Álgebra Vetorial - Equação da Reta, Equação Paramétrica e Equação Reduzida

Prévia do material em texto

Projeto Álgebra Vetorial – Prof. Hugo Mesquita 
Vetores – Lista 06 
 
 
1- M, N, P e O são pontos coplanares e não todos 
colineares, tais que 
2
5
MN PM= − . Escreva o vetor ON como 
combinação linear dos vetores OM e OP . 
 
2- Calcule a distância do ponto ( )0 1,0, 2P − : 
a) à reta dada pela equação paramétrica 
2 3
1
5
x t
y t
z t
= −

= −
 = −
, t. 
b) ao plano : 2 3 5 10 0x y z − + − = . 
 
3- Qual é a equação do plano que contém o ponto ( )4,1,0A e é 
perpendicular aos planos 
1 : 2 4 6 0x y z − − − = e 2 : 2 3 0x y z + + − = . 
 
4- O ponto P tem coordenadas ( )4,1, 1− e a reta r passa pelo 
ponto ( )0 2,4,1P e é paralela ao vetor ( )1, 1,2v − . Qual é a 
equação do plano que contém P e r? 
 
5- São dados os pontos ( )1,0,0A , ( )0,2,0B , ( )0,0,3C e ( )0,0,0O . 
Sejam r, s e t as retas que contêm os segmentos , ,OA OB OC , 
respectivamente. Encontre a equação geral do plano  
paralelo ao plano que passa pelos pontos , ,A B C e cujos 
pontos de intersecção com as retas r, s e t formem um 
triângulo de área igual a 
7
8
. 
 
6- Sejam ( )1,2, 1P − , Q a projeção ortogonal de ( )1, 1, 2R − − − 
sobre : 1 0x y z + + + = , e  a medida angular entre a reta PQ 
e o plano  . Qual é o valor de cos ? 
 
7- u e v são vetores tais que 1u v = e u v i j k = + + . O ângulo 
entre u e v vale: 
a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 15° 
 
8- Os vetores a e b são perpendiculares e c forma com a e 
b ângulos iguais a 
3
rad

. Se a e c são unitários, 2b = e 
3p a b c= − + , então p vale: 
a) 5 b) 2 c) 15 d) 2 e) 2 3 
 
9- A distância entre os planos 2 2 1 0x y z+ − + = e 
2 4 4 5 0x y z+ − + = é: 
a) 
1
2
 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
10- Seja 
1 2 0
3 4 5
0 1 2
B
 
 
= −
 
 − 
 e ( ) 2
3 3
4 3ijD d B B I
= = − + . Se o número 
natural 
3
1
ii
i
N d
=
= é o produto escalar dos vetores ( )2,11,1u = e 
( )5, , 4w a= , então o valor de 2tg  , onde  é o ângulo formado 
entre u e w, vale: 
a) 
6
19
− b) 
12 3
7
 c) 
17 3
20
− d) 
12 6
19
− e) 
3 7
5
 
 
11- Seja u um vetor ortogonal aos vetores 4 5v i j k= − + e 
2 3w i j k= − + . Se o produto escalar de u pelo vetor i j k+ + é 
igual a -1, podemos afirmar que a soma das componentes de 
u é: 
a) 1 b) 
1
2
 c) 0 d) 
1
2
− e) 1− 
 
12- Considere ,x y e z vetores no 3 que satisfazem ao 
sistema 
( )
( )
( )
2, 1, 2
2 3 5, 2, 8
4 9 15, 6, 24
x y z
x y z
x y z
 + + = − −

+ + = − −

+ + = − −
. O produto misto ( )x y z  vale: 
a) -1 b) 0 c) 
1
2
 d) 1 e) 2 
 
13- Um plano  , ao interceptar os semi-eixos coordenados 
positivos, determina sobre estes, segmentos iguais. Sabendo 
que os pontos ( )1, 1,2P − e ( )2,2,1Q pertencem a um plano  , 
perpendicular ao plano  , pode-se afirmar que a equação do 
plano  é igual a: 
a) 2 2 0x y z− + + = 
b) 2 0x y z+ + + = 
c) 2 1 0x y z− + − = 
d) 2 1 0x y z− + + + = 
e) 2 2 0x y z− + − + = 
 
 
 
 
14- Considere o ponto ( )1,3, 1P − , o plano : 2x z + = e a reta 
2
:
2
x z y
s
z x y
− = +

− = −
. As equações paramétricas de uma reta r, que 
passa por P, paralela ao plano  e distando 3 unidades de 
distância da reta s são: 
a) 1; 3; 1x t y z t= + = = − + 
b) 1; 3; 1x t y z t= − + = = − − 
c) 1; 3; 1x y t z t= = + = − − 
d) 1; 3; 1x y t z t= = − + = + 
e) 1; 3; 1x t y z t= + = = − − 
 
15- As equações simétricas da reta de intersecção dos 
planos 2 3 0x y− − = e 3 2 1 0x y z+ + − = , , ,x y z são: 
a) 
3 2
2 4 5
x y z+ −
= = b) 
1 3 2
2 4 5
x y z+ + +
= = c) 
3 2
2 4
y z
x
+ −
= = 
d) 
3 2
1
2 4
y z
x
− −
− = = e) 
1 3 2
2 4 5
x y z− + +
= = 
 
16- Os pontos ( ) 3, ,x y z  que correspondem às soluções do 
sistema 
3
2 1
2 2 8
x y z
x y z
x y z
+ + =

+ + =
 + + =
 são representados graficamente por: 
a) uma reta paralela ao plano XOY . 
b) uma reta paralela ao plano XOZ . 
c) uma reta que passa pela origem. 
d) um plano perpendicular ao eixo OY . 
e) um único ponto.