Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 4 - Resolução de Equações Lineares de primeira
ordem
Resolução de Equações Lineares de
Primeira Ordem
Forma geral: y ′+p(t)y = g(t),
p e g funções contínuas em I = (α, β ) dadas.
Caso I. p(t)≡ 0, i. é, y ′ = g(t).
Basta integrar de ambos os lados, obtendo y(t) =
∫
g(t)dt+C,
onde C é uma constante, obtendo a Solução Geral.
Curvas Integrais. São gráficos das soluções para cada valor
de C. São tangentes ao campo de direções.
Exemplo 1. Determine todas as soluções e faça um esboço
das curvas integrais das equações
(a) y ′ = cos(t), (b) y ′ = et .
Caso II. Equação homogênea de coeficiente constante.
y ′+ay = 0, ou y ′ =−ay , i. é, p(t) = a e g(t)≡ 0.
Basta escrever a equação diferencial como y ′/y =−a e
integrar dos dois lados, obtendo
ln|y(t)|=−at+c .
Aplicando a exponencial de ambos os lados obtem-se que
|y(t)|= K e−at , com K = ec .
Daí a Solução Geral é dada por:
y(t) = Ce−at , com C constante.
Exemplo 2. Resolva o PVI e determine o maior intervalo onde
a solução está definida:
(a) y ′+2y = 0 , y(1) = 3; (b) 2y ′−3y = 0 , y(0) =−1.
Caso III. Equação não homogênea de coeficiente constante.
y ′+ay = g(t), i. é, p(t) = a e g(t) dada.
Fator integrante: função µ = µ(t) positiva tal que multiplicada
na equação transforma o lado esquerdo na derivada de µ y .
(µ y)′ ≡ µ ′ y +µ y ′ = µ y ′+aµ y = µ(t)g(t) .
Logo µ ′ y = aµ y , ou µ ′ = aµ (caso II).
Daí µ(t) = eat e a equação fica:
(
eaty
)′
= eat g(t) .
Integrando dos dois lados, obtemos a Solução Geral:
eaty(t)=
∫
eat g(t)dt+C , ou y(t)=e−at
(∫
eat g(t)dt+C
)
.
Exemplo 3. Resolva o PVI e determine o maior intervalo onde
a solução está definida:
(a) y ′−2y = et , y(0) = 1; (b) y ′+3y = t2, y(−1) = 2.
WIN 7
Rectangle
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Rectangle
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Caso IV. Equação Linear de Primeira Ordem Geral.
y ′+p(t)y = g(t) , p(t) e g(t) funções dadas.
Fator integrante: função µ = µ(t) positiva tal que multiplicada
na equação transforma o lado esquerdo na derivada de µ y .
(µ y)′ ≡ µ ′ y +µ y ′ = µ y ′+p(t)µ y = µ(t)g(t) .
Logo µ ′ y = p(t)µ y , ou µ ′/µ = p(t).
Daí ln[µ(t)] =
∫
p(t)dt ou µ(t) = e
∫
p(t)dt .
Susbtituindo µ(t) na equação diferencial e integrando dos dois
lados, obtemos a Solução Geral.
Exemplo 5. Resolva o PVI e determine o maior intervalo onde
a solução está definida:
(a) ty ′+2y = t2 , y(1) =−1;
(b) ty ′+2y = sen(t) , y(pi/2) = 1.
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