CONTROLE I_AULA_de SIST 2_a ORDEM

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Continuação de Princípios de Análise no domínio do tempo
OBJETIVOS
· Analisar os sistemas com base nas entradas dadas, através de sinais usuais
· Conceituar e analisar os sistemas de segunda ordem
· Trabalhar com as características, critérios de desempenho e com as FT’s de 2ª ordem
REFERÊNCIAS DA AULA
DUARTE FILHO, M. Síntese de controlador PID para controle de pH em um reator com otimização via algoritmos genéticos. 2014. 93f. Dissertação (Mestrado). Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro – UENF. Campos dos Goytacazes, RJ, 2014. Disponível em: http://uenf.br/posgraduacao/engenharia-de-producao/wp-content/uploads/sites/13/2013/04/Disserta%C3%A7%C3%A3o-Vers%C3%A3o-final_Mois%C3%A9s-Duarte-Filho.pdf Acesso em: 18 jun. 2018.
FRANKLIN, G. F.; POWELL, D.; EMANI-NAEINI, A. Sistemas de controle para engenharia. 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2013, cap 2.
OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall. cap 5.
Bibliografia básica e complementar:
	OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall.
NISE, Norman, S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
AGUIRRE, L. A. Enciclopédia de Automática: Controle & Automação. Volume II. Editora Blücher. 2007
Questão 1: (adaptada de concurso) um sistema linear e invariante no tempo de segunda ordem tem a seguinte FT em malha fechada Para esse sistema, o coeficiente de amortecimento, a frequência natural não-amortecida e sua classificação quanto ao amortecimento são, respectivamente:
a) 0,86; 3,6; subamortecido
b) 0,55; 4; subamortecido
c) 0,55; 4; sobre-amortecido
d) 0,69; 3,6; subamortecido
e) 0,69; 3,6; sobre-amortecido
GABARITO: Como sabemos que a forma genérica para um sistema de segunda ordem é podemos encontrar O sistema é subamortecido, pois . Logo, a alternativa correta é a letra “d”.
QUESTãO 2: (adaptada de concurso) Considerando que a seguinte FT em malha fechada a seguir representa a resposta a um degrau unitário de um sistema de segunda ordem, , assinale a alternativa incorreta:
a) a frequência natural não amortecida é 5 rad/s;
b) o tempo de acomodação para o critério de 2% é 1 s; 
c) o coeficiente de amortecimento é 0,8;
d) o sistema é sobreamortecido;
e) os polos do sistema se encontram localizados no semiplano esquerdo do plano complexo	
GABARITO: Letra “d”. Ao conferir todas as outras alternativas matematicamente o aluno verá que estão corretas; como e se localiza entre 0 e 1 , o sistema é subamortecido e não sobreamortecido.
QUESTÃO 3: O gráfico a seguir mostra a resposta a uma entrada em degrau unitário para um sistema. Supondo ser este um sistema de segunda ordem, como ficará sua função de transferência genérica?
GABARITO: podemos perceber por análise visual do gráfico que o máximo de sobressinal vale 37% e o tempo de pico vale 4 segundos. De posse dessas informações, iremos encontrar os valores dos coeficientes de amortecimento e frequência natural não amortecida, necessários para a FT de 2.a ordem.
***tempo de pico tp = 
*** Máximo de sobressinal Mp = 
Utilizando esse valor na fórmula do tempo de pico temos:
= 
Como sabemos a forma genérica de uma função de transferência de segunda ordem é
Questão 4: (adaptada de Ogata (2003)) Considere um sistema de controle de posição de um satélite mostrado na parte (a) da figura a seguir. A saída do sistema apresenta oscilações continuadas não desejáveis. Esse sistema pode ser estabilizado pelo uso de realimentação tacométrica, como mostra a parte (b) da figura. Se K/J = 4, que valor de Kh resultará em um coeficiente de amortecimento igual a 0,6?
GABARITO: para a redução do diagrama de blocos da parte (b) da figura temos:
Fazendo a primeira realimentação (interior):
APRESENTAÇAO DA AULA
Olá alunos! Dando continuidade a nossa disciplina, nesta aula você aprenderá a lidar com os sistemas de segunda ordem: sua função de transferência na forma padrão, e seus critérios de desempenho. Boa Aula!
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Um sistema de segunda ordem possui uma equação do 2º grau no denominador de sua função de transferência, ou dois polos, como veremos no exemplo logo a seguir. Vamos a partir daqui obter a resposta do sistema de controle típico de segunda ordem às entradas conhecidas (degrau, impulso, etc). Para isso, vamos utilizar um exemplo e trabalhar com ele.
Exemplo (adaptação feita no exemplo e definições de Ogata (2003), 4ª ed, a partir da página 183): a figura a seguir mostra um servossistema com um controlador proporcional (ganho K) e elementos de carga (elementos de inércia e atrito viscoso). Deseja-se controlar a posição da saída c de acordo com a posição de entrada r.
 A equação para os elementos de carga é
 onde T é o torque produzido pelo controlador proporcional.
Então a função de transferência entre C(s) e T(s), após uso da transformada de Laplace para resolução e condições iniciais nulas, é
Fonte: adaptada de Ogata (2003)
E a função de transferência de malha fechada, após a realimentação unitária na parte (c) da figura, é
Esse sistema, em que a função de transferência de malha fechada possui dois polos, é chamado de sistema de segunda ordem.
A FT anterior pode ser reescrita como
que é simplesmente a fatoração em termos das raízes (polos). 	
=> Os polos de malha fechada são complexos conjugados se, e
=> são reais se 
Na análise da resposta transitória, é conveniente escrevermos
Onde 
	
	
Podemos reescrever a FT em termos de . 
Esta é a forma-padrão do sistema de segunda ordem.
***********
=> o comportamento dinâmico do sistema de 2ª ordem pode ser descrito em termos do coeficiente de amortecimento e a frequência natural não amortecida.
	
=> se : a resposta transitória não decai, isto é, vai ficar oscilando indefinidamente, pois a resposta não está amortecida (caso de um controlador on-off, por exemplo);
	=> se : o sistema é chamado de subamortecido. Os polos de malha fechada são complexos conjugados e se situam no lado esquerdo do plano s. A resposta transitória é oscilatória;
	=> se : o sistema é criticamente amortecido, pois sua estabilidade está crítica (já que o sistema tem ao menos um polo no eixo imaginário, o que causa isso; mais sobre assunto de estabilidade você verá nas disciplinas que envolvem controle de processos). Os polos são reais e iguais;
	=> se : o sistema é superamortecido. Os polos de C(s)/R(s) são reais, negativos e desiguais.
OBS 1: (em seu livro, Ogata (2003) faz uma extensa dedução das respostas do sistema a uma entrada em degrau unitário para cada caso exposto anteriormente. Não iremos aqui reescrever o livro, pois esse já se encontra sacramentado. Cabe a você, aluno, buscar, se assim desejar, as deduções. Não há nenhum prejuízo no que foi exposto na aula, muito pelo contrário, o que temos aqui é o necessário para você avançar no entendimento da aula. Só escolhemos suprimir algumas partes/deduções para conveniência do formato da aula).
A figura a seguir mostra uma família de curvas c(t) como resposta ao degrau unitário para diversos valores de , para verificarmos o que foi exposto dos seus valores (sistemas subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido). As curvas estão somente em função de , e a abcissa é a variável adimensional de menor valor.
(OBS: vale salientar que funções de transferência de malha fechada que sejam diferentes da que expomos aqui terão curvas diferentes para respostas ao degrau das mostradas na figura)
Fonte: adaptada de Ogata (2003)
A partir da análise dessa figura podemos perceber que um sistema subamortecido que varia entre 0,5 e 0,8 se aproxima mais rapidamente do valor final do que um sistema criticamente amortecido ou superamortecido.
Entre os sistemas que apresentam resposta sem oscilação, um sistema criticamente amortecido é o que fornece a resposta mais rápida.
A resposta de um sistema superamortecido é sempre mais lenta, independente de qual seja o sinal de entrada.
Especificaçõesda resposta transitória 
Em muitos casos práticos, as características de desempenho desejadas de um sistema de controle são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo. Os sistemas que possuem energia armazenada em si não podem responder instantaneamente e fornecerão respostas transitórias sempre que estiverem sujeitos a sinais de entrada ou distúrbios. 
Geralmente as características (ou critérios) de desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos de resposta transitória a uma entrada em degrau unitário, já que este é um sinal gerado com facilidade e suficientemente brusco.
Geralmente são utilizadas técnicas de avaliação de desempenho para os ajustes dos controladores para os sistemas, como as análises sobre os critérios de desempenho (Sobressinal, tempo de subida e estabilização, erro de regime permanente, etc.), que serão vistas nesta aula (Outras técnicas podem ser utilizadas, como por exemplo, a análise da variabilidade (normalmente definida como o dobro do desvio padrão do erro dividido pela média da variável de processo)). 
O principal critério para ajuste do controle de um processo, e que sempre deve ser perseguido, é a estabilidade do mesmo. Alguns critérios na resposta transitória mais utilizados, podem ser definidos como: 
(OBS: como foi dito na OBS 1, não iremos aqui deduzir todas as fórmulas e critérios, mas expor o que é necessário e conveniente para o aluno. O exposto nesta seção a seguir é um resumo do que se encontra em Duarte Filho (2014))
- Tempo morto td: é o tempo de um atraso entre o momento que ocorre uma mudança ou variação da variável de processo e quando essa mudança vem a ser observada; (também pode ser considerado como tempo de atraso, ou o tempo requerido para que a resposta do sistema alcance metade do seu valor final pela primeira vez);
- Tempo de primeira ordem : é o tempo que o processo demora, uma vez iniciada a variação, para chegar aos 63,2% da variação total final. Esse número, 63,2%, é proveniente de uma exponencial que aparece na solução analítica da equação diferencial. Pode-se constatar que 100.(1 – e-¹) = 63,2%, o que já foi dito na aula anterior; 
- Tempo de subida tr: é o tempo que o sistema leva para ir de 10% a 90% do valor do estado estacionário, ou valor final (ou valor de SP). Pode se ter outros tipos de critérios aqui, como Ogata (2007) diz, pode ser o tempo entre 5% e 95%, ou 0% a 100%, depende das condições da planta em si;
- Tempo de pico tp: é o tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobressinal.
- Percentual de Sobressinal Mp (Overshoot ou Máximo de Sobressinal): é o valor que a variável de processo ultrapassa o valor final (ou valor de SP) e chega ao seu maior valor, e é expresso como uma porcentagem do valor final. (OBS: Encontra-se na literatura, como por exemplo, nos artigos de Sharifzadeh; Thornhill (2013)*, Jeng; Chen (2013)8 e principalmente em Sharifi et al. (2010)*, que há um benchmark para esse percentual de Sobressinal. Ele é considerado bom ou satisfatório na indústria quando os sinais são menores ou iguais a 10%, como visto também em Thomasson; Eriksson (2009)* e Tran et al. (2007)*, (*todos esses autores expostos em Duarte Filho (2014)). 
- Tempo de estabilização ts (ou de acomodação): tempo necessário para que a variável do processo chegue dentro de um patamar de porcentagem (normalmente 5% ou 2%) do valor final. 
- Erro de regime permanente: diferença final entre as variáveis do processo e o SP em regime permanente. Note que a definição exata de algumas dessas quantidades varia na indústria (esse critério mais especificamente usado quando se trata do controle de processos).
Outros comportamentos importantes do sistema (além da estabilidade absoluta), segundo Ogata (2007), com os quais é preciso ter consideração especial, são o regime transitório e o erro de regime permanente. Como um sistema físico de controle contém energia armazenada, a saída do sistema (quando este se submete a um sinal de entrada), não segue a entrada de imediato, mas apresenta uma resposta transitória antes que o regime permanente seja alcançado. Por isso deve-se analisar o comportamento na resposta no regime transitório e do erro de regime permanente. Estes critérios podem ser calculados através do acompanhamento da trajetória da variável controlada em relação ao se valor de referência (set-point) desejado ao longo de uma janela de avaliação. 
Os mesmos podem ser visualizados na figura a seguir e sua legenda na tabela:
Figura: Resposta típica do sinal de controle de um sistema de controle em malha fechada
 Fonte: adaptada de Duarte Filho (2014)
Tabela: Legendas da Figura
	número
	Significado
	1
	Máximo Sobressinal
	2
	Tempo de estabilização
	3
	Erro de regime permanente
	4
	Tempo morto
	5
	Tempo de subida
	< ***
	Resposta transitória
	> *** 
	Regime permanente
Ou como expõe Ogata (2007)
Especificações da resposta transitória para sistemas de 2ª ordem: fórmulas
(para deduções completas, vide livro da bibliografia)
Tempo de subida 
tempo de pico onde é a frequência natural amortecida do sistema
Máximo de sobressinal Mp = ; se o valor final da saída for unitário. Se não, o valor final c(∞) será 
Tempo de acomodação ts
Para o critério de 2% temos 
Para o critério de 5% temos 
OBS: existem outros critérios para o tempo de acomodação, porém os mais utilizados são os de 2% e 5%. Franklin et al. (2013) expõe um critério de 1%, que é 
Atividade: (adaptada de Ogata (2003)) Para o sistema em malha aberta a seguir
 , onde , determine o tempo de subida tr, tempo de pico tp, máximo de sobressinal Mp, tempo de acomodação tss (critérios de 2% e 5%), quando o sistema é submetido a uma entrada em degrau unitário.
GABARITO: a partir dos valores de podemos obter
***Tempo de subida tr = 
Então 
***tempo de pico tp = 
*** Máximo de sobressinal Mp = 
(o máximo de sobressinal é dado em porcentagem, logo igual a 25,4%)
***Tempo de acomodação tss
Para o critério de 2% temos 
Para o critério de 5% temos 
ATIVIDADE: Um engenheiro necessitou encontrar, para fins de controle, a função de transferência para um sistema o qual não possui modelagem, em uma parte antiga da indústria onde trabalha. Ele conseguiu inserir na planta uma entrada de referência em degrau unitário e analisar a resposta graficamente através de um instrumento eletrônico. O engenheiro percebeu algumas coisas com o gráfico: a curva se parece com a resposta de sistemas de segunda ordem sob a mesma entrada de referência; conseguiu medir o máximo de sobressinal, e encontrou um acréscimo de 17% acima da entrada de referência; e notou que a curva começou a entrar em regime permanente, visualmente próximo de 98% do valor final, em 30 segundos. De posse desses dados técnicos da planta, qual foi a função de transferência em forma genérica que ele encontrou?
GABARITO: Mp = ; Tss=
Como o máximo de sobressinal informado foi de 17%, substituindo na fórmula temos:
Com o valor do tempo de acomodação para o critério de 2% é igual a 30 segundos, temos
Substituindo os valores do coeficiente de amortecimento e da frequência natural não amortecida, temos a resposta da atividade:
-----------------	início do saiba mais
SAIBA MAIS!!!: Exemplo de resposta ao impulso dos sistemas de segunda ordem e sistemas de ordem superior
1º) Para um impulso unitário sua transformada de Laplace também é unitária. Logo a resposta impulsiva C(s) fica: 
A transformada inversa de Laplace nos fornece a solução no tempo c(t)
=> para 
=> para 
=> para 
(OBS: Note que podemos obter a resposta no tempo c(t) derivando a resposta ao degrau unitário correspondente, sem ter que fazer a inversa de Laplace de C(s), pois a função impulso unitário é a derivada da função degrau unitário, como vimos na Aula 7, aquela propriedade entre as entradas também é válida aqui. As respostas ao degrau unitário você encontra facilmente nas bibliografias).
2º) Quando houver necessidade de se trabalhar com sistemas de ordem superior, você irá perceber que se torna algo não muitofácil manualmente. Por isso deve-se recorrer a métodos computacionais, por exemplo, uso do MatLab ou Scilab. Com isso você verá que a resposta dos sistemas de ordem superior é a soma das respostas de sistemas de primeira e segunda ordem.
------------------------------------------- fim do saiba mais
CONCLUSÃO DA AULA
Aprendemos com essa aula a identificar os sistemas de segunda ordem, analisar suas características, e trabalhar com seus critérios de desempenho. Também vimos que podemos encontrar uma função de transferência na forma padrão baseada em dados obtidos no campo. Essa aula, juntamente com a anterior (Aula 7) nos deu base para abrirmos o entendimento do “leque” que é a área de controle de processos. Toda essa parte de controle depende, em muito, de um bom embasamento nessas aulas. Para mais aprofundamento, busque mais exercícios nas bibliografias. Até a próxima aula!
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