APOSTILA_5_EXERC

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PUC-Rio – Departamento de Artes e Design 
DSG1111 - FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA 
Profa Alessandra Carusi 
 
Apostila 5 + exercícios 
 
 
Transformações das figuras geométricas: isometrias 
 
Lembrando: transformação = mudança 
 
ISOMETRIAS 
Quando se aplica uma transformação a uma figura de modo que ela apenas possa ocupar outro lugar no plano, sem 
alterar sua forma e tamanho originais, dizemos que a transformação aplicada é uma isometria. 
 
1) Reflexão 
 
Na imagem ao lado, foi aplicada uma reflexão à figura A, obtendo-se a nova figura A', 
congruente à original e simétrica em relação à reta r. 
 
Note: 
- as 2 figuras são congruentes, sendo que uma é refletida, ou espelhada em relação à outra. 
- mudando a posição da reta, a figura obtida será sempre congruente à figura original e 
espelhada em relação a ela. 
 
Para realizar uma reflexão, é necessário fixar uma reta em torno da qual as figuras são refletidas – eixo de simetria. 
 
Além disso, há figuras que possuem eixo de simetria. Uma parte da figura coincide exatamente com a outra. 
 
Um eixo de simetria é uma reta que divide a figura em duas partes que podem coincidir exatamente. É como se um 
espelho perpendicular ao plano que contém a figura fosse colocado sobre a reta, refletindo exatamente a figura do 
outro lado. 
 
Uma figura pode possuir um eixo de simetria, mais de um eixo de simetria, ou não possuir eixo de simetria. 
Por exemplo, um triângulo equilátero possui 3 eixos de simetria, enquanto um triângulo isósceles possui apenas um, 
e um triângulo escaleno não possui eixo de simetria. 
 
 
 
Os pontos que coincidem quando a figura é dobrada sobre o seu eixo de simetria são chamados de correspondentes 
ou simétricos em relação ao eixo. 
 
Por exemplo, na figura ao lado: 
A e E, assim como B e D, são correspondentes ou simétricos. 
C corresponde a ele mesmo, pois está sobre o eixo de simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos correspondentes: 
- A e P; 
- Q e B; 
- C e R. 
 
 
 
Para definir uma reflexão, basta, portanto, fixar o eixo de reflexão. Estas condições são essenciais para a identificação 
de eixos de simetria. 
 
 
 
Observe que: 
- A linha que une cada par de pontos simétricos é perpendicular ao eixo de simetria; 
- Dois pontos simétricos estão à mesma distância (perpendicular) do eixo de simetria. 
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2) Translação 
Seja r uma reta. 
Uma figura é obtida de outra por uma translação de direção r se todos os pontos da figura original 
se deslocam paralelamente a r, no mesmo sentido, percorrendo a mesma distância. 
Para definir uma translação devem ser fixados, portanto, direção, o sentido e o comprimento 
(amplitude) de deslocamento. 
 
Note que a imagem de uma figura por translação mantém sua forma e tamanho. 
Esta transformação preserva os ângulos e os comprimentos das figuras geométricas. 
 
 
3) Rotação 
Na figura ao lado, tendo fixado o ponto O e o ângulo de giro y, considere a figura A. 
A imagem de cada ponto da figura A é obtida através do giro de centro em O e ângulo y, no 
sentido horário. 
Dizemos que a figura A' é a imagem da figura A por uma rotação de centro O e ângulo y, no 
sentido horário. 
 
Uma rotação, portanto, é determinada pelo centro O, um certo ângulo de rotação e um sentido, que pode ser horário 
ou anti-horário. 
Note que a imagem de uma figura por rotação mantém sua forma e suas dimensões. A rotação mantém os ângulos e 
os comprimentos das figuras geométricas. 
 
O ponto O pode estar localizado fora da figura a ser girada, sobre o seu contorno, ou no interior da figura, como nos 
exemplos a seguir, em que a bandeirinha A' é a imagem da bandeirinha A por uma rotação de centro O e ângulo de 
90°, no sentido anti-horário: 
 
 
 
 
4) Composição de Isometrias 
 
Considere duas figuras A e A' congruentes. Nem sempre a figura A' é imagem da figura A por uma isometria 
facilmente identificável. Muitas vezes, é possível identificar duas ou mais isometrias que, aplicadas sucessivamente à 
figura A, levam à figura A’. 
 
Vejamos, no exemplo a seguir, a bandeirinha A, que foi transformada na bandeirinha A'. 
 
Neste caso, A' não pode ser a imagem de A por uma simples rotação. No entanto, ela 
pode ser obtida de A pela composição de uma rotação de 90° no sentido anti-horário com 
uma translação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: questões de isometria 
 
 
1) Trace a imagem refletida de um triângulo ABC de lados 7cm, 5cm e 4cm, sendo que o eixo de simetria é 
uma reta paralela a 1 cm do maior lado do triângulo. 
 
2) Trace a imagem de um quadrado ABCD (5 cm de lado) por rotação de 60º no sentido horário e centro em D. 
 
3) Trace a imagem do quadrado anterior por rotação de 20º no sentido anti-horário e centro em D. 
 
4) Trace a imagem de um retângulo de 5 cm x 3 cm, a partir de um eixo de translação (7 cm) , situado numa 
semi-reta, com início no cruzamento das diagonais e é continuação de uma das suas diagonais. 
 
5) Trace 2 imagens sucessivas de um quadrado de 4 cm por rotação de 30º no sentido horário e centro no 
encontro das suas diagonais.