Cálculo de Integrais Múltiplas Estácio

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1. 
 
 
Nas diversas aplicações que envolvem Engenharia, um assunto que está 
muito presente é a aplicação de álgebra vetorial, ou seja, interação de 
vetores. A Figura 1 apresenta o relacionamento de dois vetores, um de cor 
preta e outro de cor laranja. Esse relacionamento é representado pelo vetor 
de cor vermelha, o qual encontra-se à esquerda no plano. Baseado em seus 
conhecimentos de álgebra vetorial, selecione a alternataiva que apresenta o 
relacionamento que o vetor vermelho possui com os outros vetores. 
 
Figura 1 - Relacionamento de vetores 
Fonte: autor da questão 
 
 
 
o vetor vermelho representa a subtração do vetor preto e com o vetor laranja. 
 
o vetor vermelho representa o produto escalar entre o vetor preto e o vetor laranja. 
 
 
o vetor vermelho representa a soma do vetor preto com o vetor laranja. 
 
 
o vetor vermelho representa o produto vetorial entre o vetor preto e o vetor laranja. 
 
 
o vetor vermelho representa o módulo do vetor preto. 
Data Resp.: 09/08/2022 10:51:34
 
Explicação: 
A única resposta correta é o relacionamento de produto escalar, pois: 
 A soma dos vetores preto com laranja resulta no vetor azul na imagem abaixo: 
 
 A subtração do vetor preto com o laranja resulta no vetor rosa na imagem abaixo: 
 O produto vetorial dos vetores resulta em um vetor ortogonal ao plano desses vetores, similar ao vetor 
amarelo imagem abaixo: 
 
 
Para mais informações, assista ao vídeo: 
https://www.youtube.com/watch?v=h0NJK4mEIJU&t=20s 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a integral da função vetorial f(t)=senti+costj+sec2tk 
 
 
-costi+sentj+tgk 
 
 
-costi-sentj+tgk 
 
 
costi-2sentj+tgk 
 
 
costi-sentj+tgk 
 
 
costi-sentj+3tgk 
Data Resp.: 09/08/2022 10:51:45
 
Explicação: 
Basta integrar cada uma das componentes 
 
 
 
 
PE2110053FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS 
 
3. 
 
 
Se N(x,y) for a elevação (altura) em um ponto (x,y) em metros, sobre uma 
montanha no plano xy. Então as curvas de nível de N podem ser chamadas 
de mapas de contorno ou isolinhas. Assim todos os pontos sobre uma tal 
curva têm a mesma elevação. Supondo N(x,y)=32x.yN(x,y)=32x.y, um 
montanhista inicialmente em (2,7), caminha de modo que a elevação da sua 
trajetória permanece constante. Qual elevação do montanhista ao longo de 
sua trajetória? 
 
 
3 metros 
 
21 metros 
 
 
10,5 metros 
 
 
12 metros 
 
 
42 metros 
Data Resp.: 09/08/2022 10:52:22
 
Explicação: 
Basta substituir o ponto na função dada. 
N(x,y)=32x.yN(x,y)=32x.y 
N(2,7)=32.2.7=21N(2,7)=32.2.7=21 
 
 
 
PE2110054INTEGRAIS DUPLAS 
 
4. 
 
 
O cálculo da integral dupla pode nos ajudar a solucionar problemas de áreas 
em diversas situações distintas. A sua representação pode estar em forma 
cartesiana ou em forma polar. 
Dentre as opções abaixo em qual delas devemos usar a forma polar para 
resolução de um problema? 
 
 
Determine a area definida pela função f(x)=xy2, como os limites de integração em 0 
 
 
Determine a área de uma figura limitada por 1<x<y<3<="" p=""></x 
 
 
Determine uma área retangular de medidas [1,4]x [2,4] 
 
 
Determine a área limitada pelas funções y = 2x e y = 1 
 
Determine a área de uma semicircunferência de raio 2, sabendo que a essa semicircunferência esta 
representada na parte superior 
Data Resp.: 09/08/2022 11:06:49
 
Explicação: 
"Determine a área de uma semicircunferência de raio 2, sabendo que a essa semicircunferência esta 
representada na parte superior"Gabarito 
"Determine uma área retangular de medidas [1,4]x [2,4]"Errada por se tratar de formato de integral 
iterada não se aplica a integral em formato polar 
"Determine uma área retangular de medidas [1,4]x [2,4]"errada: por se tratar de formato cartesiano 
não se aplica a integral em formato polar 
"Determine a área limitada pelas funções y = 2x e y = 1"errada: por se tratar de formato cartesiano 
não se aplica a integral em formato polar 
"Determine a area definida pela função f(x)=xy2, como os limites de integração em 0"errada: : por 
se tratar de formato cartesiano não se aplica a integral em formato polar 
 
 
 
 
 
 
PE2110053FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS DERIVADAS 
 
5. 
 
 
Em eletromagnetismo, uma forma de estudar o comportamento de um 
campo vetorial é aplicar operadores diferenciais, como gradiente e 
rotacional. Para verificar se um dado campo vetorial é conservativo, qual 
operador diferencial deve ser aplicado? 
 
 
Divergente 
 
 
Divergente ou Gradiente 
 
 
Rotacional ou Gradiente 
 
Rotacional 
 
 
Gradiente 
Data Resp.: 09/08/2022 11:06:56
 
Explicação: 
Ao aplicar o operador rotacional a um campo vetorial, se o resultado for zero, pode-se concluir que esse campo 
é conservativo. 
 
 
 
 
 
 
PE2110054INTEGRAIS DUPLAS 
 
6. 
 
 
As integrais são utilizadas de diversas formas, a partir do nível de 
complexidade de uma função podemos utilizar as Integrais duplas que são 
uma importantes para calcular a área bidimensional. Nos permitindo 
também o cálculo de volumes em uma superfície. A partir disso, calcule a 
integral dupla de f(x,y) = 4x²y. 
 
 
4(y²/2) + C1y + C2 
 
 
4(x³/3)(y²/2) + C2 
 
 
4(x³/3)(y²/2) 
 
 
4+ C1y + C2 
 
4(x³/3)(y²/2) + C1y + C2 
Data Resp.: 09/08/2022 11:09:15
 
Explicação: 
A partir da função: 4x²y, aplicando as integrais duplas para as variáveis de integração dx e dy, temos: 
 
∫∫4x²ydxdy 
∫4y∫x²dxdy 
∫{4y(x³/3) + c}dy 
∫4y(x³/3)dy + ∫cdy 
4(x³/3)∫ydy + c∫dy 
4(x³/3)(y²/2) + C1y + C2 
 
 
 
 
 
 
PE2110055INTEGRAIS TRIPLAS 
 
7. 
 
 
O volume de uma região limitada no espaço pode ser obtido utilizando o 
cálculo da integral tripla. Com base nos conceitos e cálculos de integrais 
triplas, calculando o volume de um obelisco em forma de um tetraedro 
limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=3, obtemos: 
 
 
12/7 ua 
 
 
32 ua 
 
 
8/27 ua 
 
27/8 ua 
 
 
9 ua 
Data Resp.: 09/08/2022 11:09:20
 
Explicação: 
Ao observar um diagrama do tetraedro, observa-se que a região é limitada na parte inferior pelo plano z=0 
e na parte superior pelo plano x+y+z=3, ou seja, z=3-(x+y), e percebemos também que a esses planos se 
interceptam na reta x+y=3, ou seja, y=3-x. Assim, podemos descrever os limites de integração: 
0<=x<=3; 0<=y<=3-x e 0<=z<=3-(x+y) 
Obtidos os limites, podemos escrever a integral tripla: 
 
 
 
8. 
 
 
No cálculo de integrais duplas quando aplicamos sobre uma região no plano 
xy obtemos a área dessa região, já quando aplicamos uma integral tripla sobre 
uma região no espaço xyz obtemos o volume desse sólido. Portanto, calcule 
o volume do sólido no seguinte gráfico: 
 
 
 
- 4 
 
 
- 24 
 
 
- 16 
 
- 36 
 
 
- 64 
Data Resp.: 09/08/2022 11:10:58
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
 
PE2110056INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS 
 
9. 
 
 
Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (x2−2y, x3+y) do 
ponto (0,0) ao ponto (1,1) ao longo do segmento de reta y = x. 
 
1/12 
 
 
1/2 
 
 
1/8 
 
 
1/3 
 
 
1/6 
Data Resp.: 09/08/2022 11:11:17
 
Explicação: 
(t) = (t, t) , 0 ≤ t ≤ 1 
(t) = (1,1) 
Integral de 0 a 1 de [(t2 −2t, t3+t) · (1,1)]dt = (t3+t2-t)dt= t4/4+t3/3-t2/2= 1/12 
 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
Considere a integral de linha de (kxey + y)dx + (x2ey + x − ky)dy. 
Determine a constante k para que esta integral seja independente do 
caminho. 
 
 
8 
 
 
5 
 
 
10 
 
 
3 
 
2 
Data Resp.: 09/08/2022 11:11:22
 
Explicação: 
O campo F é definido em R2 que é um conjunto simplesmente conexo. Pelo teorema das quatro equivalências 
é necessário que rot F = 0 para que a integral independa do caminho. 
Então rot F = 0 ⇔ ∂Q/∂x = ∂P/∂y em R2 
 ⇔ 2xey + 1 = kxey + 1 
 ⇔ 2xey = kxey 
 ⇔ 2x = kx pois ey é diferente de zero 0 para todo y ∈ R 
 ⇔ k = 2. 
Portanto, para k = 2 segue que rot F = 0 , portanto pelo teorema das equivalências temos que a integral 
independedo caminho.