massa: • O momento de inércia em torno do eixo x será determinado por: • O momento de inércia em torno do eixo y será determinado por: ( )2 , .δ= ∫∫x D I y x y dxdy ( )2 , .δ= ∫∫y D I x x y dxdy Se tratarmos do momento de inércia em torno da origem, que por vários autores é chamado de momento de inércia polar (ou do eixo z), teremos: 62 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS 0 x yI I I= + ( ) ( )2 2, ,δ δ= +∫∫ ∫∫ D D x x y dxdy y x y dxdy ( )2 2( ) , .δ= +∫∫ D x y x y dxdy Exemplo: calcular os momentos de inércia em x, y e z, referentes ao disco maciço D com densidade constante δ(x,y) = k, com centro na origem e raio de valor a. Resolução: teremos como delimitação para a região D. O círculo x2 + y2 = a2, que em coordenadas polares, teremos que D é descrito por ( ){ }2, : 0 e 0 2 .θ θ π= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤D r r a Calculando Ix, temos ( ) ( )( ) 2 22 0 0 , π δ θ θ= =∫∫ ∫ ∫ a x D I y x y dxdy k r sen r drd se considerarmos a mudança de variável cartesiana para polar y = r sen(θ), logo ( ) 2 4 2 0 4 0 x a rI k sen d π θ θ= ∫ ( ) 24 2 04 ka sen d π θ θ= ∫ como 2 sen2(θ) = 1 – cos(2θ) temos que ( ) 24 0 1 cos 2 8x kaI d π θ θ= −∫ ( )4 2 2 8 2 0 senka π θ θ = − 4 4 2 . 8 4 ka k aππ= ⋅ = TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 63 Assim, o momento de inércia em torno do eixo x é 4 4x k aI π= . Vamos calcular agora o momento de inércia em torno de y, Iy, temos ( ) ( )( ) 2 22 0 0 , π δ θ θ= =∫∫ ∫ ∫ a y D I x x y dxdy k r cos r drd se considerarmos a mudança de variável cartesiana para polar y = r cos(θ), logo ( ) 2 4 2 0 cos 4 0 y a rI k d π θ θ= ∫ ( ) 24 2 0 cos 4 ka d π θ θ= ∫ como 2 cos2(θ) = 1 + cos(2θ) temos que ( ) 24 0 1 cos 2 8y kaI d π θ θ= +∫ ( )4 2 2 8 2 0 senka π θ θ = + 4 4 2 . 8 4 ka k aππ= ⋅ = Assim, o momento de inércia em torno do eixo y também é 4 4y k aI π= . O fato que Ix = Iy é consequência da simetria de um disco e ainda pelo fato de que a densidade distribuída é constante. Como já possuímos Ix e Iy, para calcular o momento de inércia polar, basta somar estes resultados, então: 4 4 4 0 .4 4 2x y k a k a k aI I I π π π= + = + = 64 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS GRÁFICO 21 – REGIÃO DELIMITADA POR y2 = 4x, x = 4 E y = 0 FONTE: Os autores Vamos agora calcular os momentos de inércia ( ) 4 2 2 2 0 0 ,δ= =∫∫ ∫ ∫ x x D I y x y dxdy y dydx 4 4 33 2 0 0 2 8 3 3 0 x y dx x dx= =∫ ∫ 5 52 2 4 8 16 512 453 15 15 02 x = = = Portanto, o momento polar é 4 0 2 k aI π= . Exemplo: determine o momento de inércia Ix, Iy e I0 da região limitada pelas curvas y2 = 4x, x = 4 e y = 0 considerando a densidade igual a 1. Resolução: note que a região pode ser expressa como 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 2√x e é dada pelo gráfico a seguir. TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 65 e ( ) 4 2 2 2 0 0 ,δ= =∫∫ ∫ ∫ x y D I x x y dxdy x dydx 4 4 5 2 2 0 0 2 2 0 x x y dx x dx= =∫ ∫ 7 72 2 4 4 5122 4 .7 7 7 02 x = = = Como já possuímos Ix e Iy, para calcular o momento de inércia polar, basta somar estes resultados, então: 0 512 512 11264 . 15 7 105x y I I I= + = + = 66 UNIDADE 1 | INTEGRAIS MÚLTIPLAS E FUNÇÕES VETORIAIS LEITURA COMPLEMENTAR APLICAÇÃO PRÁTICA DE CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL EM UM BALÃO DE AR QUENTE Para realizar um estudo sobre o Cálculo, necessitaríamos de uma pesquisa muito extensa cujo resultado seria, sem dúvida, um texto longo que estaria além do propósito deste trabalho. O nosso intuito é o de apresentar um estudo que possa fazer com que o Cálculo seja melhor compreendido dentro do nosso cotidiano, e, para isso, nos aprofundamos em sua aplicação dentro de um dos interesses mais antigos do homem: o voo. Desde a mitologia grega até os tempos atuais o voo é um fascínio do homem. A história nos apresenta um astrônomo e matemático grego Archytas de Tarentum quem construiu o primeiro dispositivo capaz de “voar”, semelhante à asa de um pássaro, porém, o dispositivo não se mantinha muito tempo no ar, devido a ter apenas um impulso para alçar voo e permanecia planando no ar por um longo tempo. Esses voos proporcionaram muitas descobertas nos estudos realizados, e então, podemos acompanhar o filósofo, matemático, físico e inventor grego Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) em seu livro intitulado Sobre o Equilíbrio dos Corpos Flutuantes, que diz: Quando um corpo flutua em um fluido (líquido ou gás), seu peso é igual ao do fluido deslocado e, quando submerso, seu peso diminui daquela quantidade. Após isso, esse princípio passou a ser conhecido como o Princípio de Arquimedes (PA). Apesar de muito empenho naquela época, nenhum dispositivo que fosse capaz de transportar as pessoas no ar foi capaz de levantar voo. A primeira máquina voadora que alçou voo foi construída pelo cientista e inventor brasileiro, o padre secular Bartolomeu Lourenço de Gusmão (1685- 1724), que também precisou de uma longa jornada de tentativa e erro para que apenas em 03 de outubro de 1709, na ponte da Casa da Índia, fizesse uma nova experiência conseguindo elevar um balão, maior que os demais utilizados em outras ocasiões, porém ainda incapaz de carregar uma pessoa, e que flutuou por um tempo e pousou suavemente. O primeiro balão tripulado foi construído pelos irmãos Montgolfier, Joseph Michel (1740-1810) e Jaques Étienne (1745-1799). Em 5 de junho de 1783, eles exibiram um balão que tinha 32 m de circunferência, feito de linho e que foi cheio com fumaça de uma fogueira de palha seca, subindo cerca de 300 m, voou durante cerca de 10 minutos e pousou depois de percorrer uma distância em torno de 3 km. Como todas as descobertas da ciência, após as primeiras tentativas bem- sucedidas, pôde ser aprimorada e adaptada à várias situações, hoje encontramos lugares em que os passeios de balão acontecem e são perfeitamente dominados. TÓPICO 3 | APLICAÇÕES 67 Para compreender o desenvolvimento desta experiência é preciso se aprofundar nos estudos de Cálculo Integral, porém, é difícil descrever com precisão onde este se originou, muitos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento das técnicas e estudo das aplicações, alguns até não tão estruturados quanto outros. A conciliação das partes conhecidas e utilizadas, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais. Na Grécia havia um problema chamado quadraturas (A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas) eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas, nesse contexto, Arquimedes é novamente uma figura importante para solucionar essa questão, sendo uma das maiores contribuições para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C., trata-se de um teorema para a quadratura da parábola. Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica,
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