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Exerćıcios Sugeridos da 2a Semana 1. Calcular a integral dupla usando coordenadas polares: (a) ∫∫ D y2 x2 + y2 dA, onde D é a região que fica entre os ćırculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9. (b) ∫∫ D x2y dA, onde i) D é o semićırculo superior com centro na origem e raio 1. ii) D é a região limitada pelo ćırculo (x− 1)2 + y2 = 1. (c) ∫∫ D e(−x 2−y2) dA, D é a região limitada pelo semićırculo x = √ 4− y2 e o eixo y. 2. Utilize integral dupla para calcular a área da região (a) Um laço da rosácea de 3 pétalas: r = cos(3θ). (b) A região dentro do ćırculo (x− 1)2 + y2 =1 e fora do ćırculo x2 + y2 =1. 3. Calcule a área da região limitada pelas curvas (a) (x2 + y2)2 = 2xy. (b) ( x2 4 + y2 9 )2 = x2 4 − y 2 9 . 4. Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido (a) Abaixo do cone z = √ x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 4. (b) Dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4. (c) Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1. (d) Dentro tanto do cilindro x2 + y2 = 4 quanto do elipsóide 4x2 + 4y2 + z2 = 64. 5. Determine o volume do sólido acima do plano xy e limitado pelas superf́ıcies z = 0, x+ y + z = 1 e x2 + y2 = 1. 6. Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. (a) ∫ 3 0 ∫ √9−x2 0 sen (x2 + y2)dydx. (b) ∫ 2 0 ∫ √2x−x2 0 √ x2 + y2dydx. 7. Utilize a transformação dada para calcular a integral 1 (a) ∫∫ R (4x+ 8y)dA, onde R é o paralelogramo com vértices (−1, 3), (1,−3), (3,−1) e (1, 5); x = u− v 4 , y = v − 3u 4 . (b) ∫∫ R x2dA, onde R é a região limitada pela elipse 9x2 + 4y2 = 36; x = 2u, y = 3v. (c) ∫∫ R y2 x dA, onde R é a região entre as parábolas x = 1 − y2 e x = 3(1 − y2); x = v(1− u2), y = u. (d) ∫∫ R (x+ y)e(x+y) 2+(x−y)2√ 2x2 + 2y2 dA, onde R é a região dentro do ćırculo x2 + y2 = 1 com x ≥ y; u = x+ y, v = x− y. Calcule a integral efectuando uma mudança de variáveis apropriada 8. ∫∫ R e(x−y) dA, R é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 3) e (2, 2) (compare esta resolução com a do Exerćıcio 1 (c) da Lista 1) . 9. ∫∫ R cos ( y − x y + x ) dA, onde R é a região trapezoidal com vértices (1, 0) , (2, 0), (0, 2) e (0, 1) . 10. ∫∫ R (x+ y)e(x 2−y2) dA, onde R é o retângulo limitado pelas retas x− y = 0, x− y = 2, x+ y = 0, x+ y = 3. 11. ∫∫ R (2x+1)dA, onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas y = x2, y = x2 + 1, x+ y = 1, x+ y = 2. 12. ∫∫ R e(x+y) dA, onde R é dada pela desigualdade |x|+ |y| ≤ 1. 2
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