Questão resolvida - 1) O volume de um cone circular é dado por_ Vpi_24xraiz(4s-y) onde s é o comprimento da geratriz e y o comprimento da base ... - Cálculo II - UVA

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
 1) O volume de um cone circular é dado por:
 
V =
𝜋
24
4s²- y²
 
onde s é o comprimento da geratriz e y o comprimento da base.
 
a) Encontre a taxa instantânea de variação do volume em relação à geratriz se o 
diâmetro é mantido constante com o valor de centímetros, enquanto a geratriz y = 16 
s varia. Calcule essa taxa de variação no instante em que centímetros.s = 10
 
b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de 
centímetros. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de s = 10 
variação do volume em relação ao diâmetro quando centímetros.y = 16
 
Resolução:
 
a) Se o diâmetro é mantido constante ( ), então a expressão que fornece o y = 16 cm
volume do cone fica;
 
V = V s = V s = 4s²- 256
𝜋
24
4s²- 16 ²( ) → ( )
𝜋
24
4s²- 256 → ( )
𝜋
24
( )
1
2
 
A taxa instantânea de variação do volume em relação à geratriz é dada pela derivada 
do volume em ralação geratriz s, ou seja;
 
= 4s²- 256 ⋅ 4 ⋅ 2s = s 4s²- 256
dV
ds
1
2
𝜋
24
( )
-1
1
2
→
dV
ds
4 ⋅ 2𝜋
2 ⋅ 24
( )
1- 2
2
= s 4s²- 256 =
dV
ds
𝜋
6
( )
-
1
2 →
dV
ds
𝜋s
6 4s²- 256( )
1
2
=
dV
ds
𝜋s
6 4s²- 256
 
 
Para o valor da geratriz igual a centímetros, temos que a taxa instantânea de 10
variação do volume é dada por;
 
= = = =
dV
ds
𝜋10
6 4 10 ²- 256( )
→
dV
ds
5𝜋
3 4 ⋅ 100- 256
→
dV
ds
5𝜋
3 144
→
dV
ds
5𝜋
3 ⋅ 12
 
 
= cm / cm
dV
ds
5𝜋
36
3
b) Se a geratriz é mantido constante ( ), então a expressão que fornece o s = 10 cm
volume do cone fica;
 
V = V s = V s = 400- y
𝜋
24
4 ⋅ 10 ²- y²( ) → ( )
𝜋
24
4 ⋅ 100- y2 → ( )
𝜋
24
2
1
2
 
A taxa instantânea de variação do volume em relação ao diâmetro é dada pela 
derivada do volume em ralação diâmetro y, ou seja;
 
= 400- y ⋅ -2y = y 400- y
dV
dy
1
2
𝜋
24
2
-1
1
2
( ) →
dV
dy
-2𝜋
2 ⋅ 24
2
1- 2
2
= - y 400- y = -
dV
dy
𝜋
24
2
-
1
2
→
dV
dy
𝜋y
24 400- y2
1
2
= -
dV
dy
𝜋y
24 400- y2
 
Para o valor do diâmetro igual a centímetros, temos que a taxa instantânea de 16
variação do volume é dada por;
 
= - = - = - = -
dV
dy
𝜋
24 400 - 16( )2
→
dV
dy
𝜋
24 400 - 256
→
dV
dy
𝜋
24 144
→
dV
dy
𝜋
24 ⋅ 12
 
 
= - cm / cm
dV
dy
𝜋
288
3
 
 
(Resposta - letra a)
(Resposta - letra b)