Funções de várias variáveis reais diferenciabilidade

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Análise Matemática IIC
Ficha 4 - Funções de várias variáveis reais: diferenciabilidade
1. Considere a curva C resultante da intersecção da superf́ıcie de equação
z = 2x2 + y2 com o plano de equação x = 1. Determine o ângulo que a
tangente a C no ponto (1, 2, 6) faz com a direcção do semi-eixo positivo
Oy.
2. Considere a curva C resultante da intersecção da superf́ıcie de equação
z =
√
x2 + y2 com o plano de equação y = 4. Determine o ângulo
que a tangente a C no ponto (3, 4, 5) faz com a direcção do semi-eixo
positivo Ox.
3. Sendo f : R2 → R a função definida por f(x, y) = x2y, calcule usando
a definição
(a) ∂f
∂x
(0, 0);
(b) ∂f
∂x
(x0, 2);
(c) ∂f
∂x
(x0, y0).
4. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções
(a) f(x, y) = e2xy
3
;
(b) f(x, y, z) = log (ex + zy);
(c) f(x, y, z) = ex sin(y) + cos(z − 3y);
(d) f(x, y) = (cotg(x))tg(y);
(e) f(x, y, z) = cos
(
y
√
x2 + z2
)
.
5. Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =
{ xy
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Mostre que as funções ∂f
∂x
e ∂f
∂y
têm por domı́nio R2.
1
6. Determine uma função f : R2 → R, tal que{ ∂f
∂x
(x, y) = 2x + y
∂f
∂y
(x, y) = x− 2y
É única a função que determinou?
7. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por
(a) f(x, y) = log(x + y)− log(x− y);
(b) f(x, y, z) = sin(xyz);
(c) f(x, y) = xy.
8. Mostre que a função f definida por
f(x, t) =
1√
t
e−
x2
4kt ,
com k ∈ R fixo, satisfaz a equação de difusão ft = kfx2 .
9. Mostre que não existe nenhuma função f : R2 → R tal que
{ ∂f
∂x
(x, y) = xy2 + 1
∂f
∂y
(x, y) = y2
.
10. Uma função f : D ⊂ R2 → R diz-se harmónica se satisfaz a equação
diferencial (de Laplace)
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ D.
Verifique se as seguintes funções são harmónicas:
(a) f(x, y) = arctg
(
y
x
)
;
(b) f(x, y) = αx + βy, α, β ∈ R fixos;
(c) f(x, y) = x2 + y3.
2
11. Sejam u e v funções com derivadas de segunda ordem cont́ınuas num
aberto D ⊂ R2 e tais que{ ∂u
∂x
(x, y) = −∂v
∂y
(x, y)
∂u
∂y
(x, y) = ∂v
∂x
(x, y)
,
para todo (x, y) ∈ D. Mostre que u e v são funções harmónicas.
12. Calcule as derivadas parciais de terceira ordem da função f(x, y) =
log (x2 + y2).
13. Usando a definição de diferenciabilidade, verifique se as seguintes funções
são diferenciáveis, nos pontos indicados:
(a) f(x, y) = xy, em todo o ponto do domı́nio de f ;
(b) f(x, y) =
{
0 , x 6= y2
y − 1 , x = y2 , no ponto (1, 1).
14. Estude quanto à diferenciabilidade as seguintes funções nos pontos in-
dicados:
(a) f(x, y) = ex
2+y2 , no ponto (2, 1);
(b) f(x, y) =
{
sin(x− y) , (x, y) 6= (1, 0)
2 , (x, y) = (1, 0)
, no ponto (1, 0).
15. Determine, caso exista, o diferencial das seguintes funções, nos pontos
indicados:
(a) f(x, y) = log (x2 + y2) + xcotg(y), no ponto
(
0, π
4
)
;
(b) f(x, y) =
{
xy3
x2+y6
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
, no ponto (0,0).
16. Sendo u(x, y) = log
(
sin
(
x√
y
))
, x(t) = 3t2 e y(t) =
√
t2 + 1, calcule
du
dt
(t).
17. Sendo u(x, y) = x2exy + y2 sin(xy), x(s, t) = s2t e y(s, t) = set, calcule
∂u
∂s
(s, t) e ∂u
∂t
(s, t).
3
18. Sendo f : R2 → R e ϕ : R → R funções diferenciáveis em todo o ponto
de R2, calcule dz
dy
sendo z = f (x2 + y2, x + y) e x = ϕ(y).
19. Sendo ϕ : R → R uma função diferenciável em R e
z =
y2
2
+ ϕ
(
1
x
+ log(y)
)
,
mostre que
y
∂z
∂y
+ x2
∂z
∂x
= y2.
20. Sabendo que uma função diferenciável f : U ⊂ Rn → R, n ≥ 2, é
homogénea de grau α, se e somente se f verifica a equação diferencial
parcial (relação de Euler),
x1
∂f
∂x1
+ . . . + xn
∂f
∂xn
= αf,
prove que sendo f : R2 → R uma função homogénea de grau r e
g, h : R2 → R funções homogéneas de grau s, então F : R2 → R
definida por F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)) é uma função homogénea de
grau rs.
21. Sejam f e g funções reais de classe C2(R). Prove que que a função
u definida por u(x, t) = f(x + ct) + g(x − ct) verifica a equação de
propagação
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
,
com c ∈ R fixo.
22. Sejam f : R2 → R uma função diferenciável em R2 e F : R → R,
definida por F (θ) = f(1, f(θ, 1)). Calcule F ′(1) sabendo que f(1, 1) =
3, ∂f
∂x
(1, 1) = ∂f
∂y
(1, 1) = 1 e ∂f
∂y
(1, 3) = 34.
23. Verifique que as seguintes equações definem localmente y como função
de x nos pontos P0 indicados e calcule a derivada dessa função:
(a) x2y + 3y3x4 − 4 = 0, P0 = (1, 1);
(b) x cos(xy) = 0, P0 =
(
1, π
2
)
.
4
24. Seja g : R → R uma função de classe C2(R) e tal que g(π) = −1.
(a) Prove que a equação x2 + 2 cos(yz) − g
(
y
z
)
= 0, define x como
função impĺıcita de y e z numa vizinhança de (−1, π, 1).
(b) Mostre que (
y
∂x
∂y
+ z
∂x
∂z
)
(π, 1) = 0.
25. Considere a equação log(xyz) + ex+2y−ez = 0.
a) Prove que numa vizinhança de (1, 1/2, 2/e) esta equação define x
como função impĺıcita de y e z.
b) Calcule ∂x
∂y
(
1
2
, 2
e
)
.
c) Calcule ∂
2x
∂z∂y
(
1
2
, 2
e
)
.
26. Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie de equação
dada, no ponto indicado
a) z = x2 + y2, P0 = (1,−2, 5);
b) x
2
16
+ y
2
9
= z
2
8
, P0 = (4, 3, 4);
c) (x− 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 3, P0 = (0, 1,−1).
27. Calcule os pontos onde o plano tangente à superf́ıcie z = x2 + y2 é
paralelo ao
(a) eixo Ox;
(b) eixo Oy;
(c) eixo Oz;
(d) plano xOy;
(e) plano yOz;
(f) plano xOz;
28. Duas superf́ıcies S1 e S2 dizem-se tangentes no ponto P0 ∈ S1∩S2, se os
planos tangentes a S1 e a S2 em P0, coincidem. Prove que as superf́ıcies
de equações x
2
a2
+ y
2
b2
= z2 e x2 + y2 + (z − (b2 + 1))2 = b2(b2 + 1) com
a, b ∈ R\{0}, são tangentes nos pontos (0,±b, 1).
5
29. Determine os pontos do hiperbolóide de equação x2−2y2−4z2 = 16 em
que o plano tangente é paralelo ao plano de equação 4x− 2y + 4z = 5.
30. Determine os pontos do parabolóide de equação z = 4x2+9y2 em que a
normal é paralela à recta que passa por P = (−2, 4, 3) e Q = (5,−1, 2).
31. Usando a definição calcule D~vf(P0) onde:
(a) f(x, y) = x + y, P0 = (0, 0), ~v = (1, 2);
(b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, P0 = (1, 2, 3), ~v = (1, 1, 1);
(c) f(x, y) = ex tg y + 2x2y, P0 = (0, π/4), ~v = (−
√
2/2,
√
2/2);
(d) f(x, y) = x2− xy− 2y2, P0 = (1, 2), ~v é o vector unitário que faz
um ângulo de 60o com o semi-eixo positivo Ox, medido no sentido
anti-horário.
32. Determine os vectores ~v para os quais existe D~vf(P0), sendo:
(a) f(x, y) =
√
|xy|, P0 = (0, 0);
(b) f(x, y) = x2 − y2, P0 = (1, 1).
33. Mostre que existe D~vf(0, 0), para qualquer ~v ∈ R2, sendo
f(x, y) =
{
xy2
x2+y4
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
34. Usando a definição, determine os extremos absolutos da função definida
por f(x, y) = x + y no domı́nio D = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}.
35. Calcule, caso existam, os extremos das seguintes funções:
(a) f(x, y) = xyex−y;
(b) f(x, y) = (y2 − x2)2;
(c) f(x, y) = ax + by − log(axby); a, b ∈ R+\{1};
(d) f(x, y) = sin x cos y;
(e) f(x, y) = x sin y;
(f) f(x, y) = x2 − 2xy2 + y4 − 2y5;
6
(g) f(x, y, z) = xyz(8− x− y − z).
36. Calcule a menor distância entre a parábola y = x2+1 e a recta y = x−2.
37. Determine os extremos das funções f , definidas nos domı́nios D indi-
cados:
(a) f(x, y) = xy(3−x− y); D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤
3};
(b) f(x, y) = x2 + 2xy − 4x + 8y; D = [0, 1]× [0, 2];
(c) f(x, y) = x + y; D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, x ≥ −1}.
38. Determine, caso existam, os valores máximo e mı́nimo das funções
dadas, sujeitos às condições indicadas:
(a) f(x, y) = x2 − 2x + y2 + 2y − 1, onde x2 + y2 − 4x = −2;
(b) f(x, y, z) = z − x2 − y2, onde x + y + z = 1 e x2 + y2 = 4;
(c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, onde x− y + z = 1.
39. Considere a elipse de equação 2x2 + y2 = 1. Determine o rectângulo
nela inscrito
(a) de maior área;
(b) de maior peŕımetro.
40. Determine o cilindro de volume máximo, inscrito numa superf́ıcie esférica
de raio r.
7