Aula12EDL

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 12 - Vibrações Mecânicas
Modelagem do Sistema Massa-Mola
Problema. Uma massa m é pendurada em uma das
extremidades de uma mola vertical de comprimento original l .
Queremos estudar o movimento do objeto sob a ação das
forças:
• gravitacional g (ou peso da massa = mg) no sentido para
baixo;
• restauradora da mola Fs (oposta ao sentido do
movimento).
Na presença, ou não, dos efeitos de
• um deslocamento inicial;
• uma força de resistência (oposta ao sentido do
movimento);
• forças externas aplicada ao sistema.
Modelagem do Sistema Massa-Mola
• L: alongammento inicial da mola devido à massa.
Se L << 1, então Fs =−k ×L (lei de Hooke).
k : constante da mola (força / comprimento).
Posição de equilíbrio: mg−kL = 0, ou k = mg/L.
• u(t): deslocamento da massa à partir da posição de
equilíbrio.
Da lei do movimento de Newton: mu′′(t) = f (t);
f (t): força total que age sobre a massa.
Modelagem do Sistema Massa-Mola
Lei do movimento de Newton: mu′′(t) = f (t);
f (t): força total que age sobre a massa.
• A força da mola, Fs, é proporcional ao alongamento total
L+u(t) (sentido oposto ao movimento)
• Se L+u > 0, então a mola está distendida e Fs puxa para
cima. Daí:
Fs(t) =−k [L+u(t)].
• Se L+u < 0, então a mola está comprimida de
|L+u|=−(L+u). Daí:
Fs(t) = k |L+u|=−k [L+u(t)].
Em ambos os casos Fs(t) =−k [L+u(t)].
Modelagem do Sistema Massa-Mola
Lei do movimento de Newton: mu′′(t) = f (t);
f (t): força total que age sobre a massa.
• Força restauradora da mola, Fs(t) =−k [L+u(t)].
• Força de resistência ou de amortecimento: Fd (sentido
oposto ao movimento)
Proporcional ao módulo da velocidade:
Fd(t) = γ |u′(t)|.
γ: constante de amortecimento.
• Se u′(t) > 0, então o deslocamento u está aumentando
(para baixo) e Fd puxa para cima. Daí:
Fd (t) =−γ |u′(t)|=−γ u′(t).
• Se u′(t) < 0, então o deslocamento u está diminuindo (para
cima) e Fd puxa para baixo. Daí:
Fd (t) = γ |u′(t)|= γ (−)u′(t) =−γ u′(t).
Em ambos os casos Fd(t) =−γ u′(t).
Modelagem do Sistema Massa-Mola
Lei do movimento de Newton: mu′′(t) = f (t);
f (t): força total que age sobre a massa.
• Peso da massa: mg.
• Força restauradora da mola: Fs(t) =−k [L+u(t)].
• Força de resistência ou de amortecimento: Fd(t) =−γ u′(t)
• Força externa imposta: F (t) dada.
Modelo matemático para o deslocamento.
mu′′(t) = mg +Fs(t)+Fd (t)+F (t)
= mg−k [L+u(t)]− γ u′(t)+F (t) .
Como mg−k L = 0, o sistema massa mola é modelado pela
EDL de segunda ordem:
mu′′(t)+ γ u′(t)+k u(t) = F (t) .
O Sistema Massa-Mola
mu′′(t)+γ u′(t)+k u(t) = F (t) ,
m > 0, γ ≥ 0, k ≥ 0 : constantes, F : dada.
Vibrações livres não amortecidas.
F (t)≡ 0, γ = 0 =⇒ mu′′+k u = 0 .
Solução. u(t) = Acos(w0 t)+B sen(w,t),
com w0 =
√
k/m (frequência natural),
A e B constantes arbitrárias.
Exemplo 1. Uma massa de 100g estica uma mola de 5cm do
seu comprimento original. Se a mesma é colocada em
movimento, a partir de sua posição de equilíbrio, com uma
velocidade apontando para baixo de 10cm/s, e se não há
amortecimento, determine a posição da massa em qualquer
instante. Quando a massa retorna pela primeira vez à sua
posição de equilíbrio?
O Sistema Massa-Mola
mu′′(t)+γ u′(t)+k u(t) = F (t) ,
m > 0, γ ≥ 0, k ≥ 0 : constantes, F : dada.
Vibrações livres amortecidas. F (t)≡ 0 : mu′′+ γ u′+k u = 0 .
Obs 1. Raizes com parte real negativa =⇒ limt→∞ u(t) = 0.
Obs 2. Movimento oscilatório quando γ2−4k m < 0:
u(t) = e−γ t/2m [Acos(µ t)+B sen(µ t)], µ =
√
4k m− γ2
2m > 0.
Exemplo 2. Uma mola é esticada de 10cm por uma força de
3N. Uma massa de 2kg é pendurada na mola e presa a um
amortecedor viscoso que exerce uma força de 3N quando a
velocidade da massa é 5m/s. Se a massa é puxada 5cm
abaixo de sua posição de equilíbrio e dada uma velocidade
inicial para baixo de 10cm/s, determine a sua posição u(t).
Encontre a frequência µ e a razão entre µ e a frequência
natural do movimento sem o amortecimento.
O Sistema Massa-Mola
mu′′(t)+γ u′(t)+k u(t) = F (t) ,
m > 0, γ ≥ 0, k ≥ 0 : constantes, F : dada.
Vibrações Forçadas com Amortecimento.
mu′′+ γ u′+k u = F0 cos(ω t) .
Forma da solução:
u(t) = [c1 u1(t)+c2 u2(t)]+ [Acos(ω t)+B sen(ω t)]
= uc(t) + U(t).
uc(t): solução transiente (tende a desaparecer quando t → ∞).
U(t): solução estacionária (persiste no tempo).
Ressonância: ω coincide com a parte imaginária de uma raiz
característica complexa,
u(t) = [c1 u1(t)+c2 u2(t)]+ t [Acos(ω t)+B sen(ω t)].
Daí limt→∞ u(t) = ∞!
O Sistema Massa-Mola
mu′′(t)+γ u′(t)+k u(t) = F (t) ,
m > 0, γ ≥ 0, k ≥ 0 : constantes, F : dada.
Vibrações Forçadas com Amortecimento.
Exemplo 3. Uma massa de 4 lb estica uma mola em 1,5 in. A
massa é deslocada 2 in no sentido positivo e é solta sem
velocidade inicial. Se não há amortecimento, mas há a ação de
um força externa dada por F (t) = 2cos(3 t) lb, encontre a
solução do problema e determine qual a frequência a ser
evitada na ação de uma força externa da forma
F (t) = 2cos(ω t) lb para que não haja ressonância.