Equacoes diferenciais - aplicacoes de equacoes lineares de primeira ordem

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Fundação Centro de Análise, Pesquisa e Inovação Tecnológica 
Faculdade Fucapi 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 DISCIPLINA: Cálculo III TURMA: 
TÓPICO: Equações diferenciais lineares de primeira ordem 
TURNO: Noturno 
PROFESSOR: Alciélio Rocha PERÍODO LETIVO: 2022/01 
QUESTÕES 
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 
 
Crescimento populacional 
 
1. O modelo mais simples de crescimento populacional considera que o crescimento de uma 
população é proporcional a quantidade de indivíduos inicialmente presentes. Um criador de 
coelhos verificou que sua população cresce a uma taxa mensal de 25%. Qual o número de 
coelhos que o criador terá após 12 meses, considerando que a população inicial era de 32 
coelhos? 
 
2. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer 
instante. Sua população inicial de 20000 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a 
população em 12 anos? 
 
3. Uma substância cresce a uma taxa proporcional ao seu volume inicial. Se a quantidade 
original duplica em um dia, qual será a quantidade existente em 10 dias? 
 
4. Em uma cultura de bactérias, há inicialmente 𝑁0 bactérias. Duas horas depois o número 
passa a ser (1/3)𝑁0. Considerando que a taxa de crescimento seja proporcional ao número 
inicialmente presente, determine o tempo necessário para que o número de bactérias seja 
quadruplicado. 
 
5. Em uma cultura de bactérias, o crescimento populacional é proporcional a quantidade 
presente. Inicialmente há doze fileiras de bactérias, e após duas horas, a população 
aumentou em 20%. 
(𝑎) Determine uma equação para o número aproximado de fileiras de bactérias no instante 𝑡. 
(𝑏) O tempo necessário para que ocorra a duplicação do número inicialmente presente. 
 
6. Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se 
inicialmente, há 150 miligramas do material e se, após dois anos, 6% do material decaíram, 
determine a expressão da massa no instante arbitrário 𝑡 e o tempo necessário para a perca 
de 15% do material. 
 
7. A população de certo país cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes. Sete 
anos atrás a população era de 70 milhões e atualmente é de 80 milhões. Supondo que essa 
 
 
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 tendência se mantenha, determine: 
(𝑎) Uma equação que represente o número de habitantes no instante 𝑡. 
(𝑏) O número de habitantes no final dos próximos cinco anos. 
 
8. Quando um raio de luz passa através de uma substância transparente, a taxa na qual sua 
intensidade 𝐼 decresce é proporcional a 𝐼(𝑠), em que 𝑠 representa a espessura do meio (em 
metros). No mar, a intensidade a 5 metros abaixo da superfície é 20% da intensidade inicial 
𝐼0 do raio incidente na superfície. Qual é a intensidade do raio a 15 metros abaixo da 
superfície? 
 
9. Em uma população de 1000 camundongos, 10 foram intencionalmente infectados com uma 
doença contagiosa a fim de se comprovar uma teoria de disseminação de uma epidemia, 
segundo a qual a taxa de variação da população infectada é proporcional ao produto do 
número de infectados pelo número de não infectados. Sabendo que após 5 horas, 25 
camundongos haviam sido infectados, qual o tempo necessário para que 50% da população 
tenha sido contaminada pela doença? 
 
Ciências Econômicas 
10. Em capitalização contínua, o valor aplicado 𝑁 aumenta a uma taxa proporcional a 
quantidade presente. Isto é 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝑘𝑁 
 em que 𝑘 é a taxa anual de juros. 
(𝑎) Determine o montante acumulado ao longo de cinco anos, considerando uma aplicação de 
 𝑅$ 8.000,00 a uma taxa de 3,5% em capitalização contínua. 
(𝑏) Em quanto tempo o valor inicial aplicado quadruplicará? 
 
11. Um investidor aplica R$8.000,00 numa conta em favor de um dos filhos. Admitindo que 
não haja depósitos nem retiradas, de quanto a criança disporá ao atingir a idade de 18 anos, 
se o banco aplica juros de 4,5% ao ano compostos continuamente durante todo o período? 
 
12. Determine a taxa de juros necessária para quadruplicar um investimento em 5 anos sob 
capitalização contínua. 
 
Mudança de temperatura 
 
13. A lei de resfriamento de Newton, é um bom modelo para situações de aquecimento ou 
resfriamento em pequenos intervalos de tempo. Essa lei diz que a variação de temperatura 
de um objeto é diretamente proporcional a diferença entre sua temperatura e a temperatura 
do meio. 
 
 
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 Um pão foi retirado do forno à temperatura de 200ºC e, colocado sobre a mesa de um ambiente 
à temperatura de 30ºC. Após 10 minutos, a temperatura do pão foi medida e o termômetro 
marcou 170ºC. Quanto tempo levará para que o pão atinja a temperatura de 30ºC, após ser 
retirado do forno? 
 
14. Um empadão quente, que foi cozido a uma temperatura constante de 250ºC, é tirado 
diretamente de um forno e colocado ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que 
a temperatura ambiente é de 10ºC. Após 5 minutos na sombra, a temperatura do empadão 
está reduzida a 175ºC. Determine a temperatura do empadão após 20 minutos e o tempo 
necessário para que a temperatura do empadão seja de 200ºC. 
 
15. Um corpo à temperatura de 50°𝐶 é colocado em um forno cuja temperatura é mantida em 
150°𝐶. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 75°𝐶, determine o tempo 
necessário para que o corpo atinja a temperatura de 100°𝐶. 
 
16. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em refrigerador com uma temperatura 
constante de 0°𝐶. Se, após 20 minutos, a temperatura do corpo é de 40°𝐶, e após 40 
minutos é de 20°𝐶, determine a temperatura inicial do corpo. 
 
17. Prepara-se chá em uma taça pré-aquecida com água quente de modo que a temperatura 
tanto da taça quanto do chá seja inicialmente de 190°𝐶. Deixa-se então a taça resfriar em 
um ambiente mantido à temperatura constante de 72º𝐶. Dois minutos mais tarde, a 
temperatura do chá é de 150°𝐶. Determine a temperatura do chá após 5 minutos e o tempo 
necessário para que o chá atinja 100°𝐶. 
 
Mistura 
18. Um tanque contém 40 litros de uma substância química obtida pela dissolução, em água 
pura, de 120 gramas de uma substância solúvel. Um fluido, contendo 2 gramas desta 
substância por litro, entra no tanque à razão de 3 litros por minuto, e a mistura 
homogeneizada sai do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade da substância no 
tanque após 20 minutos. 
 
19. Um tanque contém 1000 litros de água pura. Uma solução salina contendo 4 𝑔 de sal por 
litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. A mistura é 
drenada a mesma taxa. Encontre a quantidade 𝑄 em gramas de sal no tanque no instante 𝑡. 
 
20. Se no problema anterior a solução for drenada a uma taxa de 15 litros por minuto, quando o 
tanque estará vazio? 
 
21. Um tanque contém 100 litros de um fluido no qual são dissolvidos 15𝑔 de sal. Uma solução 
 
 
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 salina contendo 2𝑔 de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 
2 litros por minuto; a mistura é drenada a uma taxa de 1 litro por minuto. Encontre a 
quantidade de gramas de sal 𝑄(𝑡) no tanque em qualquer instante. 
 
22. Uma bebida contendo 6% de álcool por litro é bombeada em um tonel que inicialmente 
contém 400 litros de uma bebida com 3% de álcool. A taxa de bombeamento é de 3 litros 
por minuto, enquanto o liquido misturado é drenado a uma taxa de 4 litros por minuto. 
Encontre quantos litrosde álcool haverá no tanque no instante t. Qual é a porcentagem de 
álcool após 60 minutos? Quando o tanque estará vazio? 
 
Outras aplicações 
23. A taxa na qual uma droga é disseminada na corrente sanguínea é dada pela equação 
diferencial 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝐴 − 𝐵𝑁 
em que 𝐴 𝑒 𝐵 são constantes positivas. A função 𝑁(𝑡) descreve a concentração de droga na 
corrente sanguínea em relação ao tempo 𝑡. 
(a) Encontre o valor de 𝑁 quando 𝑡 → ∞. 
(b) Quando a concentração atinge metade desse valor limite? Suponha que 𝑁(0) = 0.