Unidade 5 - Análise de resposta

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TEORIA DE 
CONTROLE E 
SERVOMECANISMO
Jordana Leandro 
Seixas
 
Análise de resposta 
transitória
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Interpretar a resposta dos sistemas de primeira ordem a entradas 
aperiódicas.
 � Expressar a resposta transitória de sistemas de segunda ordem.
 � Analisar a resposta transitória de sistemas de ordem superior.
Introdução
O estudo inicial na área de Teoria de Controle e Servomecanismo baseia-se 
em analisar um sistema de controle e obter deste um modelo matemático. 
Uma vez obtido o modelo por meio da função transferência, podemos 
analisar o desempenho do sistema a partir de sua resposta. 
Os desempenhos de vários sistemas podem ser comparados entre si, 
a partir dos sinais de entrada de testes específicos. As respostas desses 
sistemas dependerão de sinais de entrada de testes como funções degrau, 
rampa, impulso, parábola de aceleração, senoidais e ruído branco. 
Neste capítulo, estudaremos a resposta dos sistemas de primeira or-
dem a entradas aperiódicas, e posteriormente aprenderemos a expressar a 
resposta transitória de sistemas de segunda ordem. Por fim, analisaremos 
a resposta transitória de sistemas de ordem superior. 
Resposta dos sistemas de primeira ordem a 
entradas aperiódicas
Nesta seção, vamos estudar resposta dos sistemas de primeira ordem a entradas 
(ou sinais) aperiódicas. Especificamente, trataremos das respostas dos sistemas 
aos sinais aperiódicos, como: degrau, rampa e impulso, em função do tempo. 
A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes: a 
resposta transitória (ou resposta natural) e a resposta estacionária (ou resposta 
forçada). A resposta transitória é aquela que vai do estado inicial ao estado 
final. Já a resposta estacionária é o comportamento do sinal de saída do sistema 
na medida em que t tende ao infinito (OGATA, 2011). Dessa forma, a resposta 
c(t) do sistema pode ser escrita como:
 (1)
O tempo crt(t) corresponde à resposta transitória e o termo cre(t) significa 
resposta estacionária. O objetivo deste capítulo é, apenas, analisar respostas 
transitórias. 
Considere o sistema de primeira ordem, ilustrado na Figura 1a. Na realidade, 
esse sistema pode ser um circuito RC, um sistema térmico ou similar. A Figura 
1b mostra a função transferência resultante desse sistema, representado como 
diagrama de blocos simplificado. A função transferência G(s), representada 
pela razão da saída C(s) pela entrada R(s), é:
 (2)
T é conhecida como a constante de tempo da resposta.
Figura 1. (a) Diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem; (b) diagrama 
de blocos simplificado.
Fonte: Adaptada de Ogata (2011, p. 147). 
R(s) E(s)
(a) (b)
1
Ts
C(s)
+
−
R(s) 1
Ts + 1
C(s)
Análise de resposta transitória2
O quadro a seguir mostra as principais transformadas de Laplace X(s) das funções x(t) 
utilizadas neste capítulo. A função x(t) também é conhecida como a transformada 
inversa de Laplace.
Nº x(t) X(s)
1 δ(t) (impulso) 1
2 u(t) (degrau) 1
s
3 tu(t) (rampa) 1
s2
Fonte: Adaptado de Lathi (2008).
Resposta ao degrau unitário
O sistema de primeira ordem pode ser descrito pela função de transferên-
cia G(s), ilustrada na Figura 1b. Caso a entrada seja um degrau unitário 
r(t) = u(t), a sua transformada de Laplace é R(s) = 1/s, e, substituindo na 
Equação (2), obtemos:
 (3)
Expandindo C(s), utilizando a técnica de expansão de frações parciais, 
obtemos:
 (4)
Encontrando a transformada inversa de Laplace, c(t), da Equação (4), 
, com: transformada inversa de Laplace, teremos:
 (5)
3Análise de resposta transitória
O valor inicial da resposta c(t), da Equação (6), é zero (em t = 0), e 
c(t) = 1 quando t tende a infinito (t ≈ ∞). 
Fazendo a = 1/T, inverso da constante de tempo, podemos substituir na 
Equação (4), assim:
 (6)
O Quadro 1 explica resumidamente uma das características da curva de 
resposta exponencial, c(t), para cada valor de t igual a 0, T, 2T, 3T, 4T, 5T e 
t ≈ ∞. Por exemplo, para t = T o valor de c(t) é igual a 0,632, o que significa 
que a resposta c(t) alcançou 63,2 % de sua variação total. Matematicamente, 
para t = T, c(t) será:
A constante de tempo T, da Equação (5), é o tempo necessário para a 
resposta ao degrau atingir 63% de seu valor final (NISE, 2012). Quanto menor 
for essa constante de tempo T, mais rapidamente o sistema responde, como 
mostrado na Figura 2.
Outra característica interessante da curva exponencial da resposta, c(t), é 
a inclinação 1/T da reta tangente, encontrada assim: 
 (7)
Isso está ilustrado na Figura 2. Quanto maior for o valor da constante 
de tempo T, mais lentamente a resposta c(t) tende o valor unitário, ilustrado 
na Figura 3. Dessa forma, a constante de tempo pode ser considerada uma 
especificação da resposta transitória para um sistema de primeira ordem, 
uma vez que ela está relacionada à velocidade com a qual o sistema responde 
a uma entrada em degrau (NISE, 2012).
Análise de resposta transitória4
Fonte: Adaptado de Ogata (2011).
t
0 0
T 63,2%
2T 86,5%
3T 95,0%
4T 98,2%
5T 99,3%
T ≈ ∞ 100%
Quadro 1. Alcance da resposta c(t) em relação a sua variação total
Figura 2. Resposta do sistema de primeira ordem à entrada degrau. 
Fonte: Adaptada de Ogata (2011, p. 148).
Inclinação =
1
Tc(t) c(t) = 1 − e−(t/T)
1
0,632
B
A
63
,2
%
86
,5
%
95
%
98
,2
%
99
,3
%
0 T 2T 3T 4T 5T t
5Análise de resposta transitória
Figura 3. Resposta do sistema de primeira ordem à entrada degrau, indicando 
a influência da constante de tempo T.
c(t)
Aumento de T
c(t) = 1 − e
1
0,632
0 T 2T 3T 4T 5T t
t
T−
Resposta à rampa unitário
Caso a entrada seja uma rampa unitária r(t) = tu(t), a sua transformada de 
Laplace é R(s) = 1/s2, e, substituindo na Equação (2), obtemos:
 (8)
Expandindo C(s), utilizando a técnica de expansão de frações parciais, 
obtemos:
 (9)
Encontrando a transformada inversa de Laplace, c(t), da Equação (9), 
teremos:
 (10)
Análise de resposta transitória6
Podemos encontrar o sinal de erro e(t) para r(t) = t assim:
Quando t é suficientemente grande (t ≈ ∞), o sinal do erro e(t) aproxima-
-se de T, ou seja, e(t ≈ ∞) = T. Significa que o erro do sistema segue a rampa 
unitária quando t tende a infinito. 
A Figura 4a ilustra a resposta de um sistema de primeira ordem a uma 
entrada rampa unitária.
Figura 4. (a) Resposta de rampa unitária do sistema; (b) resposta ao impulso unitário do 
sistema.
Fonte: Adaptada de Ogata (2011, p. 149).
c(t)
c(t)
r(t)
r(t) = t
Erro de estado
permanente
T
T
0 2T
2T
4T
6T
4T 6T t
c(t)
c(t) = e−(t/T)
0 T
1
T
2T 3T 4T
1
T
(a) (b)
Resposta ao impulso unitário
No caso de a entrada ser um impulso unitário r(t) = δ(t), a sua transformada 
de Laplace é R(s) = 1, e, substituindo na Equação (2), obtemos:
 (11)
7Análise de resposta transitória
Encontrando a transformada inversa de Laplace, c(t), da Equação (11), 
teremos:
 (12)
A Figura 4b ilustra a resposta de um sistema de primeira ordem a uma 
entrada impulso unitário dada pela Equação (12).
Propriedade importante de sistemas lineares invariante no tempo
Comparando-se as três respostas com as entradas, ilustradas no quadro a seguir, 
fica evidente que a resposta à derivada de um sinal de entrada pode ser encontrada 
derivando a resposta do sistema para o sinal original.
Entrada, r(t) Resposta, c(t) Propriedade
Rampa c(t) = t – T + Te-t/T, para t ≥ 0 -----------------------
Degrau c(t) = 1 – e-t/T, para t ≥ 0 É a derivada da entrada 
em rampa unitária
Impulso
c(t) = 1
T
 e-t/T, para t ≥ 0
É a derivada da entrada 
em degrau unitário
Resposta transitória de sistemas 
de segunda ordem
Um sistema de primeira ordem é mais simples, pois a variação de um parâ-
metro desse sistema somente altera a velocidade da resposta. Já o sistema de 
segunda ordem apresenta várias respostas que precisam ser analisadas, pois 
variações nos parâmetros desse sistema podem alterar a forma da resposta. 
Por exemplo, umsistema de segunda ordem pode apresentar características 
muito parecidas com as de um sistema de primeira ordem ou, dependendo 
dos valores dos componentes, apresentar oscilações amortecidas ou puras na 
resposta transitória (NISE, 2012).
Análise de resposta transitória8
Nesta seção, apresentaremos a resposta transitória de sistemas de segunda 
ordem. Especificamente, vamos analisar a resposta do sistema de segunda 
ordem à entrada em degrau. 
Resposta ao degrau
Considere o diagrama de bloco de um sistema de segunda ordem ilustrado 
na Figura 5a. A função de transferência de malha fechada desse sistema será:
 (13)
Os polos de malha fechada da função de transferência, , 
da Equação (13), são reais se B2-4JK ≥ 0 e serão complexos conjugados se 
B2 – 4JK < 0.
A forma-padrão do sistema de segunda ordem na análise da resposta 
transitória é representada da seguinte maneira:
 (14)
Onde:
ξ é o coeficiente de amortecimento do sistema
ωn é a frequência natural não amortecida
σ é chamado de atenuação
B é o amortecimento real
Bc é o amortecimento crítico 
Observe que a função de transferência de malha fechada da Equação (14) 
representa o diagrama de bloco de um sistema de segunda ordem ilustrado 
na Figura 5b.
9Análise de resposta transitória
Figura 5. Diagrama de blocos simplificado.
Fonte: Adaptada de Ogata (2011, p. 150-151).
R(s) E(s)
(a) (b)
K
s(Js + B)
C(s)
+
−
R(s) E(s) ω
s(s + 2ζωn)
C(s)
+
−
2
n
O sistema de segunda ordem apresenta um comportamento dinâmico 
em termos de dois parâmetros: a frequência natural, ωn, e o coeficiente de 
amortecimento do sistema, ξ.
O Quadro 2 verifica que o valor de ξ determina a forma da resposta natural 
de segunda ordem (NISE, 2012).
Fonte: Adaptado de Nise (2012).
ξ Resposta c(t)
Se ξ = 0 A resposta é não amortecida
Se ξ < 1 A resposta é subamortecida
Se ξ = 1 A resposta é criticamente amortecida
Se ξ > 1 A resposta é superamortecida
Quadro 2. Exemplos de resposta natural de segunda ordem
A frequência natural, ωn, é a frequência de oscilação caso todo o amorteci-
mento seja removido, e atua como um fator de escala da resposta (NISE, 2012).
Vamos determinar a resposta do sistema representado na Figura 5b a 
uma entrada em degrau unitário para três diferentes casos: subamortecido, 
criticamente amortecido e superamortecido. 
Subamortecido (0 < ξ < 1)
Para R(s) = 1/s, na Equação (14), teremos:
Análise de resposta transitória10
 (15)
Aplicando a regra das frações parciais, podemos reescrever a Equação 
(15) assim:
 (16)
ou 
 (17)
, ωd é a frequência natural amortecida do sistema. A 
transformada inversa de Laplace da Equação (15) será:
 (18)
Criticamente Amortecido ξ = 1
No caso do coeficiente de amortecimento do sistema, ξ = 1, a Equação 
(15) será reescrita como:
 (19)
A transformada inversa de Laplace da Equação (19) será:
 (20)
Superamortecido (ξ > 1)
No caso do coeficiente de amortecimento do sistema, ξ > 1, a Equação 
(15) será reescrita como:
 (21)
11Análise de resposta transitória
A transformada inversa de Laplace da Equação (21) será de forma 
simplificada:
 (22)
Onde e são os termos 
exponenciais decrescentes da Equação (22).
Uma família de curvas c(t) é ilustrada na Figura 6 como resposta ao degrau 
unitário para diversos valores do coeficiente de amortecimento do sistema, ξ. 
Essas curvas foram obtidas a partir das equações (18), (20) e (22).
Figura 6. Curva de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 5(b).
Fonte: Adaptada de Ogata (2011, p. 154). 
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ωnt
c(t)
0,5
0,1
ζ = 0
0,2
0,3
0,4
1,0
2,0
0,6
0,7
0,8
Resposta transitória de sistemas de 
ordem superior
Nesta seção, discutiremos a análise da resposta transitória de sistemas de 
ordem superior. Basicamente a resposta dos sistemas de ordem superior é a 
soma das respostas de sistemas de primeira e de segunda ordem. 
Análise de resposta transitória12
O sistema de controle que representa sistemas de ordem superior está ilus-
trado na Figura 7, e a função transferência de malha fechada desse sistema será:
 (23)
Onde os valores de G(s) e H(s) são geralmente na forma de polinômios 
em função de s, assim:
 (24)
Analisaremos a resposta desse sistema, da Equação (24), para uma entrada 
em degrau unitário. Inicialmente, vamos considerar primeiro que os polos (no 
denominador) de malha fechada são todos reais e distintos. Dessa forma, para 
uma entrada degrau, R(s) = 1/s, a Equação (24) ficará na forma:
 (25)
ai é o resíduo do polo em s = –pi. 
Para sistemas de ordem superior, é comum trabalhar com a ferramenta 
computacional MATLAB, por exemplo, para encontrar as raízes do polinômio 
do denominado da Equação (24), e também aplicar a técnica da expansão de 
frações parciais na Equação (25). 
Figura 7. Sistema de controle.
Fonte: Adaptada de Ogata (2011, p. 163). 
R(s)
G(s)
H(s)
C(s)
–
+
13Análise de resposta transitória
1. Obtenha a constante de tempo 
T para um sistema de primeira 
ordem C(s) = G(s)R(s), com função 
de transferência G(s) = 5/(s + 5), 
para uma entrada degrau unitário.
a) 2 s.
b) 1 s.
c) 0,1 s.
d) 0,2 s.
e) 0,5 s.
2. Obtenha a constante de tempo 
T para um sistema de primeira 
ordem C(s) = G(s)R(s), com função 
de transferência G(s) = 20/(s + 20), 
para uma entrada degrau unitário.
a) 0,01 s.
b) 0,02 s.
c) 0,03 s.
d) 0,04 s.
e) 0,05 s.
3. Obtenha a constante de tempo 
T para um sistema de primeira 
ordem C(s) = G(s)R(s), com função 
de transferência G(s) = 1/(s + 6), para 
uma entrada impulso unitário.
a) 0,17 s.
b) 0,27 s.
c) 0,37 s.
d) 0,47 s.
e) 0,57 s.
4. Para a função de transferência de 
um sistema de malha fechada G(s) 
= 16/(s2 + 3s + 16), a frequência 
natural em rad/s, ωn, e o coeficiente 
de amortecimento do sistema, 
ξ, são respetivamente:
a) 2 e 0,375.
b) 4 e 0,375.
c) 5 e 0,125.
d) 4 e 0,25.
e) 3 e 0,47.
5. Para a função de transferência 
de um sistema de malha fechada 
G(s) = 36/(s2 + 4,2s + 36), a 
frequência natural em rad/s, ωn, e 
o coeficiente de amortecimento 
do sistema, ξ, são respetivamente:
a) 3 e 0,25.
b) 5 e 0,75.
c) 6 e 0,35.
d) 4 e 0,35.
e) 2 e 0,17.
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. Porto Alegre: Bookman, 2008.
NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2011.
Análise de resposta transitória14
Leituras recomendadas
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
FELÍCIO, L. C. Modelagem da dinâmica de sistemas e estudo da resposta. 2. ed. São Carlos, 
SP: RiMa, 2010. Disponível em: <http://www2.eesc.usp.br/labdin/luiz/Modelagem%20
da%20Dinamica%20de%20Sistemas%20e%20Estudo%20da%20Resposta.pdf>. Acesso 
em: 03 set. 2018.
15Análise de resposta transitória
http://www2.eesc.usp.br/labdin/luiz/Modelagem%20
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