Formas Bilineares

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Aifosse Alone Bechane 
 
 
 
 
 
 
Formas Bilineares, Quadráticas 
 
 
 
Licenciatura em ensino de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Púnguè 
Tete 
 
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Aifosse Alone Bechane 
 
 
 
 
 
 
 
Formas Bilineares, Quadráticas. 
 
Licenciatura em ensino de Matemática 
 
Trabalho de pesquisa de formas 
bilineares, quadráticas para estudo e 
pesquisa da Cadeira de Álgebra II a ser 
submetido no curso de Licenciatura em 
Ensino de Matemática como requisito 
parcial da avaliação sob orientação: 
Mestre Geoge Alberto Camisola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Púnguè 
Tete 
 
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Índice pág. 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 4 
Objectivos Gerais .......................................................................................................................... 5 
FORMAS BILINEARES .............................................................................................................. 6 
Uma forma bilinear sobre V _é uma função f : V _ V R que satisfaz: ..................................... 6 
FORMAS BILINEARES E MATRIZES ...................................................................................... 7 
FORMAS QUADRÁTICAS ......................................................................................................... 8 
 FORMA QUADRÁTICA ............................................................................................................ 8 
forma quadrática no R3. ............................................................................................................ 9 
forma quadrática diagonalizada. ............................................................................................... 9 
Classificação de Quádricas.......................................................................................................... 10 
FORMA BILINEAR SIMÉTRICA ............................................................................................ 11 
Classificação de Quádricas por Auto valores .......................................................................... 11 
Achar a equação reduzida e o gênero das quádricas: .............................................................. 11 
CONCLUSÃO ............................................................................................................................ 12 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ............................................................................................ 13 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
O presente trabalho vai debruçar-se sobre as Formas Bilineares, quadrática e lineares nos 
seguintes: Formas Bilineares, Formas Bilineares e Matrizes, Formas Bilineares 
alternadas, Formas Bilineares, Simétricas, Formas Bilineares Simétricas Reais e 
Exemplos, Definição de formas quadrática. O que caracterizava no aspecto matemático 
os casos de equações de grau _ 5 que podem ter suas raízes expressas por meio de radicais 
através de uma fórmula geral? Esta questão surgiu do fato de que as equações de grau _ 
5 não são, de modo geral, resolúveis por radicais, mas alguns tipos o são, como já se sabia 
bem antes de Abel. A resposta a 
5 
 
Objectivos Gerais 
 
O presente trabalho vai debruçar-se sobre as Formas Bilineares, quadrática e lineares nos 
seguintes: Formas Bilineares, Formas Bilineares e Matrizes, Formas Bilineares 
alternadas, Formas Bilineares, Simétricas, Formas Bilineares Simétricas Reais e 
Exemplos, Definição de formas quadrática Formas Bilineares, Formas Bilineares e 
Matrizes, Formas Bilineares alternadas, Formas Bilineares, Simétricas, Formas 
Bilineares Simétricas Reais e Exemplos, Definição de formas quadrática 
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FORMAS BILINEARES 
Seja V um espaço vetorial sobre R. Uma forma bilinear sobre V _é uma função f : V_V 
R que satisfaz: 
1. f (u1 + u2; v) = f (u1; v) + f (u2; v) 
2. f (a _ u; v) = a _ f (u; v) 
Uma forma bilinear sobre V _é uma função f : V _ V ! R que satisfaz: 
1. f (u1 + u2; v) = f (u1; v) + f (u2; v) 
2. f (a _ u; v) = a _ f (u; v) 
3. (u; v1 + v2) = f (u; v1) + f (u; v2) 
4. f (u; a _ v) = a _ f (u; v) 
Seja V um espaço vetorial sobre R. Uma forma bilinear sobre V _é uma função f : V _ V 
! R que satisfaz: 
1. f (u1 + u2; v) = f (u1; v) + f (u2; v) 
2. f (a _ u; v) = a _ f (u; v) 
3. f (u; v1 + v2) = f (u; v1) + f (u; v2) 
4. f (u; a _ v) = a _ f (u; v) 
para todo u; u1; u2; v; v1; v2 2 V e para todo a 2 R. 
Exemplo: 
Seja h ; i : V _V ! R um produto interno sobre V. Então h ; i _e uma forma bilinear. Em 
particular, o produto interno usual sobre o Rn, - é uma forma bilinear sobre o Rn. 
h(x1;..; xn); (y1;…; yn)i = x1 _ y1 + - + xn - yn, 
 
Seja h ; i : V - V 
R um produto interno sobre V. Então h ; i _e uma forma bilinear. Em particular, o produto 
interno usual sobre o Rn, h (x1; …….; xn); (y1; ……. ; yn)i = x1 _ y1 + - + xn - yn, - 2)) 
= 2x1y1 3x1y2 + x2y2 _é uma forma bilinear. 
 
Sejam V um espaço euclidiano e T : V ! V um operador linear. Então a função f : V - V 
R definida por f (u; v) := hT(u); vi, _é uma forma bilinear. 
 
7 
 
FORMAS BILINEARES E MATRIZES 
Teo106. Considere (R) n A∈Mat e α uma base de V. A função f V ×V → R A : tal que 
f (v,u) [v]t A [u] 
A = ⋅ ⋅ é uma forma bilinear. 
Teo107. A função T: Mat ( ) FB(V) n R → tal que A T(A) = f é uma transformação linear. 
Considere v,u ∈V , { ,..., } 1 n α = v v uma base de V e f uma forma bilinear 
Assim, n n v = k v + ... + k v 1 1 e n n u = l v + ... + l v 1 1 . 
Então, f v u = f k v + + k v l v + + l v n 
Logo, a cada forma bilinear é possível associar uma matriz quadrada. 
Uma forma bilinear f : V ×V → R é denominada forma bilinear simétrica quando para 
quaisquer v, u ∈V , f (v, u) = f (u, v). 
 
Teo108. Seja α uma base de V. Uma forma bilinear f é simétrica se e somente se α α [f ] 
é uma matriz simétrica. 
 
Formas Bilineares e Espaços Vetoriais com Produto Interno 
Considere V um R-espaço vetorial munido de um produto interno n dimensional. 
 
Teo109. Seja f uma forma bilinear. Então existe um único operador linear U :V →V tal 
que f (v,u) = v,U(u) , para todo v,u ∈V . 
Teo110. Os espaços FB (V ) e L (V ) são isomorfos, isto é, T : FB(V)→ L(V) tal que T 
( f ) =U é um isomorfismo. 
Teo111. A forma bilinear f é simétrica se e somente se o operador linear U é um operador 
Auta adjunto. 
 
 
8 
 
FORMAS QUADRÁTICAS 
Considere uma forma bilinear simétrica f :V ×V →R . A função Q :V →R tal que Q(v) = 
f (v, v) é denominada forma quadrática associada a forma bilinear f. 
Notação matricial: α α α α Q(v) = [v]t ⋅[ f ] ⋅[v] sendo α uma base de V. 
 
Exemplos: 
1) Seja f : R2 ×R2 → R tal que f ((x, y), (z, t)) = xz − 5xt − 5yz + yt e a base canônica do 
R2. 
A forma quadrática associada é Q : R2 → R tal que Q(x, y) = f ((x, y), (x, y)) 
= x 2 − 5xy − 5xy + y 2 
= x 2 −10xy + y 2 
Seja f :V ×V → R uma forma bilinear simétrica e Q :V → R sua forma quadrática 
associada. 
Q (v + u) = f (v + u, v + u) 
= f (v, v) + f (v,u) + f (u, v) + f (u,u) 
= f (v, v) + 2 f (v,u) + f (u,u) 
= Q(v) + 2 f (v,u) + Q(u) 
( , ) [ ( ) ( ) ( )] 2 
1 f v u = Q v + u − Q v − Q u é denominada de forma polar de f. 
Uma forma quadrática Q :V → R é denominada forma quadrática positiva definida 
quando para todo V v∈V,v ≠ 0 , Q(v) > 0 . 
Teo112. Seja T :V →V um operador auto adjunto. Então Q :V → R tal que Q(v) = T(v),v 
é uma forma quadrática. 
Teorema de Sylvester: Lei da Inércia 
Seja f uma forma bilinear simétrica. Então existe uma base α de V tal que α α [ f ] é uma 
matriz diagonal e qualquer outra representação matricial diagonal de f possui a mesma 
quantidade p de elementos positivos (na diagonal) e a mesma quantidade q de negativos 
da matriz αα [ f ] . 
posto da forma bilinearf é rank( f ) = p + q e a assinatura é sign( f ) = p − q . 
Corolário: Toda forma quadrática Q :V →R admite representação na forma 
2 21221 ( ) ... ... p p p q Q v x x x x + + = + + − − − , com p + q ≤ n . 
9 
 
FORMA QUADRÁTICA 
O polinômio Q(x, y, z) = ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2 fyz com coeficientes reais 
é denominado 
 
Forma Quadrática No R3. 
Como foi visto no caso R2, é possível reduzir uma forma quadrática R3 a uma forma 
canônica. 
 
 
A forma λ x′ + λ y′ + λ z′ é denominada forma canônica da forma quadrática no R3 ou 
também 
 
Forma Quadrática Diagonalizada. 
Quádricas 
É o conjunto de pontos do R3 cujas coordenadas x, y e z, em relação à base canônica, 
satisfazem à equação: ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2 fyz + gx + hy + iz + j = 0 , com 
a,b,c,d,e ou f ≠ 0 . 
 
10 
 
Classificação de Quádricas 
 
 
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FORMA BILINEAR SIMÉTRICA REAIAS 
Uma Forma Bilinear Simétrica em um espaço vetorial V Sobre o corpo K é uma função 
B: V x V -- K satisfazendo. 
 B é uma forma Bilinear ou seja 
B (u + ú, u, ) = B ( u, u) + B (ú, u) 
B ( u, u) B x (u + ú, u, ) = + B (ú, u) 
Formas Bilineares Simétricas são importante no estudo das quadráticas e na teoria da 
relatividade, em que o ‘’produto interno’’ é uma Forma Bilinear Simétrica não 
degenerada. 
Classificação de Quádricas por Auto valores 
Se os três auto valores são positivos então a quádrica é representada por um elipsoide. 
Se dois auto valores são positivos e um é negativo então a quádrica é representada por 
hiperboloide de uma folha. 
Se um auto valor é positivo e dois são negativos então a quádrica é representada por 
hiperboloide de duas folhas. 
Achar a equação reduzida e o gênero das quádricas: 
a) 4x2 + 4y 2 + 4z 2 + 4xy + 4xz + 4yz − 3 = 0 
b) 6x 2 + 3y 2 − 2z 2 + 12x −18y − 8z + 7 = 0 
c) 3x 2 − 3y 2 − z 2 + 42x + 144 = 0 
d) 7x 2 + 7y 2 + 10z 2 − 2xy − 4xz + 4yz −12x + 12y + 60z − 24 = 0 
Determinar a equação reduzida e o gênero das cônicas representadas pelas 
equações: 
a) 4 0 5 8 0 5 5x 2 + 8y 2 − 4xy + 20 x − y + = 
b) 2x 2 + 2y 2 + 2xy + 7 2x + 5 2 y + 10 = 0 
c) 16x 2 + 9 y 2 − 24xy −15x − 20y + 50 = 0 
 
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CONCLUSÃO 
Através deste trabalho espera-se contribuir tanto com aqueles que se encontram numa 
formação em nível básico como aqueles que aspiram a uma formação acadêmica superior, 
baseado em conceitos matemáticos provindos, inicialmente, da álgebra, da análise e da 
matemática em geral. Em específico no caso do professor do ensino básico espera-se que, 
apesar de não ser aconselhado aplicar em sua totalidade no ensino básico os conceitos 
aqui discutidos, se tenha fornecido uma base conceitual que permita dar opções para que 
o mesmo possa construir estratégias pedagógicas de ensino referente a esse tema, 
13 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
GAMA, L. I. formas bilineares Insttituto Brasileiro de Geografia e Estatítica, Rio de 
Janeiro, 1941. 
GUNDLACH, B. H. formas bilineares simetrica. Atual Editora LTDA, São Paulo, 
2001. 
KUROSCH, A. G. Curso de Álgebra Superior. Mir, Moscou, 1968. 
LANG, S. Estruturas Algébricas. Livro Técnico S.A, Rio de Janeiro, 1972. 
LIMA, E. L formas bilineares quadráticas. Impa, Rio de Janeiro, 2004. 
LIMA, E. L. Análise Real volume 1: Funções de Uma Variável. Impa, Rio de 
Janeiro, 2011. 
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matemática 
do Ensino Médio. SBM, Rio de Janeiro, 2006.