SERGIO Vector gradiente

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Vector gradiente 
Definição 
Seja uma funcao de duas variaveis , o gradiente de é a função vectorial definida 
por: 
 
A notação é uma notação especial do gradiente , na verdade esta representação não é um 
produto mais sim uma designação do gradiente da função, que pode ser representada da 
seguinte maneira ( , que lemos ‘’del ’’). O símbolo isolado é lido como 
”nabla”. 
 : se ( ) 
 ( ), Então: 
 
Determinar as derivadas parciais em relação as variáveis 
Seja ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
Pela definição do gradiente teremos: 
 ( ) 〈 ( ) ( )〉 
 ( ) 〈 〉 
Então: 
 ( ) 〈 ( ) 〉 
 ( ) 〈 〉 
 ( ) 〈 〉 
 : encontre o vector gradiente de ( ) 
 ( ) 
 ( ) 〈 ( ) ( )〉 (
 
 
( ) 
 
 
( )) 
 
 
 
 
 
 
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Determinar as derivadas parciais em relação as variáveis 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 〈 〉 
 ( ) 〈 〉 
 ( ) 〈 〉 
Fazendo a representação do vector, com a sua respectiva curva de nível da função do gráfico 
de f teremos: 
 
O seu vector, sempre será ortogonal a recta tangencial a curva de nível da função. 
 : calcule o vector gradiente no ( ) sendo a função ( ) √ 
 
 Determinar as derivadas parciais em relação as variáveis 
 
 
( ) 
 
 √ 
 
 
 
( ) 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 
( ) 
 
 √ 
 
 
 
( ) 
 
 √ 
 
 
√ 
 
Então: 
 ( ) (
 
 
( ) 
 
 
( )) 
 ( ) (
 
√ 
 
 
√ 
 ) 
3 
 
 ( ) (
 
√( ) ( ) 
 
 
√( ) ( ) 
 ) 
 ( ) (
 
√ 
 
 
√ 
) 
 ( ) (
 
√ 
 
 
√ 
) 
 ( ) (
 
 
 
 
 
) 
Funções de três variáveis 
Para uma função de três variáveis, o vector gradiente, denotado por é 
 
 
Ou simplificando: 
 
 
A função de três variáveis para derivada direccional pode ser reescrita como: 
 
 
 Se ( ) a) determine o gradiente de b) estabeleça a derivada 
direccional de no ponto ( ) Na direcção de 
Solução 
O gradiente de é (a): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 〈 〉 
Portanto (b) 
 ( ) 〈 ( ) ( ) ( 〉 
 ( ) 〈 ( ) ( ) ( )〉 
 
 〈 〉 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
4 
 
 ( ) 〈 〉 
 ( ) 
 O vector unitário na direcção de é: 
 
 
| |
 | | √ ( ) | | √ 
Logo: 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
Então (c): 
 ( ) ( ) 
 ( ) (
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 ) 
 ( ) ( 
 
√ 
) 
 
√ 
 
√ 
 
 
Regras Algébricas para gradientes 
1. Regra da soma: ( )= 
2. Regra da diferença: ( )= 
3. Regra da multiplicação por constante: ( )= (qualquer numero de k) 
4. Regra do produto: ( ) 
5. Regra do quociente: (
 
 
) 
 
 
 
 
Bibliografia 
STEWART, J. Calculo (2006), volume II, 5ª Edição. 
THOMAS, G. B. Cálculo (2012), volume II, 12 ª Edição 
Estudantes: Sérgio Paulo Mustafa Universidade Rovuma-Niassa 
 Júlia António José Munzeza Docente: Mestre Abubacar Nurdin