FILTROS USANDO A TRANSF DE TUSTIN

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ENGENHARIA 
ELÉTRICA 9º Sem
PROJETO DE FILTROS IIR
PROTÓTIPOS ANALÓGICOS
TRANSFORMAÇÃO BILINEAR
Exemplo1:
Projetar um filtro passa baixas com protótipo Butterworth de ordem 2 com as 
seguintes especificações:
a) Frequência digital de atenuação na banda passante de 3,4kHz.
b) Frequência de amostragem de 8000 Hz
c) Obtenha os espectros de módulo e fase da resposta em frequência
𝝎𝒂 =
𝟐
𝑻
𝒕𝒈
𝝎𝒅𝑻
𝟐
= 𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎𝒕𝒈
𝟐 × 𝝅𝟑𝟒𝟎𝟎
𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎
= 𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖 𝒓𝒂𝒅
𝐻𝑝 𝑠 =
1
𝑠2 + 1,4142𝑠 + 1
⇒ 𝐻 𝑠 =
1
𝑠
66644,8
2
+ 1,4142
𝑠
66644,8
+ 1
𝑯 𝒔 =
𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐
𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐
𝒔
𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖
𝟐
+ 𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐 × 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐
𝒔
𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖
+ 𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐
Aplicando a transformação bilinear:
𝑯 𝒛 =
𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐
𝟐
𝑻
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
+ 𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖 × 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐
𝟐
𝑻
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
+ 𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐
𝑯 𝒛 =
𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟐
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
+ 𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖 × 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 × 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
+ 𝟔𝟔𝟔𝟒𝟒, 𝟖𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟐
𝑯 𝒛 =
𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛 + 𝟏 𝟐
𝒛 + 𝟏 𝟐
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
+ 𝟓, 𝟖𝟗𝟎𝟓 𝒛 + 𝟏 𝟐
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
+ 𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛 + 𝟏 𝟐
𝑯 𝒛 =
𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛 + 𝟏 𝟐
𝒛 − 𝟏 𝟐 + 𝟓, 𝟖𝟗𝟎𝟓(𝒛 + 𝟏) 𝒛 − 𝟏 + 𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛 + 𝟏 𝟐
𝑯 𝒛 =
𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝟏
𝒛𝟐 − 𝟐𝒛 + 𝟏 + 𝟓, 𝟖𝟗𝟎𝟓(𝒛𝟐 − 𝟏) + 𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝟏
𝑯 𝒛 =
𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝟏
𝒛𝟐 𝟏 + 𝟓, 𝟖𝟗𝟎𝟓 + 𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 + 𝒛 −𝟐 + 𝟐 × 𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 + 𝟏 − 𝟓, 𝟖𝟗𝟎𝟓 + 𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕
𝑯 𝒛 =
𝟏𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟕 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝟏
𝟐𝟒, 𝟐𝟑𝟗𝟒𝒛𝟐 + 𝟑𝟐, 𝟔𝟗𝟗𝟒𝒛 + 𝟏𝟐, 𝟒𝟓𝟗𝟑
Dividindo numerador e o denominador por 24,2394.
𝑯 𝒛 =
𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝟏
𝒛𝟐 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝒛 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎
Colocando na forma causal
𝑯 𝒛 =
𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕 𝟏 + 𝟐𝒛−𝟏 + 𝒛−𝟐
𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝒛−𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝒛𝟐
Obtendo a equação a diferenças:
𝒚 𝒏 = −𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝒚 𝒏 − 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝒚 𝒏 − 𝟐 + 𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕(𝒙 𝒏 + 𝟐𝒙 𝒏 − 𝟏 + 𝒙 𝒏 − 𝟐 )
𝑯 𝒛 =
𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕 𝟏 + 𝟐𝒛−𝟏 + 𝒛−𝟐
𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝒛−𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝒛𝟐
𝑯 𝒆𝒋𝜴 =
𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕 𝟏 + 𝟐𝒆−𝒋𝜴 + 𝒆−𝒋𝟐𝜴
𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝒆−𝒋𝜴 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝒆−𝒋𝟐𝜴
𝑯 𝒆𝒋𝜴 =
𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕 𝟏 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜴 − 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝜴 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜴 − 𝒋𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜴)
𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝜴 − 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝜴 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜴 − 𝒋𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜴)
𝑯 𝒆𝒋𝜴 =
)𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕 + 𝟐 × 𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝜴 + 𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕𝐜𝐨 𝐬( 𝟐𝜴
𝟐
+ 𝟎, 𝟕𝟏𝟕𝟓 × 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜴 + 𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕𝐬𝐞𝐧( 𝟐𝜴) 𝟐
)𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜴 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝐜𝐨 𝐬( 𝟐𝜴
𝟐
+ )𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝒔𝒆𝒏 𝜴 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜴
𝟐
Cálculo do módulo:
𝒇𝒂𝒔𝒆(𝑯 𝒆𝒋𝜴 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚 𝐧
−𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕(𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜴 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜴
𝟎. 𝟕𝟏𝟓𝟕 𝟏 + 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝜴 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜴
− 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚 𝐧
−𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝒔𝒆𝒏 𝜴 − 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜴
)𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟒𝟗𝟎𝐜𝐨𝐬 𝜴 + 𝟎, 𝟓𝟏𝟒𝟎𝐜𝐨 𝐬( 𝟐𝜴
Cálculo da fase:
Código em Python
Exemplo2:
Projetar um filtro passa altas com protótipo Butterworth de ordem 2 com as seguintes especificações:
a) Frequência digital de atenuação na banda passante de 1,8 kHz.
b) Frequência de amostragem de 8000 Hz
c) Obtenha os espectros de módulo e fase da resposta em frequência
𝝎𝒂 =
𝟐
𝑻
𝒕𝒈
𝝎𝒅𝑻
𝟐
= 𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎𝒕𝒈
𝟐 × 𝝅𝟏𝟖𝟎𝟎
𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎
= 𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑𝒓𝒂𝒅
𝐻𝑝 𝑠 =
1
𝑠2 + 1,4142𝑠 + 1
⇒ 𝐻 𝑠 =
1
𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑
𝐬
2
+ 1,4142
𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑
𝐬
+ 1
𝑯 𝒔 =
𝒔𝟐
𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑 𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑𝒔 + 𝒔𝟐
𝑯 𝒔 =
𝒔𝟐
𝒔𝟐 + 𝟏𝟗𝟑𝟐𝟓, 𝟔𝟕𝒔 + 𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑𝟐
Aplicando a transformação bilinear:
𝑯 𝒛 =
𝟐
𝑻
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
𝟐
𝑻
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
+ 𝟏𝟗𝟑𝟐𝟓, 𝟔𝟕
𝟐
𝑻
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
+ 𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑𝟐
𝑯 𝒛 =
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
+ 𝟏𝟗𝟑𝟐𝟓, 𝟔𝟕 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
+ 𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑𝟐
𝑯 𝒛 =
𝟏𝟔𝟎𝟎
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟐
+
𝟏𝟗𝟑𝟐𝟓, 𝟔𝟕
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
+
𝟏𝟑𝟔𝟔𝟓, 𝟑𝟐
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟐
𝑯 𝒛 =
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
𝟐
+ 𝟏, 𝟐𝟎𝟕𝟖𝟓
𝒛 − 𝟏
𝒛 + 𝟏
+ 𝟎, 𝟕𝟐𝟗𝟒𝟓
𝑯 𝒛 =
𝒛𝟐 − 𝟐𝒛 + 𝟏
𝒛𝟐 − 𝟐𝒛 + 𝟏 + 𝟏, 𝟐𝟎𝟕𝟖𝟓(𝒛 + 𝟏)(𝒛 − 𝟏) + 𝟎, 𝟕𝟐𝟗𝟒𝟓(𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝟏)
𝑯 𝒛 =
𝒛𝟐 − 𝟐𝒛 + 𝟏
𝟐, 𝟗𝟑𝟕𝟑𝒛𝟐 − 𝟎, 𝟓𝟒𝟏𝟏𝒛 + 𝟎, 𝟓𝟐𝟏𝟔
𝑯 𝒛 =
𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒𝒛𝟐 − 𝟎, 𝟔𝟖𝟎𝟗𝒛 + 𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒
𝒛𝟐 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟐𝒛 + 𝟎, 𝟏𝟕𝟕𝟔
Na forma causal:
𝑯 𝒛 =
𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒 − 𝟎, 𝟔𝟖𝟎𝟗𝒛−𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒𝒛𝟐
𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟐𝒛−𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟕𝟕𝟔𝒛−𝟐
Equação a diferenças:
𝒚 𝒏 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟐𝒚 𝒏 − 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟕𝟕𝟔𝒚 𝒏 − 𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒𝒙 𝒏 − 𝟎, 𝟔𝟖𝟎𝟗𝒙 𝒏 − 𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒𝒙(𝒏 − 𝟏)
Resposta em frequência:
𝑯 𝒆𝒋Ω =
𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒 − 𝟎, 𝟔𝟖𝟎𝟗𝒆−𝒋Ω + 𝟎, 𝟑𝟒𝟎𝟒𝒆−𝒋𝟐Ω
𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟐𝒆−𝒋Ω + 𝟎, 𝟏𝟕𝟕𝟔𝒆−𝒋𝟐Ω
Código em Python para obter a resposta em frequência
Exemplo3:
Projetar um filtro passa faixa com protótipo Butterworth de ordem 2 com as seguintes especificações:
a) Frequência digital superior de corte 2,6kHz.
b) Frequência digital inferior de corte 2,4Hz.
c) Frequência de amostragem de 8000 Hz
d) Obtenha o espectro do módulo da resposta em frequência desse filtro.
𝝎𝒂𝑯 =
𝟐
𝑻
𝒕𝒈
𝝎𝒅𝑯𝑻
𝟐
= 𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎𝒕𝒈
𝟐 × 𝝅𝟐𝟔𝟎𝟎
𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎
= 𝟐𝟔𝟏𝟎𝟗, 𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝝎𝒂𝑳 =
𝟐
𝑻
𝒕𝒈
𝝎𝒅𝑳𝑻
𝟐
= 𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎𝒕𝒈
𝟐 × 𝝅𝟐𝟒𝟎𝟎
𝟐 × 𝟖𝟎𝟎𝟎
= 𝟐𝟐𝟎𝟐𝟐, 𝟏 𝒓𝒂𝒅
Frequência analógica de corte superior:
Frequência analógica de corte superior:
𝑾 = 𝝎𝒂𝑯 −𝝎𝒂𝑳 = 𝟐𝟔𝟏𝟎𝟗, 𝟔 − 𝟐𝟐𝟎𝟐𝟐, 𝟏 = 𝟒𝟎𝟖𝟕, 𝟓 𝒓𝒂𝒅
𝝎𝟎 = 𝝎𝒂𝑯 ×𝝎𝒂𝑳 = 𝟐𝟔𝟏𝟎𝟗, 𝟔 × 𝟐𝟐𝟎𝟐𝟐, 𝟏 = 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟖, 𝟗 𝒓𝒂𝒅
Frequência angular central do filtro:
Frequência da Faixa de passagem do filtro:
𝑯𝒑 𝒔 =
𝟏
𝒔 + 𝟏
⇒ 𝑯 𝒔 =
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟖, 𝟗𝟐
𝟒𝟎𝟖𝟕, 𝟓𝒔
+ 𝟏
Do protótipo passa baixa para o filtro passa faixa:
𝑯 𝒔 =
𝟒𝟎𝟖𝟕, 𝟓𝒔
𝒔𝟐 + 𝟒𝟎𝟖𝟕, 𝟓𝒔 + 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟖, 𝟗𝟐
A função de transferência do filtro passa faixa analógico:
𝑯 𝒛 =
𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟗𝟔𝒛𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟗𝟔
𝒛𝟐 + 𝟎, 𝟕𝟏𝟏𝟕𝒛 + 𝟎, 𝟖𝟓𝟒𝟏
Aplicando a transformação bilinear:
)𝒚 𝒏 = −𝟎, 𝟕𝟏𝟏𝟕𝒚 𝒏 − 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟓𝟒𝟏𝒚 𝒏 − 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟗𝟔𝒙 𝒏 − 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟗𝟔𝒙(𝒏 − 𝟐
Equação a diferenças:
O Módulo e a fase da resposta em frequência
Código em Python
Exemplo3:
Projetar um filtro passa alta de segunda ordem com protótipo Butterworth com as seguintes 
especificações:
a) Frequência digital de corte 2,0kHz.
b) Frequência de amostragem de 8000 Hz.
c) Obtenha os espectros de módulo e fase da resposta em frequência desse filtro.
Exemplo5:
Projetar um filtro rejeita faixa com protótipo Butterworth de ordem 2 com as seguintes 
especificações:
a) Frequência digital superior de corte 2,6kHz.
b) Frequência digital inferior de corte 2,5Hz.
c) Banda digital de rejeição de 200 Hz. 
d) Frequência de amostragem de 8000 Hz.
e) Obtenha os espectros de módulo e fase da resposta em frequência desse filtro.