Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica - Vetores

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
1) Dados os vetores u e v da figura, mostrar, num gráfico um representante do vetor: 
 
a) u v− ; 
b) v u− 
c) 2v u− − 
d) 2 3u v− 
SOLUÇÃO: 
 
a) u v− 
 
 
b) v u− 
 
c) 2v u− − 
 
 
 
d) 2 3u v− 
 
 
 
2 
 
 
2) Dados os vetores a , b e c , como na figura, apresentar um representante de cada um dos 
vetores: 
 
a) 4 2a b c− − 
b) a b c+ + 
c) ( )2b a c− + 
 
SOLUÇÃO: 
3) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é 060 , determinar o ângulo formado pelos 
vetores: 
a) u e v− 
b) u− e v 
c) u− e v− 
d) 2u e 3v 
SOLUÇÃO: 
a) O ângulo entre os vetores v e v− é de 0180 e o ângulo entre os vetores v e u é de 
060 , logo o ângulo entre os vetores u e v− é de 0 0 0180 60 120− = . 
b) Pelo mesmo motivo do item anterior, o ângulo entre os vetores u− e v é de 0120 . 
c) O ângulo entre os vetores u− e v− é igual ao ângulo entre os vetores u e v , de 060 
d) O ângulo entre os vetores 2u e 3v é igual ao ângulo entre os vetores u e v , de 060
. 
a) 4 2a b c− − 
 
b) a b c+ + 
 
c) ( )2b a c− + 
 
 
3 
 
 
4) Determine a extremidade do segmento que representa o vetor ( )2, 5v = − , sabendo que 
sua origem é o ponto ( )1,3A = − . 
SOLUÇÃO: 
O vetor v é equipolente ao vetor AB , isto é, v tem o mesmo módulo, direção e sentido do 
vetor AB . 
Seja ( ),B x y= , então: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2, 5 , 1,3
2, 5 1, 3
1 2 1
3 5 2
1, 2
v B A x y
x y
x x
y y
B
= −  − = − −
− = + −
+ =  =

− = −  = −
= −
 
Interpretação geométrica: 
 
5) Dados os vetores ( )3, 1u = − e ( )1, 2v = − , determine o vetor w tal que: 
a) ( )
1
4 2
3
u v w u w− + = − 
b) ( ) ( )3 2 2 4 3w v u w u− − = − 
SOLUÇÃO: 
a) 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
4 2
3
1 1 4
4 4 2 2 4 4 2 4 4 6 12
3 3 3
3, 1 ; 1,2 ; ,
4 , 6 3, 1 12 1,2 4 ,4 18,6 12,24 4 ,4 30,30
30
4 30 7,5
4
30
4 30 7,5
4
7,5;7,5
u v w u w
u v w u w w w u u v w u v w u v
u v w x y
x y x y x y
x x
y y
w
− + = −
− + = −  + = − +  = − +  = − +
= − = − =
= − − + −  = − + −  = −

= −  = − =

 =  = =

= −
 
4 
 
b) ( ) ( )3 2 2 4 3w v u w u− − = − 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 8 6 8 3 2 6 5 7 2
3, 1 ; 1,2 ; ,
5 , 7 3, 1 2 1,2 5 ,5 21, 7 2, 4 5 ,5 23, 11
23
5 23
5
11
5 11
5
23 11
,
5 5
w v u w u w w v u u w u v
u v w x y
x y x y x y
x x
y y
w
− + = −  − = − + +  = −
= − = − =
= − − −  = − + −  = −

=  =

 = −  = − =

 
= − 
 
 
6) Dados os pontos ( ) ( )1,3 , 2,5A B− e ( )3, 1C − , calcular ,OA AB OC BC− − e 3 4BA CB− . 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1,3 0,0 1,3
2,5 1,3 3,2
1,3 3,2 4,1
OA A O
AB B A
OA AB
= − = − − = −
= − = − − =
− = − − = −
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3, 1 0,0 3, 1
3, 1 2,5 1, 6
3, 1 1, 6 2,5
OC C O
BC C B
OC BC
= − = − − = −
= − = − − = −
− = − − − =
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1,3 2,5 3, 2
2,5 3, 1 1,6
3 4 3 3, 2 4 1,6
3 4 9, 6 4,24 5, 30
BA A B
CB B C
BA CB
BA CB
= − = − − = − −
= − = − − = −
− = − − − −
− = − − − − = − −
 
 
7) Dados os vetores ( )3, 4u = − e 
9
,3
4
v
 
= − 
 
, verificar se existem números a e b tais que 
u av= e v bu= . 
SOLUÇÃO: 
( )3, 4u = − ;
9
,3
4
v
 
= − 
 
 
( )
9 9
3, 4 ,3 ,3
4 4
9 12 4
3
4 9 3
4
3 4
3
u av a a a
a a
a a
   
=  − = − = −   
   

− =  = − = −

 = −  = −

 
( )3, 4u = −
9
,3
4
v
 
= − 
 
 
( ) ( )
9
,3 3, 4 3 , 4
4
9 9 3
3
4 12 4
3
4 3
4
v bu b b b
b b
b b
 
=  − = − = − 
 

= −  = − = −

− =  = −

 
Portanto 
4 3
;
3 4
a b= − = − 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
8) Dados os vetores ( ) ( )2; 4 , 5;1u v= − = − e ( )12;6w = − , determinar 1k e 2k tal que 
1 2w k u k v= + . 
SOLUÇÃO: 
1 2w k u k v= + 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
2 2
1 1 1 1
1 2
12;6 2; 4 5;1
12;6 2 ; 4 5 ;
12;6 2 5 ; 4
2 5 12( )
4 6( )
2( ) ( ) 4 10 4 24 6
18
9 18 2
9
2
( ) 2 5 2 12 2 10 12 2 2 1
2
1 2
k k
k k k k
k k k k
k k I
k k II
I II k k k k
k k
I k k k k
k k
− = − + −
− = − + −
− = − − +
− = −

− + =
+  − − + = − +
− = −  = =
 −  = −  − = −  = −  = − = −
= −  =
 
9) Dados os pontos ( ) ( ) ( )1;3 , 1;0 , 2; 1A B C− − , determinar D tal que DC BA= . 
SOLUÇÃO: 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
;
2; 1 ; 1;3 1;0 2 ; 1 1 1;3 0
2 ; 1 2;3
2 2 2 2 4
1 3 1 3 4
4 4 4; 4
D x y
DC BA C D A B
x y x y
x y
x x
y y
x y D
=  − = −
− − = − −  − − − = − − −
− − − = −
− = −  = + =

− − =  = − − = −
=  = −  −
 
10) Dados os pontos ( ) ( )2; 3;1 , 4;5; 2A B− − , determinar o ponto P tal que AP PB= . 
SOLUÇÃO: 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; ;
; ; 2; 3;1 4;5; 2 ; ; 2; 3; 1 4 ;5 ; 2
6
2 4 4 2 2 6 3
2
2
3 5 5 3 2 2 1
2
1
1 2 2 1 2 1
2
1 1
3 1 3;1;
2 2
P x y z
AP PB P A B P
x y z x y z x y z x y z
x x x x x x
y y y y y y
z z z z z z
x y z P
=  − = −
− − = − −  − + − = − − − −

− = −  + = +  =  = =


+ = −  + = −  =  = =


− = − −  + = − +  = −  = −

 
=  =  = −  − 
 
 
 
 
 
 
6 
 
11) Dados os pontos ( ) ( )1;2;3 , 4; 2;0A B− − , determinar o ponto P tal que 3AP AB= . 
SOLUÇÃO: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;
3 3
; ; 1;2;3 3 4; 2;0 1;2;3 1; 2; 3 3 4 1; 2 2;0 3
1; 2; 3 3 5; 4; 3 15; 12; 9
1 15 15 1 14
2 12 12 2 10
3 9 9 3 6
14 10 6 1
P x y z
AP AB P A B A
x y z x y z
x y z
x x x
y y y
z z z
x y z P
=  − = −
− − = − − −  + − − = + − − −      
+ − − = − − = − −
+ =  = −  =

− = −  = − +  = −
 − = −  = − +  = −
=  = −  = −  ( )4; 10; 6− −
 
12) Determinar o vetor v sabendo que ( ) ( )3;7;1 2 6;10;4v v+ = − . 
SOLUÇÃO: 
( ); ;v x y z= 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3;7;1 2 6;10;4
3;7;1 2 ; ; 6;10;4 ; ; 3;7;1 2 ;2 ;2 6 ;10 ;4
3 2 ;7 2 ;1 2 6 ;10 ;4
3 2 6 2 6 3 3 3 1
7 2 10 2 10 7 3 3 1
1 2 4 2 4 1 3 3 1
1 1;1;1
v v
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
x x x x x x
y y y y y y
z z z z z z
x y z v
+ = −
+ = −  + = − − −
+ + + = − − −
+ = −  + = −  =  =

+ = −  + = −  =  =
 + = −  + = −  =  =
= = =  =
 
13) Encontrar 1 2,a a tais que 1 1 2 2w a v a v= + , sendo ( ) ( ) ( )1 21; 2;1 , 2;0; 4 , 4; 4;14v v w= − = − = − − . 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( )1 21; 2;1 , 2;0; 4 , 4; 4;14v v w= − = − = − − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 2 1 1 1 2 2
1 2 1 1 2
4; 4;14 1; 2;1 2;0; 4 4; 4;14 ; 2 ; 2 ;0; 4
4; 4;14 2 ; 2 ; 4
w a v a v
a a a a a a a
a a a a a
= +
− − = − + −  − − = − + −
− − = + − −
 
1 2 2 2 2 2
1 1
1 2
1 2
2 4 2 2 4 2 4 2 2 6 3
2 4 2
4 14
2 3
a a a a a a
a a
a a
a a
+ = −  + = −  = − −  = −  = −

− = −  =
 − =
=  = −
 
14) Determinar ,a b de modo que os vetores ( ) ( )4;1; 3 , 6; ;u v a b= − = sejam paralelos. 
SOLUÇÃO: 
 
Condição de Paralelismo de Dois Vetores: 
( ); ; ; ; ;u x y z v l m n
yx zu v k
m nl
 
 
 
= =
 = = =
 
 
 
7 
 
 
Condição de Colinearidade de Três Pontos: 
, , /A B C r k R AC k AB   = 
 
( ) ( )4;1; 3 , 6; ;
4 1 3
6
4 1 1 2 3
2 3
6 3 2
4 3 4 3 3 2 9
2 9
6 6 3 2
u v a b
u v
a b
a a
a a
b b
b b b
= − =
−
 = =
=  =  =  =
− − −
=  =  =  = −  = −
 
15) Verifique se são colineares os pontos: 
a) ( ) ( ) ( )1; 5;0 , 2;1;3 , 2; 7; 1A B C− − − − − 
b) ( ) ( ) ( )2;1; 1 , 3; 1;0 , 1;0;4A B C− − 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) ( ) ( )1; 5;0 , 2;1;3 , 2; 7; 1A B C− − − − − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , /
2; 7; 1 1; 5;0 2;1;3 1; 5;0 1; 2; 1 3;6;3
1
3 1
3
1
6 2
3
1
3 1
3
A B C r k R AC k AB
C A k B A k k
k k
k k
k k
    =
− = −  − − − − − − = − − −  − − − =  

= −  = −


= −  = −


= −  = −

 
Logo os pontos são colineares. 
b) ( ) ( ) ( )2;1; 1 , 3; 1;0 , 1;0;4A B C− − 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2;1; 1 , 3; 1;0 , 1;0;4, , /
1;0;4 2;1; 1 3; 1;0 2;1; 1 1; 1;5 1; 2;1
1
1
2 1
2
A B C
A B C r k R AC k AB
C A k B A k k
k
k k
− −
    =
− = −  − − = − − −  − − = −  
= −


− = −  =

 
Logo os pontos não são colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
16) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos ( ) ( ) ( )3;1; 2 , 1;5;1 , ; ;7A B C a b− . 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( )3;1; 2 , 1;5;1 , ; ;7A B C a b− 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
, , /
; ;7 3;1; 2 1;5;1 3;1; 2 3; 1;9 2;4;3
3 9 3
3 2 3 3 2 3 6 3
1 4 1 4 3 1 12 13
3 13 3;13;7
A B C r k R AC k AB
C A k B A a b k a b k
k k
a k a a a
b k b b b
a b C
    =
− = −  − − = − −  − − = −  
=  =

− = −  − = −  − = −  = −

− =  − =   − =  =
= −  =  −
 
17) Mostrar que os pontos ( ) ( ) ( ) ( )4;0;1 , 5;1;3 , 3;2;5 , 2;1;3A B C D são vértices de um 
paralelogramo. 
SOLUÇÃO: 
 
 
Condição de quatro pontos serem vértices de um paralelogramo: 
 
AB CD AD BC= = 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )4;0;1 , 5;1;3 , 3;2;5 , 2;1;3A B C D 
Os pontos , , ,A B C D são vértices de um paralelogramo se e, somente se: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
5;1;3 4;0;1 1;1;2
2;1;3 3;2;5 1; 1; 2 1;1;2
AB CD AD BC
AB CD
AB B A
CD D C
B A D C AB CD
=  =

= − = − =
= − = − = − − − = −
− = − −  = −
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2,1,3 4;0;1 2;1;2
3,2,5 5;1;3 2;1;2 1;1;2
AD BC
D A
C B
D A C B AD BC

− = − = −
− = − = − = −
− = −  =
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
18) Determinar o simétrico do ponto ( )3;1; 2P − em relação ao ponto ( )1;0; 3A − − . 
SOLUÇÃO: 
 
Seja 'P o simétrico do ponto ( )3;1; 2P − em relação ao ponto ( )1;0; 3A − − . Então A é o ponto 
médio do segmento 'PP , onde ( )' ; ;P x y z , portanto: 
3
1 3 2 5
2
x
x x
+
− =  + = −  = − 
1
0 1 0 1
2
y
y y
+
=  + =  = − 
( )2
3 2 6 4
2
z
z z
+ −
− =  − = −  = − 
( )' 5; 1; 4P − − −