Controle de sistemas dinâmicos - Tópico 1

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Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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1. MODELO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 
 
INTRODUÇÃO 
 
Olá! Vamos dar início ao estudo do controle de sistemas dinâmicos. 
O estudo do controle de sistemas é de fundamental importância na área da 
engenharia, uma vez que existem muitos processos hoje em dia que são automatizados e 
que precisam de algum tipo de controle para que funcionem corretamente. O controle 
automático de sistemas é aplicado em telecomunicações, nos transportes, na navegação, 
em veículos espaciais, sistemas robóticos, na biologia, na medicina, em sistemas de 
manufatura, enfim, quaisquer operações que exijam o controle de algum parâmetro como 
a temperatura, pressão, vazão, umidade, velocidade etc. 
Para que possamos definir matematicamente os modelos dos sistemas de 
controle, vamos definir alguns termos que são importantes. 
Um sistema é um conjunto de elementos interdependentes de modo a formar um 
todo organizado. No sentido mais específico desta disciplina vamos definir um sistema 
como uma combinação de componentes que atuam em conjunto organizadamente para 
alcançar um ou mais objetivos determinados, sendo que, nenhum componente conseguiria 
alcançar os mesmos objetivos de maneira independente. Em engenharia, na maioria das 
vezes, os sistemas de interesse são aqueles em que há alguma forma de transferência de 
energia. 
São exemplos de sistemas as linhas de transmissão de energia elétrica que 
transferem a energia produzida em alguma fonte geradora até o ponto de consumo. Os 
aparelhos de ar-condicionado e aquecedores são outros exemplos de sistemas que 
transferem energia. Nesse caso eles transferem a energia contida em um fluido em 
movimento. Os automóveis também são sistemas de transferência de energia. A energia 
química da combustão entre o combustível e o ar faz com que o eixo de manivelas entre 
em rotação, fazendo o automóvel se movimentar e adquirir energia cinética. 
Os sistemas, de acordo com a definição mais ampla, podem ser tanto objetos 
físicos como abstrações matemáticas, leis jurídicas, princípios da economia, entre outros. 
Os sistemas que nos interessam nesse momento são os sistemas físicos, ou seja, aqueles 
que são constituídos por objetos reais. 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Agora que definimos os sistemas físicos, vamos entender como podemos 
controlá-los. O comportamento de um sistema depende dos sinais de entrada (ou 
condições de entrada) que serão impostos a ele, de maneira que produza algum sinal de 
saída desejado. Como o sinal de saída é a variável de interesse em um processo, ou seja, 
é a variável que será medida e controlada, chamamos esse sinal como a variável 
controlada. Para que se possa modificar os parâmetros obtidos na variável controlada, é 
necessário modificar os sinais de entrada do sistema, por isso esses sinais são conhecidos 
como sinais de controle ou variável manipulada. 
Vamos analisar o caso de um sistema de aquecimento residencial. O objetivo de 
se automatizar esse tipo de processo é que se consiga manter a temperatura do ambiente 
interno em um valor desejado. Isto só se torna possível quando se aplica algum tipo de 
controle na temperatura, que é a nossa variável controlada. Controlar significa medir o 
valor da variável controlada do sistema e aplicar alguma ação necessária para que essa 
variável, no caso a temperatura, permaneça com valores dentro de limites aceitáveis a 
partir do valor de referência. Esta parte do sistema, responsável pelo controle da variável 
de saída, chamamos de sensor. Em sistemas de aquecimento, o sensor é um termostato 
que indica uma temperatura baixa quando fecha um contato elétrico ou alta quando este 
contato se abre. Quando a temperatura está abaixo da temperatura definida como sinal de 
saída, um sinal elétrico ativo o fornecimento de gás. No caso contrário, o fornecimento é 
interrompido. O fornecimento de gás é, então, a nossa variável manipulada. 
Por fim, um termo bastante utilizado no estudo do controle de sistemas 
dinâmicos é a planta. Planta é definida como uma parte de equipamento ou ainda um 
conjunto de componentes que funcione de maneira integrada para a realização de 
determinada tarefa. De maneira mais abrangente, planta é qualquer objeto físico a ser 
controlado. 
 
MODELOS MATEMÁTICOS 
 
Depois de definirmos o que são sistemas e quais são os sistemas de interesse no 
estudo da engenharia, é necessário que a gente faça uma descrição matemática desses 
sistemas para que seja possível fazer o controle das variáveis dos processos. Chamamos 
essa descrição matemática, que é um conjunto de equações que definem o comportamento 
dinâmico do sistema, como modelo matemático. 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Nos sistemas físicos, as variáveis manipuladas e as variáveis controladas, ou 
seja, sinais de entrada e saída, respectivamente, e os parâmetros internos de interação, 
podem ser medidos. Uma vez que podem ser medidos, podem ser representados 
matematicamente por variáveis em função do tempo. 
Seja 𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), … , 𝑢𝑝(𝑡) as variáveis de entrada (ou excitação) do sistema, 
𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑝(𝑡) as variáveis internas e 𝑦1(𝑡), 𝑦2(𝑡), … , 𝑦𝑝(𝑡) as variáveis de saída 
(ou resposta) do sistema. Podemos representar todas essas variáveis por meio de um bloco 
(Figura 1). 
 
Figura 1 
 
 Representação dos sinais de entrada, internos e saída de um sistema (Fonte: Maya e Leonardi, 
2014, p. 2) 
 
 
Um sistema, no qual será implementado alguma ferramenta de controle, pode 
ser formado por vários sinais de entrada e de saída, conforma a figura 1. Nesse caso o 
sistema é chamado de sistema vetorial ou MIMO (multiple input multiple output). Para 
os casos mais simples, em que há apenas um sinal de entrada e um sinal de saída 
correspondente, o sistema é chamado de sistema escalar ou SISO (single input single 
output). 
O modelo matemático pode ser apresentado de várias formas. Por enquanto 
vamos focar nos modelos matemáticos constituídos pelas equações diferenciais. Outras 
formas de representar os modelos matemáticos de um sistema são através das funções de 
transferência (baseadas nas transformadas de Laplace) e nos modelos vetoriais de estado. 
 
 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS 
 
Os sistemas podemos ser classificados por diferentes critérios. 
 
Dependendo da natureza dos elementos que o compõe, um sistema pode ser 
classificado como sistema físico, econômico, social, biológico, entre outros. 
Um sistema também pode ser classificado de acordo com a quantidade de sinais 
de entrada e de sinais de saída como sistema escalar ou sistema vetorial. 
Outra classificação que pode ser dada aos sistemas se refere a linearidade de seu 
comportamento. Um sistema é linear quando satisfaz os princípios de homogeneidade: 
 
➢ Seja 𝑦1(𝑡) a resposta de um sistema relativa a um sinal de excitação 
𝑢1(𝑡), quando o sinal de excitação for 𝑚 vezes maior, o sinal de saída deve ser 𝑚 
vezes maior também. Logo 𝑚 ∙ 𝑦1(𝑡) deve ser a resposta do sistema à uma 
excitação 𝑚 ∙ 𝑢1(𝑡). 
 
 e da superposição dos efeitos: 
 
➢ Seja 𝑦1(𝑡) a resposta de um sistema relativa a um sinal de excitação 
𝑢1(𝑡) e 𝑦2(𝑡) a resposta de um sistema relativa a um sinal de excitação 𝑢2(𝑡), 
então quando houver a soma dos sinais de excitação, deverá haver também a soma 
dos sinais de resposta respectivos. Logo, a resposta do sistema para a excitação 
𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) deve ser 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡). 
 
Os sistemas que não obedecem a esses dois princípios são chamados de 
sistemas não lineares. 
Os sistemas físicos também podem ser classificados de acordo com o seu 
comportamento ao longo do tempo. Os sistemas podem ser estáticos (ou instantâneos) 
quando respondem instantaneamente à uma excitação,sem sofrer interferência das 
condições anteriores do sistema. Ou podem ser sistemas dinâmicos, foco do estudo da 
nossa disciplina, quando o comportamento depende de suas condições iniciais. 
Sistemas invariantes no tempo são aqueles sistemas cujos parâmetros não variam 
com o tempo, ao contrário dos sistemas variantes no tempo (ou sistemas de parâmetros 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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variáveis). Nosso estudo será focado nos sistemas conhecidos como LIT (lineares e 
invariantes no tempo). 
A última classificação que vamos fazer dos sistemas é quanto ao tipo de sua 
malha, podendo ser um sistema de malha fechada ou sistema de malha aberta. 
 
➢ Sistema de malha fechada: também conhecido como sistema de 
controle com realimentação, é um tipo de sistema que estabelece uma comparação 
entre o sinal de saída e a entrada de referência. A diferença detectada entre esses 
dois sinais é utilizada como meio de controle. O sistema de aquecimento 
residencial que utilizamos como exemplo anteriormente é um sistema de controle 
com realimentação. Medindo-se a temperatura real do ambiente e comparando-a 
com a temperatura de referência (temperatura desejada), o aparelho é ligado ou 
desligado. Desta maneira, o sinal do erro realimenta o controlador de modo a 
ajustar o sinal de saída a parâmetros aceitáveis. A figura 2 é uma representação de 
um sistema com realimentação. 
 
Figura 2 
 
Sistema de controle com realimentação (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 6) 
 
 
➢ Sistema de malha aberta: neste tipo de sistema não existe um sinal 
de realimentação, então o sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no 
sistema. Neste caso, o sinal de saída é programado previamente em função do 
tempo ou em função dos sinais de entrada, mas não consegue reagir a algum 
distúrbio externo que altere o funcionamento esperado do sistema. São exemplos 
de sistemas de malha aberta as lavadoras de roupa, que não verificam a qualidade 
da lavagem entre as etapas de operação, ou ainda, uma luneta posicionada em terra 
firma, programada para acompanhar uma estrela. Neste caso, se ocorrer algum 
imprevisto (um terremoto por exemplo) o sistema não irá se reajustar de maneira 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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automática. Na figura 3, podemos ver um exemplo de representação de um 
sistema com malha aberta. Neste caso um operador ajusta o sistema para produzir 
100 volts, mas não se preocupa com verificar se a tensão permanece nesse valor 
ao longo do tempo de operação. 
 
 
Figura 3 
 
Sistema de malha aberta (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 8) 
 
 
O sistema de controle de malha aberta apresenta algumas vantagens como sua 
simplicidade e facilidade de manutenção (quando comparado aos sistemas de malha 
fechada). Desta maneira, são sistemas mais baratos. O problema deste tipo de sistema é 
que distúrbios no ambiente podem causar erros nos sinais de saída que irão apresentar 
valores diferentes ao padrão desejado. Além disso, para que a saída tenha um sinal 
satisfatório, é necessária uma calibração periódica. 
 
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
Vamos relembrar as leis de Kirchhoff das correntes e das tensões. A lei das 
correntes (lei dos nós) nos diz que a soma algébrica de todas as correntes que entram e 
saem de um nó é igual a zero. A lei das tensões (lei das malhas) nos diz que, em qualquer 
instante, a soma algébrica das tensões ao longo de uma malha de um circuito elétrico é 
igual a zero. 
Vamos começar a modelagem de sistemas elétricos analisando circuitos RLC. 
Os circuitos RLC, que podem estar conectados em série ou em paralelo, são constituídos 
de um resistor (R), um indutor (L) e um capacitor (C). Vamos analisar o circuito RLC em 
série da figura 4. 
 
 
Figura 4 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Circuito RLC em série (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 14) 
 
A entrada desse sistema é a tensão u(t) aplicada pelo gerador e a variável de saída 
do circuito é a corrente i(t). A representação desse sistema através dos diagramas de 
blocos, comumente utilizada em controle de sistemas, pode ser vista na figura 5. O nosso 
objetivo agora é relacionar, matematicamente, a variável de saída i = i(t) com a variável 
de entrada u = u(t). Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, temos que a soma das tensões 
na malha é igual a zero, ou seja: 
 
𝐿 ∙
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅 ∙ 𝑖 +
1
𝐶
∫ 𝑖𝑑𝑡
𝑡
0
= 𝑢(𝑡) (1) 
 
A variável de saída poderia ser a carga q = q(t) no condensador. Nesse caso a 
equação que descreveria o comportamento do circuito seria: 
 
𝐿 ∙
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅 ∙
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
∙ 𝑞 = 𝑢(𝑡) (2) 
 
 
Figura 5 
 
 Circuito RLC em série – representação por bloco (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 14) 
 
 
 
 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Para circuitos LRC em paralelo, figura 6, considerando o sinal de entrada como 
a corrente j(t) e o sinal de saída a tensão v(t), o modelo matemático resultante é igual a: 
 
𝐶 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝐺 ∙ 𝑣 +
1
𝐿
∫ 𝑣𝑑𝑡
𝑡
0
= 𝑗(𝑡) (3) 
 
 
Figura 6 
 
Circuito RLC em paralelo (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 14) 
 
 
Ao compararmos as equações (1) e (3) podemos notar que ambas têm 
exatamente o mesmo aspecto e só divergem quanto a notação utilizada para cada um dos 
parâmetros do sistema. Neste caso, dizemos que esses dois circuitos elétricos são circuitos 
duais (as equações que descreve um dos circuitos por análise de malhas têm a mesma 
forma das equações que descreve outro por análise nodal). 
 
MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS 
 
A modelagem matemática de sistemas mecânicos será feita para sistemas com 
translação. Vamos considerar um sistema massa – mola – amortecedor (Figura 7). Nosso 
objetivo é descrever os parâmetros de saída (a posição do corpo, por exemplo) em função 
dos parâmetros de entrada (força por exemplo). 
Antes de fazermos a análise em um sistema contendo os três componentes 
(massa, mola e amortecedor) vamos examinar cada um desses elementos separadamente 
e a associação deles em série e em paralelo. 
 
 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Figura 7 – 
 
Sistema massa-mola-amortecedor (Fonte: Ogata, 2010, p. 58) 
 
Considere a massa M sob a ação de uma força f(t) e o deslocamento dessa massa 
x(t) (Figura 8). De acordo com a segunda lei de Newton, temos que: 
 
Figura 8 
 
 
 
 Elementos mecânicos de translação (Fonte: Phillips e Harbor, 1996, p. 35) 
 
 
𝑓(𝑡) = 𝑀 ∙ 𝑎(𝑡) = 𝑀
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
 (4) 
 
onde v(t) é a velocidade e a(t) é a aceleração. 
No caso dos outros dois elementos, amortecedor e mola (Figura 8), o movimento 
só pode ser completamente descrito por duas variáveis de deslocamento, uma vez que o 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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ponto superior pode se mover com relação ao ponto inferior. Vamos considerar o 
amortecedor viscoso B. A equação que descreve o seu movimento é dada por 
 
𝑓(𝑡) = 𝐵(
𝑑𝑥1(𝑡)
𝑑𝑡
−
𝑑𝑥2(𝑡)
𝑑𝑡
) (5) 
 
onde B é o coeficiente de amortecimento. 
O último elemento de translação a ser modelado é a mola. A equação que define 
o seu comportamento é a lei de Hooke, que é dada por: 
 
𝑓(𝑡) = 𝐾(𝑥1(𝑡) − 𝑥2(𝑡)) (6) 
 
onde K é a constante de elasticidade da mola. 
No caso em que for observado uma associação de molas ou uma associação de 
amortecedores, é necessário determinar as constantes K e B equivalentes do sistema. 
As molas podem estar associadas em paralelo ou em série (Figura 9). Para 
determinar a constante K equivalente do sistema para molasem paralelo basta proceder 
da seguinte maneira: 
 
 
Figura 9 
 
 
Associação de molas em paralelo e em série (Fonte: Ogata, 2010, p. 57) 
 
𝑘1𝑥 + 𝑘2𝑥 = 𝐹 = 𝑘𝑒𝑞𝑥 (7) 
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 (8) 
 
Para molas em série, a força em cada mola é a mesma, ou seja: 
 
𝑘1𝑦 = 𝐹 (9) 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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𝑘2(𝑥 − 𝑦) = 𝐹 (10) 
𝑘2(𝑥 −
𝐹
𝑘1
) = 𝐹 (11) 
𝑘2𝑥 = 𝐹 +
𝑘2
𝑘1
𝐹 =
𝑘1+𝑘2
𝑘1
𝐹 (12) 
 
então a constante de elasticidade equivalente do conjunto, 𝑘𝑒𝑞, é dada por: 
 
𝑘𝑒𝑞 =
𝐹
𝑥
=
𝑘1𝑘2
𝑘1+𝑘2
=
1
1
𝑘1
+
1
𝑘2
 (13) 
 
Para o caso dos amortecedores em paralelo e em série (Figura 10) a análise é 
análoga ao caso das molas e os resultados são os mesmos (substituindo K por B). 
 
 
Figura 10 – Associação de amortecedores em paralelo e em série (Fonte: Ogata, 2010, p. 57) 
 
Assim, 𝐵𝑒𝑞 para amortecedores em paralelo e em série é, respectivamente, igual 
a: 
 
 
𝑏𝑒𝑞 = 𝑏1 + 𝑏2 (14) 
𝑏𝑒𝑞 =
𝑏1𝑏2
𝑏1+𝑏2
=
1
1
𝑏1
+
1
𝑏2
 (15) 
 
Vamos tomar como exemplo o sistema massa-mola-amortecedor da figura 11. 
Nosso objetivo aqui é determinar um conjunto de equação que descreva o comportamento 
do sistema, ou seja, o seu modelo matemático. Aplicando a segunda lei de Newton, na 
qual a força resultante do sistema é igual ao produto da massa pela aceleração do corpo, 
temos que: 
 
Figura 11 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Sistema de translação mecânica (Fonte: Phillips e Harbor, 1996, p. 37) 
 
𝑓(𝑡) − 𝐾𝑥 − 𝐵𝑣 = 𝑀𝑎 (16) 
𝑓(𝑡) − 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝐾𝑥 = 𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 (17) 
 
E se tivéssemos dois blocos rígidos de massa M, interligados por uma mola? 
Neste caso não seria possível definir o comportamento do sistema apenas com uma 
variável x (Figura 12). A posição de um bloco não é suficiente para definir a posição do 
outro bloco, uma vez que a mola pode estar deformada. Precisa-se então de duas 
coordenadas para definir completamente o sistema (x1 e x2). O número de variáveis 
necessárias para se determinar a configuração de um sistema é chamado de grau de 
liberdade. Na figura 12 temos um sistema com dois graus de liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Figura 12 
 
 Sistema com dois graus de liberdade (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 18) 
 
 
Por fim, vamos falar da analogia que pode ser observada nos modelos 
matemáticos dos sistemas mecânicos e elétricos. Se compararmos os sistemas elétricos 
RLC-série tendo a corrente como variável de saída e um sistema massa-mola-
amortecedor tendo a velocidade como variável de saída, as equações que descrevem esses 
parâmetros nos sistemas, respectivamente, são: 
 
𝐿 ∙
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅 ∙ 𝑖 +
1
𝐶
∫ 𝑖𝑑𝑡
𝑡
0
= 𝑢(𝑡) (18) 
𝑀 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝐵 ∙ 𝑣 + 𝐾 ∫ 𝑣𝑑𝑡
𝑡
0
= 𝑓(𝑡) (19) 
 
Analisando atentamente essas equações, vamos que a única diferença que existe 
entre elas é a notação. Dizemos então que os sistemas elétricos e os sistemas mecânicos 
são sistemas análogos. Na tabela 1, podemos ver a analogia entre os parâmetros de um 
sistema mecânico e dos sistemas RLC em série e em paralelo. Como os sistemas são 
análogos e o modelo matemático que descreve o comportamento do sistema sempre tem 
um correspondente em outro tipo de sistema, os sistemas mecânicos podem ser 
esquematizados como sistemas elétricos análogos e vice-versa. Vejamos um exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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Tabela 1 
 
Analogia entre os sistemas elétricos e mecânicos (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 18) 
 
Considere um sistema mecânico formado por duas massas, interligadas por uma 
mola, sujeitas a atrito viscoso (mesmo modelo matemático dos amortecedores que vimos 
até aqui) e uma força externa f(t) (Figura 13). 
 
Figura 13 
 
 Sistema mecânico (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 18) 
 
Considerando as condições iniciais do sistema nulas e que o sistema parte do 
repouso, temos que o modelo matemático que define o sistema é dado por: 
 
𝑀1 (
𝑑𝑉1
𝑑𝑡
) + 𝐵1𝑉1 + 𝐾1 ∫ (𝑉1 − 𝑉2)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡)
𝑡
𝑜
 (20) 
𝑀2 (
𝑑𝑉2
𝑑𝑡
) + 𝐵2𝑉2 + (𝐾1 + 𝐾2) ∫ 𝑉2𝑑𝑡 − 𝐾1 ∫ 𝑉1𝑑𝑡
𝑡
0
= 0
𝑡
𝑜
 (21) 
 
Com o auxílio da tabela de analogia, podemos ver que, para a analogia com 
sistemas elétricos RLC em série, a representação de um circuito análogo seria o circuito 
representado na figura 14 e a equação análoga seria: 
 
𝐿1 (
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
) + 𝑅1𝑖1 +
1
𝐶1
∫ (𝑖1 − 𝑖2)𝑑𝑡 = 𝑒(𝑡)
𝑡
𝑜
 (22) 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
16 
𝐿2 (
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
) + 𝑅2𝑖2 + (
1
𝐶1
+
1
𝐶2
) ∫ 𝑖2𝑑𝑡 −
1
𝐶1
∫ 𝑖1𝑑𝑡
𝑡
0
= 0
𝑡
𝑜
 (23) 
 
Figura 14 
 
 Circuito elétrico análogo ao sistema mecânico (Fonte: Maya e Leonardi, 2014, p. 19) 
 
 Modelo matemático de sistemas de controle 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. 2. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014. 
 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010. 
 
 
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e 
realimentação. 1. ed. São Paulo: Makron Books, 1996.