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prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 1 Equações Diferenciais Introdução Modelos matemáticos são criados para possibilitar o estudo de diversos fenômenos e sistemas. As características de um sistema são quantificadas por valores e equações ou inequações são utilizadas para descrever as relações entre elas. As equações diferenciais constituem-se em instrumento fundamental para modelagem de sistemas e solução de intrincados problemas de engenharia. Com auxílio de computadores, as equações diferenciais são muito utilizadas para simulação de sistemas dinâmicos. Referências 1. Stewart, J. Cálculo, vol. II. São Paulo: Pioneira, 2003. 2. Thomas, G. B. Cálculo, vol. II. São Paulo: Ao Livro Técnico, 1978. 3. Lang, S. Cálculo, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 1975. 4. Ayres JR, F. Cálculo Diferencial e Integral, 3ed, Makron Books, São Paulo, 1994. 5. Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. Vol. 4. Rio de Janeiro: LTC, 2004. (bibliofesurv: 2) 6. Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. Cálculo – com Aplicações. 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 1995. (bibliofesurv:1) 7. Hughes-Hallett, Deborah; Gleason. Andrew M. et al. Cálculo. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 1997. (bibliofesurv:1) 8. Silva, Patrícia Nunes da. Equações Diferenciais Ordinárias. UERJ. Disponível em http://www.ebah.com.br/uerj-equacoes-diferenciais-ordinarias-pdf-a22463.html 9. Elsgoltz, L. Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional. Editorial Mir 10. Bronson, Richard; Costa, Gabriel, Equações Diferenciais – Coleção Schaum, 3ed, Bookman Editora, São Paulo, 2008. prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 2 Conceitos Iniciais Denominam-se equações diferenciais aquelas equações que envolvem uma função incógnita e suas derivadas. Se a função incógnita for dependente de uma única variável independente, a equação é denominada de equação diferencial ordinária (edo). Como exemplos: dxyxdy )32()1 053)2 2 2 y dx dy dx yd x x y dx dy dx dy 2 )3 2 0)4 2 2 2 y dx dy dx yd 0)5 2 2 2 2 x y t y . As equações diferenciais podem ser classificadas quanto à ordem e ao grau. A ordem de uma equação diferencial é igual à ordem da maior derivada que ela contém. Quanto ao grau, uma equação diferencial terá o mais alto grau (expoente) de suas derivadas. Nos exemplos: 1 e 3 são de primeira ordem, 2 e 4 são de segunda ordem, 1 e 2 são de primeiro grau e 3 e 4 são de segundo grau. Apenas a equação do exemplo 5 não é ordinária, pois a função incógnita y é dependente das variáveis t e x. É considerada uma solução de uma equação diferencial a equação obtida com as variáveis, sem derivadas ou diferenciais, a partir da equação dada. A solução de uma equação diferencial pode ser geral (com um número de constantes arbitrárias essenciais igual à ordem da equação) ou particular (sem constantes arbitrárias). A forma de uma equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau é 0),(),( dyyxGdxyxF . A forma de uma equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau em que as variáveis são separáveis é 0)().()().( 1221 dyygxfdxygxf sendo sua solução geral obtida através de Cdyyg yg dx xf xf )( )(1 )( )(1 22 . prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 3 Outras Definições A definição a seguir foi obtida através do site www.ebah.com.br. Autora: Patrícia Nunes da Silva prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 4 EXEMPLOS 1. Mostrar que (a) y=2e x , (b) y=3x e (c) y=C 1e x +C2x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, são soluções da equação diferencial y”(1-x)+y’x-y=0. Resolução: a) Deriva-se y=2e x encontrando-se y’=2ex e y”=2ex. Substitui-se y, y’ e y” na equação diferencial y”(1-x)+y’x-y=0 obtendo-se 2e x (1-x)+2e x x-2e x =0 2e x -2e x x+2e x x-2e x =0 0=0 b) Derivando y=3x obtém-se y’=3 e y”=0 Substitui-se y, y’ e y” na equação diferencial y”(1-x)+y’x-y=0 0 (1-x)+3x-3x=0 0=0 c) Derivando y=C1e x +C2x obtém-se y’= C1e x +C2 e y”= C1e x Substitui-se y, y’ e y” na equação diferencial y”(1-x)+y’x-y=0 C1e x (1-x)+(C1e x +C2)x-(C1e x +C2x)=0 C1e x - C1e x x+C1e x x+C2x-C1e x -C2x=0 0=0 A solução dada em (c) é a solução geral da equação diferencial (onde estão presentes as constantes arbitrárias C1 e C2). Ela é a equação geral por satisfazer à equação dada e conter o número máximo de constantes arbitrárias (no caso, duas, já que a equação diferencial é de segunda ordem). As soluções (a) e (b) são soluções particulares, pois podem ser obtidas a partir de determinados valores atribuídos às constantes C1 e C2. Em (a) C1=2 e C2=0 e em (b) C1=0 e C2=3. prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 5 2. Formar a equação diferencial cuja solução geral é: (a) y=Cx 2 -x e (b) y=C1x 3 +C2x+C3 . onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, são soluções da equação diferencial y”(1-x)+y’x -y=0. Resolução: a) Derivando y=Cx 2 -x obtém-se y’=2Cx-1 De onde se obtém 𝐶 = 𝑦′+1 2𝑥 . Substituindo na equação y=Cx 2 -x resulta em 𝑦 = 𝑦′+1 2𝑥 𝑥2 − 𝑥. Daí 𝑦 + 𝑥 = 𝑦′ + 1 2 𝑥 2𝑦 + 2𝑥 = 𝑦′𝑥 + 𝑥 y’x=2y+x. b) Derivando y=C1x 3 +C2x+C3 obtém-se y’=3C1x 2 +C2 , y”=6C1x e y”’=6C1 . De onde se obtém 𝐶1 = 𝑦′′′ 6 e 𝐶1 = 𝑦′′ 6𝑥 . Substituindo na equação y=C1x 3 +C2x+C3 resulta no sistema { 𝑦 = 𝑦′′′ 6 𝑥3 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3 𝑦 = 𝑦′′ 6𝑥 𝑥3 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3 Fazendo a diferença entre a primeira equação e a segunda, obtém-se 𝑦′′′ 6 𝑥3 − 𝑦′′ 6 𝑥2 = 0. Daí: y’’=xy’’’ Autor: Frank Ayres Jr prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 6 EXERCÍCIOS Nos exercícios a seguir, mostrar que a equação (a) expressa uma solução da equação diferencial (b). 1) (a) y =5ex (b) dy/dx=y 2) (a) y=sen5x (b) d2y/dx2=-25y 3) (a) y=5ex (b) (d2y/dx2)(1-x)+ (dy/dx)x=y 4) (a) y=5x (b) (d2y/dx2)(1-x)+ (dy/dx)x=y 5) (a)y=Cex+Kx (b) (d2y/dx2)(1-x)+ (dy/dx)x=y 6) (a) y=5x (b) y’x-y=0 7) (a) y2=x2+2 (b) y’y=x 8) (a) (x+1)(y-1)=2 (b)dy/dx=(1-y)/(1+x) 9) (a) 3 2 5 x ey (b) dy/dx=-(2/3)y 10) (a) (1/y)=x+1+2ex (b) y’+y=xy2 11) (a) 3 4 3 1 xey (b) y’-3x2y-x2=0 12) (a) 4 2 2 2 x x y (b) x x y dx dy 2 13) (a) y=9e-3x+5e3x-(5/9) (b) y’’=9y+5 14) (a) 𝑦 = ( 3 2 𝑥2 + 5) 1 3 (b) xdx-y2dy=0 prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 7 Soluções de Equações Diferenciais Após conhecer as equações diferenciais e identificar se uma expressão é solução ou não, se estudará como obter soluções de equações diferenciais. Autora: Patrícia Nunes da Silva prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 8 Autora: Patrícia Nunes da Silva prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 9 Autora: Patrícia Nunes da Silva Exemplo 1 Resolver 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑦 𝑥Separam-se as variáveis 𝑑𝑦 𝑦 = − 𝑑𝑥 𝑥 É necessário integrarem-se ambos os lados ∫ 𝑑𝑦 𝑦 = ∫− 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑦 = − ln 𝑥 + 𝐶1 ln 𝑦 + ln 𝑥 = 𝐶1 ln 𝑥. 𝑦 = 𝐶1 𝑥𝑦 = 𝑒𝐶1 Fazendo C=e C1 𝑥𝑦 = 𝐶 𝑦 = 𝐶 𝑥 prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 10 Exemplo 2 Resolver 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥√𝑦 − 1 Separam-se as variáveis 𝑑𝑦 √𝑦 − 1 = 2𝑥𝑑𝑥 É necessário integrarem-se ambos os lados ∫ 𝑑𝑦 √𝑦 − 1 = ∫2𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 (𝑦 − 1) 1 2⁄ = ∫2𝑥𝑑𝑥 ∫(𝑦 − 1)− 1 2⁄ 𝑑𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥 Integração por substituição resulta em 2√𝑦 − 1 = 𝑥2 + 𝐶 Ambos os membros ao quadrado 4(𝑦 − 1) = (𝑥2 + 𝐶)2 Isolando y 𝑦 = (𝑥2 + 𝐶)2 4 + 1 Exemplo 3 Resolver 𝑦′ = − (1 + 𝑥)𝑦 (1 − 𝑦)𝑥 Separam-se as variáveis 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − (1 + 𝑥)𝑦 (1 − 𝑦)𝑥 (1 − 𝑦)𝑑𝑦 𝑦 = − (1 + 𝑥)𝑑𝑥 𝑥 É necessário integrarem-se ambos os lados ∫ (1 − 𝑦)𝑑𝑦 𝑦 = ∫− (1 + 𝑥)𝑑𝑥 𝑥 ∫( 1 𝑦 − 1)𝑑𝑦 = −∫( 1 𝑥 + 1)𝑑𝑥 ln y – y = -ln x – x +C ln y + ln x + x – y = C ln xy + x – y = C prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 11 Exemplo 4 Resolver x dx + y dy =0 Separam-se as variáveis y dy = -x dx É necessário integrarem-se ambos os lados ∫𝑦 𝑑𝑦 = −∫𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 2 = − 𝑥2 2 + 𝐶1 Multiplicando por 2 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝐶1 Fazendo C=2C1 𝑥2 + 𝑦2 = 𝐶 Que é a equação das circunferências com centro na origem do plano xy. Exemplo 5 Resolver 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥 As variáveis já estão separadas, portanto integram-se ambos os membros ∫ 𝑑𝑦 𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 ln y = ln x + C1 ln y - ln x = C1 ln y/x = C1 y/x = e C1 Fazendo C= e C1 y =Cx prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 12 Exemplo 6 Resolver x(1+y 2 )dx – y(1+x 2 )dy=0 Separam-se as variáveis 𝑦𝑑𝑦 (1 + 𝑦2) = 𝑥𝑑𝑥 (1 + 𝑥2) É necessário integrarem-se ambos os lados ∫ 𝑦𝑑𝑦 (1 + 𝑦2) = ∫ 𝑥𝑑𝑥 (1 + 𝑥2) Integração por substituição resulta em ln (1+y 2 ) = ln (1+x 2 ) + C1 ln(1 + y2) − ln(1 + 𝑥2) = 𝐶1 ln (1 + y2) (1 + 𝑥2) = 𝐶1 (1 + y2) (1 + 𝑥2) = 𝑒𝐶1 Fazendo C= e C1 (1 + y2) = 𝐶(1+ 𝑥2) 𝐶1 Exemplo 7 Resolver 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 4𝑡√𝑥 Separam-se as variáveis 𝑑𝑥 √𝑥 = 4𝑡 𝑑𝑡 𝑥− 1 2 ⁄ 𝑑𝑥 = 4𝑡 𝑑𝑡 2𝑥 1 2 ⁄ = 4 𝑡2 2 + 𝐶1 2√𝑥 = 2 𝑡2 + 𝐶1 Dividindo por 2 √𝑥 = 𝑡2 + 𝐶1 2 Fazendo 𝐶 = 𝐶1 2 √𝑥 = 𝑡2 + 𝐶 prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 13 EXERCÍCIOS Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir. 1) y’=y 2) 0 x dx dy y 3) 0 y dx dy x 4) x dx y dy 11 5) ay dx dy 6) 02'3 3 xyy 7) y x y y x 2 2 3 ' 13 1 8) 2 1 '2 yyx prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 14 Equações Diferenciais Homogêneas Uma função f(x,y) é chamada de homogênea de grau n se f(kx,ky)=knf(x,y) Um exemplo de uma função homogênea de primeiro grau é a função f(x,y)=2x+3y pois f(kx,ky)=2(kx)+3(ky) f(kx,ky)=k(2x)+k(3y) f(kx,ky)=k(2x+3y) f(kx,ky)=k f(x,y). Já a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea do segundo grau: f(kx,ky)=(kx)2+(ky)2 f(kx,ky)=k2x2+k2y2 f(kx,ky)= k2(x2+y2) f(kx,ky)=k2f(x,y). A função f(x,y)=x2+y não é homogênea: f(kx,ky)=(kx)2+ky f(kx,ky)=k2x2+ky f(kx,ky)= k(kx2+y) f(kx,ky)≠knf(x,y). prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 15 A equação diferencial de primeira ordem do tipo M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 em que M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de mesmo grau pode ser escrita na forma x y F dx dy e é chamada de equação diferencial homogênea de primeira ordem. Para se encontrar a solução de uma equação diferencial homogênea de primeira ordem procede-se uma troca de variáveis: x y v e, assim x y FvF )( . Daí dx dv xvvF dx dv xv x y F dx dv xv dx dy dx dx v dx dv x dx dy vxy )( E a solução será obtida através de vvF dv x dx )( . prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 16 EXEMPLO Autora: Patrícia Nunes da Silva prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 17 EXERCÍCIOS Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir: 1. (x2-2y2)dy+2xydx=0 Ayres 2. (x2+y2)dx+2xydy=0 Thomas 3. (x+y)dy+(x-y)dx=0 Thomas 4. x2dy+(y2-xy)dx=0 Thomas 5. 0 xdydxyxe x y Thomas 6. 0cos ydxxdy x y yxdyydx x y senx Ayres 7. 1 ' yx xy 8. 0)( ydxdyyx prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 18 Equações Diferenciais Lineares Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser escrita na forma )()( xQyxP dx dy onde todos os termos são de grau zero ou um. Para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem, comumente se multiplica a equação por um fator r=r(x) tal que a parte da equação antes do sinal de igual resulte na derivada de r.y [(r.y)’=r’y+ry’]. Assim, utilizando simplificadamente a notação P=P(x) e Q=Q(x) QPy dx dy e multiplicando-se por r QrPyr dx dy r ... . A função r=r(x) deverá atender à condição dx ryd Pyr dx dy r )( .. . Daí dx dr y dx dy rPyr dx dy r .. dx dr yPyr . Pr dx dr . . prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 19 Separando as variáveis Pdx r dr . Resolvendo Pdxr dr 21ln CPdxCr . Fazendo C2-C1=lnC CPdxr lnln PdxCr lnln PdxC r ln Pdx Cer . Com C=1, tem-se Pdx er . Com o r assim definido, a equação QrPyr dx dy r ... torna-se Qr dx ryd . )( que tem como solução CdxQryr .. . prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 20 EXEMPLO Resolver a equação (Thomas) xey dx dy . Resolução: Tem-se P=1 e Q=ex. Portanto, como Pdx er xdx eer .1 deve ser o fator a multiplicar a equação. Assim a solução será CdxQryr .. Cdxeye xx 2. Ceye xx 2 2 1 . xx Ceey 2 1 prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 21 EXERCÍCIOS Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir (Thomas): 1. 22 x ey dx dy 2. 23 xy dx dy x 3. xey dx dy 2 4. 2 3 x senx y dx dy x 5. dxsenxydxxdy prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 22 Equações Diferenciais de 2ª Ordem Serão analisados apenas alguns tipos especiais de equações diferenciais desegunda ordem. Os tipos especiais aqui estudados têm solução facilitada por poder, através de convenientes transformações, recaírem em equações diferenciais de primeira ordem. Uma equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita na forma 0,,, 2 2 dx yd dx dy yxF sendo que serão estudados quatro tipos especiais: Tipo 1 0, 2 2 dx yd xF Tipo 2 0,, 2 2 dx yd dx dy xF Tipo 3 0, 2 2 dx yd yF Tipo 4 RQy dx dy P dx yd 2 2 prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 23 Tipo 1 Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 1, as equações que não contém a variável y nem sua derivada primeira, ou seja: 0, 2 2 dx yd xF EXEMPLO Resolver a equação (Ayres) xxe dx yd x cos 2 2 . Resolução: Reescrevendo o primeiro membro xxe dx dy dx d x cos e integrando ambos os membros em relação a dx dxxxe dx dy x cos obtém-se 1Csenxexe dx dy xx . Com uma nova integração dxCsenxexey xx )( 1 chega-se à solução geral 21cos2 CxCxexey xx prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 24 Tipo 2 Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 2, as equações que não contém a variável y mas sim sua derivada primeira, ou seja: 0,, 2 2 dx yd dx dy xF Neste caso, a inclusão de nova variável p tal que dx dy p e, portanto 2 2 dx yd dx dp . Lembrando a derivada do produto pdxxdpxpd )( e sua integral )( pdxxdpxp EXEMPLO Resolver a equação (Ayres) a dx dy x dx yd x 2 2 2 . Resolução: Substitui-se dx dy p e 2 2 dx yd dx dp obetndo-se axp dx dp x 2 . prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 25 A seguir, multiplica-se por x dx x adx pdxxdp cuja integral é 1ln Cxaxp . Voltando a transformação 1ln Cxa dx dy x x dx Cdx x xa dy 1 ln e a última integração resulta em 21 2 ln 2 ln CxC xa y prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 26 Tipo 3 Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 3, as equações que não contém a variável independente x nem a derivada primeira de y, ou seja: 0, 2 2 dx yd yF Neste caso, se utilizará a derivada do quadrado de uma função 2)'(yv '"..2' yyv EXEMPLO Resolver a equação (Ayres) 02 2 2 y dx yd . Resolução: Usando a notação 02" yy e multiplicando-se por 2y’ '4"'2 yyyy e integrando-se em relação a dx dxyyy '4' 2 dx dx dy yy 4' 2 1 22 2' Cyy 1 22 Cy dx dy dx Cy dy 1 22 Nova integração, com a fórmula prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 27 Cauu au du 22 22 ln resulta em dx du Cu 2 . 1 1 2 1 2 ln 2 22ln Cx Cyy xeCCyy 221 222 prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 28 Tipo 4 Serão consideradas equações diferenciais de segunda ordem do tipo 4, as equações que podem ser escritas na forma RQy dx dy P dx yd 2 2 com P e Q constantes e R constante ou função de x apenas. Se 02 QPmm tem raízes m1≠m2 então xm eC xm eCy 22 1 1 é a solução geral de 0 2 2 Qy dx dy P dx yd . Se m1=m2=m, a solução geral é mxxeCmxeCy 21 A solução geral de 0 2 2 Qy dx dy P dx yd é a função complementar de )( 2 2 xRQy dx dy P dx yd se y=f(x) satisfizer esta última e y=função complementar+f(x) será sua solução geral. EXEMPLOS 1) Resolver a equação (Ayres) 043 2 2 y dx dy dx yd . Resolução: m2+3m-4=0 tem como raízes m1=1 e m2=-4 assim, a solução é y=C1e x+C2e -4x prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 29 2) Resolver a equação (Ayres) 2 2 2 43 xy dx dy dx yd . Resolução: Do exemplo anterior, a função complementar é y=C1e x+C2e -4x Uma solução particular deve ser do segundo grau, pois R(x)=x2. Assim, y=Ax2+Bx+C, y’=2Ax+B e y’’=2A são substituídos na equação 2A+3(2Ax+B)-4(Ax2+Bx+C )=x2 -4Ax2+(6A-4B)x+(2A+3B-4C)=x2 de onde se obtém 32 13 8 3 , 4 1 CeBA Daí a solução particular será 12 13 8 3 4 1 2 xxy e a solução geral 12 13 8 3 4 1 24 21 xxeCeCy xx prof.Marcos 2015_2_CALCULO3_01 30 EXERCÍCIOS Resolver as equações diferenciais apresentadas a seguir (Ayres): 1. 0 2 2 senx dx yd 2. 03 2 2 xe dx yd x 3. xy”+y’+x=0 4. 3 1 '' y y 5. 03 2 2 dx dy dx yd 6. 0134 2 2 y dx dy dx yd 7. 044 2 2 y dx dy dx yd
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