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UNIVERSIDADE FEDERAÇ DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE FÍSICA Disciplina: Mecânica Clássica II Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves Discente: Leonardo Carneiro Quaresma Matrícula: 201708140055 Resolução do Problema 2.7 – Mecânica Analítica – Nivaldo A. Lemos – 2ª Edição 1 2.7. Mostre que a Lagrangiana Gera um equação de movimento equivalente à um oscilador harmônico de massa mas não difere meramente por uma derivada total da Lagrangiana usual Solução: Para que a questão seja resolvida, teremos que relembramos da Equação de Euler-Lagrange na qual essa equação determina as Equações de Movimento, dessa forma, a Equação de Euler-Lagrange é definida por: Primeiramente, teremos que definir as coordenadas generalizadas do problema, dessa forma utilizaremos a Equação de Euler-Lagrange. Dessa maneira, as coordenadas generalizadas que foram definidas pela Lagrangiana do problema serão: e Utilizando a Equação de Euler-Lagrange e coordenadas generalizadas definidas, obteremos: Pág. 01 A Lagrangiana foi dada como: Utilizando a Equação de Euler-Lagrange e a Lagrangiana para determinar o movimento teremos então: Para a Coordenada Generalizada , teremos : Para a Coordenadas Generalizada , teremos: Pág. 02 Dessa forma, a Equação de Euler-Lagrange será: Substituindo e , teremos que a Equação do Movimento será: Simplificando a expressão, teremos que: Desse modo, foi concluído que a Lagrangiana: Gera um equação de movimento na qual é equivalente a equação do Oscilador Harmônico Simples que possui uma massa igual a . Com isso , dessa forma temos que: Pág. 03 Para resolvemos a Equação: Teremos então, fazendo as manipulações algébricas: Teremos então: Como Como temos que : Manipulando a expressão: Integrando os dois termos: Dessa forma, teremos e , onde é uma constante: Fazendo as manipulações matemáticas: Considerando que Agora considerando que a Lagrangiana será: Utilizando a Equação de Euler-Lagrange e fazendo a manipulação algébrica, teremos: Para : Para : Pág. 04 Dessa forma, a Equação de Euler-Lagrange será: Substituindo e , teremos que a Equação do Movimento será: Manipulando essa expressão, teremos: Com isso a Lagrangiana: Também tem a Equação de Movimento do Oscilador Harmônico Simples. Com isso, temos que as Lagrangianas que foram definidas Geram a Equação de Movimento do Oscilador Harmônico Simples. Com isso temos que a duas Lagrangianas não diferem por uma derivada total. Pág. 05 FIM, OBRIGADO!