Cálculo Diferencial e Integral II - AVA2

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Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Curso Engenharia de Produção 
Trabalho da Disciplina AVA 2 
 
Integrais triplas 
Nas questões abaixo, vamos exercitar os conceitos aprendidos nesta unidade. 
1ª questão 
Calcular a integral tripla 
∭ (y + x2) zdV 
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo 
1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1, − 3 ≤ z ≤ 5. 
 
 
∫ 𝑑𝑥
2
1 ∫ 𝑑𝑦
1
0 ∫ 𝑑𝑧 (𝑦 + 𝑥
2) 𝑧𝑑𝑣
5
−3
 𝑣 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 
 
∫ 𝑑𝑥
2
1 ∫ 𝑑𝑦
1
0 ∫ (𝑦 + 𝑥
2) 𝑧𝑑𝑣
5
−3
 𝑣 = (5 + (−3)) ∗ 1 ∗ 1 
 
∫ 𝑑𝑥
2
1 ∫ (𝑦 + 𝑥
2)
1
0
 𝑑𝑦 ∫ 𝑧𝑑𝑣
5
−3
 𝑣 = (5 − 3) ∗ 1 
 
𝑍2
2
 ]
5
−3=
52
2
− 
(−3)2
2
= 
25
2
− 
(9)
2
= 8 𝑣 = 2 
∫ 𝑑𝑥
2
1 ∫ (𝑦 + 𝑥
2)
1
0
 ∗ (8)𝑑𝑦 
 
∫ (8) ∗ (𝑦 + 𝑥2) = 
2
1 ∫ 8𝑦 + 8𝑥
2 =
2
1 ∫ 8𝑥
2𝑑𝑥 ∫ 8𝑦 𝑑𝑦
1
0
2
1
 
 
 
8𝑦²
2
]1
0
= 
1²
2
− 
(0)2
2
 = 
1
2
 
 
∫ 8𝑥²𝑑𝑥
2
1
 
1
2
 
 
8 ∗ 
(1)
2
 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 
8
4
2
1
= 
4𝑥3
3
 
]
2
0
= 4 [
23
3
− 
13
3
] = 
 
4 [
8
3
−
1
3
] = 4 [
7
3
] = 4 ∗ 
7
3
= 
28
3
= 9,33 
2ª questão 
Calcular a integral 
∭(x2+y2)dV, 
em que T é a região de integração interior ao cilindro x2 + y2 = 1e à esfera x2 + y2 
+ z2 = 4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica 
a resolução). 
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑟. 𝜃, 𝑧) 𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑧2 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦² 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2¶ 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦² 
 
 
0 ≤ 𝑧 ≤ −2𝑟 
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝐷𝑣 = 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
 
∫ ∫ ∫ ∗ (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)²
−2𝑟
0
∗ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑟
2¶
0
1
0
 
∫ ∫ ∫ ∗ 𝑟²𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟²𝑠𝑒𝑛²𝜃
−2𝑟
0
∗ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑟
2¶
0
1
0
 
∫ 2𝑟3𝑑𝑟 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑑𝑧
−2𝑟
0
2¶
0
1
0
 
∫ 𝑑𝑧 = [𝑧]2𝑟
−2𝑟
0
 
[−2𝑟 − 0] 
∫ 2𝑟3𝑑𝑟
1
0 ∫ cos ² 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛
2𝜃 𝑑𝜃 [−2𝑟 − 0]
2¶
0
 
−2 ∫ 𝑟4 𝑑𝑟
1
0 ∫ cos ² 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛
2𝜃 𝑑𝜃 
2¶
0
 
𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 
1+𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 
1−𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
 
∫
1+𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
2¶
0
+ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 
1−𝑐𝑜𝑠2𝜃 
2
 𝑑𝜃 
∫
1
2
2¶
0
+ 
1 
2
= 1 
∫ 1𝑑𝜃
2¶
0 ∫
𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
2¶
0
−
𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
 𝑑𝜃 
1
2
+
1
2
= 1 ∫ 𝑑𝜃 + 1
2¶
0 ∫ cos(2𝜃) − cos(2𝜃) 𝑑𝜃
2¶
0
 
 
 
 
𝑑𝜃 + 1 ]
2¶
0
= 1(2¶) − 1(0) = 2¶ 
−2 ∗ 2¶ ∫ 𝑟4
1
0
𝑑𝑟 =
−2 ∗ 2¶𝑟4+1
4 + 1
 ]
1
0
=
−2 ∗ 2¶𝑟5
5
=
−4¶𝑟5
5
 ]
1
0
 
[
15
5
−
(0)5
5
] = [
1
5
−
0
5
] =
1
5
 
 
 
3ª questão 
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo. 
 
A equação do plano (2,0,0), (0,1,0) e (0,0,3) 
𝒇(𝒙, 𝒚) ≡ 𝒛 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 
𝟎 = 𝒂(𝟐) + 𝒃(𝟎) + 𝒄 → 𝒂 = −
𝒄
𝟐
 
𝟎 = 𝒂(𝟎) + 𝒃(𝟏) + 𝒄 → 𝒃 = −𝒄 
𝟑 = 𝒂(𝟎) + 𝒃(𝟎) + 𝒄 → 𝒄 = 𝟑 
Logo, 
𝒁 =
−𝟑𝒙
𝟐
 − 𝟑𝒚 + 𝟑 
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 
(𝟐, 𝟎) → 𝟎 = 𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝒂 =
−𝒃
𝟐
 
(𝟎, 𝟏) → 𝟏 = 𝟐(𝟎) + 𝒃 = 𝒃 = 𝟏 
𝒚 = −
𝒙
𝟐
 + 𝟏 
 
𝑽 = ∫ ∫ (−
𝟑𝒙
𝟐
− 𝟑𝒚 + 𝟑) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = ∫ [(−
𝟑𝒙𝒚
𝟐
𝟐
𝟎
−𝒙
𝟐
+𝟏
𝟎
𝟐
𝟎
−
𝟑𝒚𝟐
𝟐
+ 𝟑𝒚)⃒
𝟎
−𝒙
𝟐
+𝟏
]𝒅𝒙 = 
∫ [−
𝟑𝒙
𝟐
(−
𝒙
𝟐
+ 𝟏) −
𝟑
𝟐
(−
𝒙
𝟐
+ 𝟏)
𝟐
+ 𝟑(−
𝒙
𝟐
+ 𝟏)] 𝒅𝒙 = ∫ (
𝟑𝒙𝟐
𝟖
−
𝟑𝒙
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
+
𝟑
𝟐
)𝒅𝒙 = 
(
𝟏𝒙𝟑
𝟖
−
𝟑𝒙𝟐
𝟒
+
𝟑𝒙
𝟐
) ⃒
𝟐
𝟎
= 𝟏 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 
 
Referências bibliográficas: 
https://sites.icmc.usp.br/regilene/sma332/integrais%20triplas.pdf 
https://www.youtube.com/watch?v=UvD7pwbKZEY 
https://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2013/03/Integrais-Triplas.pdf 
 
https://sites.icmc.usp.br/regilene/sma332/integrais%20triplas.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=UvD7pwbKZEY
https://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2013/03/Integrais-Triplas.pdf