Questão resolvida - O único intervalo que a função f(x)x-x_6-(2_3)ln(x) é crescente tem comprimento igual a_ - estudo de função - Cálculo I

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• O único intervalo que a função é crescente tem comprimento f x = x - -( )
x
6
2 2ln x
3
( )
igual a:
 
Resolução:
 
Devemos, primeiro, identificar os pontos críticos de , isso é feito derivando a função e f x( )
igualando a expressão da derivada, os x encontrados, resolvendo a equação, são as 
coordenadas x dos pontos críticos de , dessa forma, derivando ;f x( ) f x( )
 
f x = x - - f' x = 1 - 2 - = 1 - -( )
x
6
2 2ln x
3
( )
→ ( )
x
6
2-1( ) 2
3
1
x
x
3
2
3x
 
f' x = f' x =( )
3x - x - 2
3x
2
→ ( )
-x + 3x - 2
3x
2
 
Já temos o resultado da derivada, igualandoa a zero e arrumando os termos;
 
= 0 -x + 3x - 2 = 0 -x + 3x - 2 = 0 × -1 x - 3x + 2 = 0
-x + 3x - 2
3x
2
→
2
→
2 ( ) → 2
Chegamos em uma equaçãodo 2°, resolvendo;
 
x - 3x + 22
 
x = x' = = = = = 2
- -3 ±
2 ⋅ 1
( ) -3 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2( )2 ( )
→
3 +
2
9 - 8 3 +
2
1 3 + 1
2
4
2
 
 x" = = = = = 1
3 -
2
9 - 8 3 -
2
1 3 - 1
2
2
2
 
Vamos verificar qual o sinal de antes de (em ), entre (emf'(x) x = 1 x =
1
2
x = 1 e x = 2
), e em (em ); x =
3
2
x > 2 x = 3
 
 
 
Para x =
1
2
f' = f' = f' = = =
1
2
- + 3 ⋅ - 2
3 ⋅
1
2
2
1
2
1
2
→
1
2
- + - 2
1
4
3
2
3
2
→
1
2
-1+6-8
4
3
2
-3
4
3
2
-3
4
2
3
 
f' = - f' = - 0, 5 < 0
1
2
6
12
→
1
2
 
 
Para ; x =
3
2
 
f' = f' = f' = = = ⋅
3
2
- + 3 ⋅ - 2
3 ⋅
3
2
2
3
2
3
2
→
3
2
- + - 2
9
4
9
2
9
2
→
3
2
-9+18-8
4
9
2
1
4
9
2
1
4
2
9
 
f' = f' = > 0
3
2
2
36
→
3
2
1
18
 
 
Para ; x = 3
f' 3 = f' 3 = f' 3 = < 0( )
- 3 + 3 ⋅ 3 - 2
3 ⋅ 3
( )2
→ ( )
-9 + 9 - 2
9
→ ( )
-2
9
 
Onde a derivada é negativa, a função decresce e onde a derivada é positiva a função 
cresce, com isso, podemos montar o esquema a seguir;
 
 
21 41
2
3
- +
-
cre
sce
nte
decrescente
decrescente
 
Dessa forma, a função cresce no intervalo ;I = 1, 2] [
Com isso,o comprimento do intervalo é;
 
Comprimento do intervalo 2 - 1 = 1→
 
 
(Resposta )