Máximos e Mínimos

Prévia do material em texto

INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS
IM420 - MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA II
LISTA DE EXERCÍCIOS 3
Extremos Relativos (Locais) de Funções de 2 variáveis
1) Uma loja de roupas vende 2 tipos de suéteres similares, porém de
diferentes fabricantes. Se x for o preço de venda do primeiro tipo e y o
preço de venda do segundo tipo, então a função lucro P será P (x, y) =
50xy− 50x2− 25y2 + 3950x+ 650y− 148000. Determine os preços x e y que
maximizam o lucro da loja. Justifique com cálculos a sua resposta.
2) Suponha que quando a produção de determinada mercadoria requer x
máquinas-hora e y homens-hora, o custo de produção seja dado por f(x, y) =
2x3 − 6xy + y2 + 500. Determine o número de máquinas-hora e o número
de homens-hora necessários para que a mercadoria tenha um custo mı́nimo.
3) Quais devem ser as dimensões de uma caixa retangular, sem tampa,
e tendo um volume de 32cm3, se a menor quantidade de material deve ser
usada em sua fabricação?
4) Determine os pontos de máximo, de mı́nimo e de sela (se existirem)
para as seguintes funções
a) f(x, y) = 2x2 − 2xy + y2 + 5x− 3y
b) g(x, y) = xy + x− y
c) u(x, y) = 4x + 2y − x2 + xy − y2
Respostas:
1) x = 92 e y = 105
3) A caixa terá uma base quadrada, com 4 cm de largura, 4 cm de
comprimento e 2 cm de profundidade.
4)
a) Mı́nimo em (−1, 12)
b) Ponto de sela em (1,−1)
c) Máximo em (103 ,
8
3)