Aula18EDL-SistemasResolucao1

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 18 - Sistemas Lineares Homogêneos - Resolução 1
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz real n×n (as entradas são números reais).
Sejam r um número real ou complexo (escalar) e V um vetor
não nulo de n componentes reais ou complexas.
• r é um autovalor (ou valor característico) da matriz A se
det(A− rI) = 0 .
• V é um autovetor de A associado ao autovalor r se
(A− r I)V = 0 (ou AV = r V ),
em que I denota a matriz identidade n×n.
Polinômio Característico: p(r) = det(A− rI), (grau n).
Equação Característica: det(A− rI) = 0.
Exemplo 1. Encontre os autovalores e autovetores da matriz
A =
(
1 1
4 1
)
.
Sistemas Lineares Homogêneos de
Coeficientes Constantes (SLHCC)
O método dos Autovalores e Autovetores.
Seja A uma matrix real n×n. Considere o sistema
(SLHCC) X ′ = AX .
Procure soluções da forma X (t) = ert V , onde V é um vetor de
constantes, nem todas nulas, e r é um escalar.
Substituindo X (t) em (SLHCC) obtemos:
X ′(t) = r ert V , AX (t) = ert AV .
Portanto,
r ert V = ert AV ou (A − rI)V = 0 .
Logo, X (t) = ert V será solução de (SLHCC), se r for um
autovalor da matrix A com autovetor associado V .
Sistemas Lineares Homogêneos de
Coeficientes Constantes (SLHCC)
(SLHCC) X ′ = AX .
X (t) = ert V será solução de (SLHCC), se r for um autovalor da
matrix A com autovetor associado V .
Exemplo 2.
(a) Determine duas soluções do sistema x ′1 = x1 +x2,
x ′2 = 4x1 +x2.
(b) Mostre que as soluções encontradas no item (a) são LI.
(c) Escreva a solução geral do sistema.
(d) Encontre a solução do PVI para o sistema, considerando
que X (0) =
(
1
1
)
.
Sistemas Lineares Homogêneos de
Coeficientes Constantes (SLHCC)
(SLHCC) X ′ = AX .
X (t) = ert V será solução de (SLHCC), se r for um autovalor da
matrix A com autovetor associado V .
Casos:
(I) A matriz A possui n autovalores reais e distintos
r1, r2, . . . , rn.
(II) A matriz A possui algum par de autovalores complexos,
digamos, λ ± iµ.
(III) A matriz A possui algum autovalor repetido, digamos,
r1 = r2 = · · ·= rk , com 1 < k ≤ n.
(SLHCC) X ′ = AX
Caso I: A matriz A possui n autovalores reais e distintos
r1, r2, . . . , rn.
Teorema de Álgebra Linear. A possui n autovetores
V 1,V 2, . . .V n, LI entre si, associados à r1, r2, . . . , rn, respect.
Soluções LI de (SLHCC):
X 1(t) = er1tV 1, X 2(t) = er2tV 2, . . . ,X n(t) = erntV n .
Solução Geral de (SLHCC):
X (t) = c1er1tV 1 +c2er2tV 2 + · · ·+cnerntV n .
Exemplo 3.
(a) Determine a solução geral de x ′1 = 3x1−2x2, x ′2 = 2x1−2x2.
(b) Sabendo-se que A é uma matriz 3×3 com autovalores
r1 =−1, r2 = 0 e r2 = 3, cujos autovetores associados são
V 1 = (1,0,0)T , V 2 = (1,1,0)T e V 3 = (1,1,1)T ,respect.,
escreva a solução geral do sistema X ′ = AX .
(SLHCC) X ′ = AX
Caso II: A matriz A possui um par de autovalores complexos
rk = λ + iµ e rk+1 = λ − iµ (µ 6= 0, 1≤ k ≤ n−1).
Teorema de Álgebra Linear. A possui o par de autovetores
V k = V k1 + iV k2 e V k+1 = V k1 − iV k2 (V 2 6= 0), LI entre si,
associados à rk = λ + iµ e à rk+1 = λ − iµ, respect.
Soluções (complexas!) LI de (SLHCC):
X a(t) = e(λ+iµ)t
[
V k1 + iV k2
]
, X b(t) = e(λ−iµ)t
[
V k1 − iV k2
]
.
Soluções (reais!) LI de (SLHCC):
X k (t) = 12
[
X a(t)+X b(t)
]
= eλ t
[
cos(µt)V k1 −sen(µt)V k2
]
,
X k+1(t) = 12i
[
X a(t)−X b(t)
]
= eλ t
[
sen(µt)V k1 +cos(µt)V k2
]
.
(SLHCC) X ′ = AX
Caso II: A matriz A possui um par de autovalores complexos
rk = λ + iµ e rk+1 = λ − iµ (µ 6= 0, 1≤ k ≤ n−1), com
autovetores V k = V k1 + iV k2 e V k+1 = V k1 − iV k2 , respect.
Soluções (reais!) LI de (SLHCC):
X k (t) = eλ t
[
cos(µt)V k1 −sen(µt)V k2
]
,
X k+1(t) = eλ t
[
sen(µt)V k1 +cos(µt)V k2
]
.
Exemplo 4.
(a) Determine a solução geral do sistema x ′1 = 3x1−2x2,
x ′2 = 4x1−x2.
(b) Sabendo-se que A é uma matriz 3×3 com autovalores
r1 = 1, r2 = 2 i e r3 = r2, cujos autovetores associados são
respectivamente V 1 = (2,−3,3)T , V 2 = (0,0,1)T + i(0,1,0)T e
V 3 = V 2, escreva a solução geral do sistema X ′ = AX .