2 - Avaliando Aprendizado - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III _ Passei Direto

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 Apenas a III. 
11. 
 
Uma solução da equação diferencial y´=y é a função: 
 
 y = e
x 
12. 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
\((y - x^2)dx - (y^2 - x) dy = 0\) 
 
 \(yx - \frac{x^3}{3} - \frac{y^3}{3} = k \) 
13. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 
 y = C1e
-t + C2e-t 
 
14. 
 
São grandezas escalares, exceto: 
 
 
 João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros. 
 
15. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - \(2xydx+(1+x^{2})dy\) 
II - \((x+sen(y))dx+(xcos(y)-2y)dy=0\) 
III - \((2xy+x)dx+(x^{2}+y)dy=0\) 
 
 I, II e III são exatas 
 
1. 
 
Identifique no intervalo[ - ] onde as funções são linearmente π,π {t,t2, t3}
dependentes. 
 
 t=0 
2. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares. 
I - \(y´+\frac{4}{x}y=x^{4}\) 
II - \(y´-2xy=x\) 
III - \(y´-3y=6\) 
 
 I, II e III são lineares. 
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3. 
 
Classificando a equação diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de 
primeira ordem. 
ydx + xdy = 0 concluímos que ela é; 
 
 Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem. 
4. 
 
O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante de uma matriz 
3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas 
primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas 
derivadas daquelas funções. 
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis 
são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja 
igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente 
dependentes nesse ponto. 
Identifique, entre os pontos do intervalo apresentados, onde as [-π,π]
funções são linearmente dependentes.t,sent,cost 
 
 t=0 
5. 
 
 
Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável. 
 
 y = c.x^4 
6. 
 
A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos 
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o 
número de tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea 
(dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o custo de fabricação 
por objeto e o número de tipos de objetos fabricados, sabendo C(1)=1000 
unidades monetárias. 
 
 C(x) = x(1000+ln x) 
7. 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear 
\(y´-2xy=x\) 
 
 \(y=-\frac{1}{2}+ce^{{x}^{2}}\) 
8. Qual a única resposta correta como solução da ED : dydx=yx+ 1 ? 
 
 lny=ln|x+1| 
 
9. 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3yy'=exp(x) 
 
 ordem 2 grau 1 
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10. 
 
 
Determine o Wronskiano W(x,xex) 
 
 
 
x2ex 
11. 
 
Utilizando o método de resolução para EDO Linear de primeiro grau, determine a solução 
da equação: 
\(y' - (y/x ) = 2x^4/e\) 
 
 \(y(x) = (x^5/2e) + cx\) 
12. 
 
Determine o Wronskiano W(x3,x5) 
 
 
2x7 
13. 
 
 
Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de 
primeira ordem. 
x.y' +2.y = 2 + ln(x) concluímos que ela é: 
 
 linear de primeira ordem 
14. 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn} , considere o 
determinante de ordem n: 
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-
1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira 
linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, 
e assim por diante, até a (n- -ésima derivadas das funções na 1)
n-ésima linha. Sejam as funções: = f(x) e2⋅x ; 
 g(x)=senx e 
 \(h(x) = x² + 3x + 1\) 
Determine o Wronskiano W(f,g,h) x em = 0. 
 
 
-2 
1. 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é 
linear ou não. 
\(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+sen(t+y)=t\) 
 
 2ª ordem e não linear. 
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2. 
 
Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe
que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é proporcional a população
presente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de
Valor Inicial dy/dt = k y onde y(0) = y . Com base nessa informação, encontre a0
solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) sabendo
que y = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos. 0 
 
 
O problema terá a solução y (t) = 3 e . Como em 10 dias a população é kt
de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10
3. 
 
Aplicando a transformada de Laplace na função 
y = 4sen4t, obtemos: 
 
 16s²+16 
4. 
 
Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções particulares da equação y + y = 0. Calcule o 
Wronskiano. 
 
 O Wronskiano será 1. 
5. 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) 
tende a (-1,2). 
 
 o Limite será 12. 
6. 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)= 0 , com y(0)= 1 e y'(0)= 0 
 
 y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
7. 
 
Podemos afirmar que o fator integrante da equação \({(6xy)dx 
+(4y+ 9x^2) dy}\) é: 
 
 \(I= {y^2}\) 
8. 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação + 4y = 0.y" 
 
 
 y = C cos2t + C1 2sen2t 
9. 
 
Problemas de variação de temperatura: A lei de variação de temperatura 
de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é 
proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, 
dT/dt = k( T- T ) Supondo que um objeto à temperatura inicial de 50 F m 0 é 
colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100 F . Se após 5 0
minutos a temperatura do objeto é de 60 F, determinar o tempo necessário o
para a temperatura atingir 75 F. 0
 
 15,4 min 
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10. 
 
Podemos afirmar que o fator integrante da equação \({(6xy)dx +(4y+ 
9x^2) dy}\) é: 
 
 \(I= {y^2}\) 
11. 
 
Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de 
Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é 
proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, 
dT/dt = k( T- T ) Supondo que um objeto à temperatura inicial de 50 F m 0 é 
colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 F . Se após 5 0
minutos a temperatura do objeto é de 60 F , determinar a temperatura do o
corpo após 20 min. 
 
 79,5 graus F 
12. 
 
As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. 
Determinar as linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material 
condutor, carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as 
trajetórias ortogonais da família x + y2 2 + 1 = 2 Cx. Sugestão: Usar o fator integrante u(y) 
= y - 2 
 
 Será :x + y - 1 = Ky 
2 2
13. 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
 
{(x,y)  2| x+y ≥ 2} 
 
1. 
 
Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor v=3i-4j, no ponto 
P=(1,-2) tem valor de: 
 
 8/5 
2. 
 
Considere a função de produção P = L K , em queL representa o 0,5 0,5
trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
 
 
3. 
 
Determine a solução da equação diferencial x2 y + xy + 9y = 0, x > 0 
 
 y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x) 
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4. 
 
Determine caso exista o limite da função (x ) quando (x,y) tende a 2y)/( x2+y2
(0,0). 
 
 tende a zero 
5. 
 
Determine e de modo que satisfaça as seguintes c1 c2 f(x)=c1e2x+c2ex+2senx
condições iniciais: e Marque a única resposta correta.f(0)=0 f'(0)=1. 
 
 
c1=-1 
c2=1 
6. 
 
 Sobre Transformadas de Laplace podemos afirmar: 
1. É um método simples. 
2. Serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma 
equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta 
sem calcular a solução geral. 
3. Equação Diferencial são resolvidas através de integrais e derivadas. 
4. Serve para transformar uma Equação algébrica com condições iniciais em uma 
equação Diferencial , de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma 
indireta sem calcular a solução geral. 
5. É um método complexo. 
 
 As alternativas 1,2 e 3 estão corretas. 
7. 
 
Determine o Wronskiano W(senx,cosx) 
 
 1 
8. 
 
O gráfico das curvas de nível e o gráfico de f(x,y)=x2+y2 pode ser definido 
pelas curvas: 
 
 
Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 1 =x2+y2 
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 4 =x2+y2 
 
9. 
 
Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y + y = 0 
utilizando o princípio de superposição podemos afirmar que: 
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação. 
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação. 
III - y1/y2 é LI 
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de 
zero em cada ponto num intervalo aberto I. 
 
 Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
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1. 
 
Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de Método de 
Redução de Ordem, no qual é dada uma solução, por 
exemplo e calcula-se a outra solução , pela fórmula abaixo:y1 y2 
 y2=y1∫e-∫(Pdx)y 12dx 
Assim, dada a solução , indique a única solução correta y1 =cos(4x)
de y2 para a equação de acordo com as respostas abaixo:y''-4y= 0 
 
 sen(4x) 
 
2. 
 
A solução da equação diferencial é: 
 
 
 x²y²+sen(x)+ln(y)+C=0 
3. 
 
Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor 
inicial y´´+16y=0, y(0)=0 e y´(0)=1. 
 
 1/4 sen 4x 
4. 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y'=f(x,y) 
 
 ordem 1 grau 1 
5. 
 
Calcule a Transformada Inversa de Laplace, da função: , com f(t), F(s)=2 s2+9 
o uso adequado da Tabela: 
L(senat) =as2+a2, 
L(cosat)= ss2+a2 
 
 f(t)=23sen(3t) 
6. 
 
Seja a transformada de Laplace de , denotada aqui F(t)
por L{F(t)} e definida por L{F(t)}=f(s)=∫0∞e -(st)F(t)dt. 
Sabe-se que se L{F(t)}=f(s) L{eatF(t)} f(s- então = a) 
Portanto a transformada de Laplace da 
função F(t)=etcost , ou seja, L{etcost} é igual a ... 
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 s-1s2-2s+2 
7. 
 
A ordem e o grau da equação diferencial y'''- 4y'' + xy = 0 é: 
 
 3º ordem e 1º grau 
 
 
8. 
 
Sobre as equações diferenciais podemos afirmar que : 
I) A EDO é uma equação diferencial que depende apenas de uma variável. 
II) A EDP é uma equação diferencial que depende apenas de uma variável. 
III) A EDP é uma equação diferencial que depende de mais uma variável. 
IV) Quanto a ordem a equação diferencial pode ser classificada como 
ordinária ou não ordinária. 
V) Quanto a ordem a equação diferencial pode ser classificada como 
ordinária ou Parcial. 
 
 Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
 
9. 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que 
aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é 
SOMENTE correto afirmar que 
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1 ordem é F(x,y,y´)=0 . a
(II) São equações de 1 ordem e 1 grau as equações da forma: a o dydx=F(x,y). 
(III) São equações de 1 ordem e 1 grau as equações da forma M dx+ N dy=0 onde a o
M=M(x,y) e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado. 
 
 
 (I), (II) e (III) 
 
10. 
 
Resolva a equação diferencial homogênea 
 dy/dx = ( y + x) / x 
 
 ln(x) + c 
 
11. 
 
Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz identicamente à 
equação. 
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é 
SOMENTE correto afirmar que 
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(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as 
unidades da ordem da equação. 
(II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores 
particulares às constantes. 
(III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral 
atribuindo-se às constantes valores particulares. 
 
 
 (I), (II) e (III) 
12. 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
( y"') 2+10y'+90y=sen(x) 
 
 ordem 3 grau 2 
 
13. 
 
Indique a única resposta correta da Transformada de Laplace da função 
degrau unitário: 
f(t)={1se t<0 t≥00se 
 
 
 1s,s>0 
 
1. 
 
A solução da equação diferencial (y-sen(x))dx + (sen(y) +ex)dy=0 é 
 
 
 cos(x) - cos(y)+ye
x 
2. 
 
Seja a função 
 f(x)=x2cos(x) 
Podemos afirmar que f é uma função: 
 
 Par 
3. 
 
Determine a solução geral da equação diferencial x y/ dx - 2 x (dy/dx) + 2y = x , x 2 (d2 2 ) 3
> 0 
 
 y = c1 e + c2 e + (1/2) e
t 2t 3t 
4. 
 
Resolva a equação diferencial por separação de variáveis. exdydx=2x 
 
 
 y=-2e-x(x+1)+C 
5. 
 
O elemento químico rádio (Ra) presente em um pedaço de chumbo se decompõe a uma 
taxa que é proporcional à sua quantidade presente. Se 10% do Ra decompõem em 200 
anos, qual é porcentagem da quantidade original de Ra que estará presente no pedaço 
de chumbo após 1000 anos? 
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 59,05% 
6. 
 
Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: xy' + y = y² 
 
 xy = c(1 - y) 
7. 
 
 
Determine o valor do Wronskiano do par de funções = e e y1 2t y 2 = 
e .3t/2 
 
 (- e7t/2 )/ 2 
8. 
 
Seja y + 5 y+ 6 y = 0 uma equação diferencial de 2 ordem. Encontre a 
solução geral desta equação. 
 
 A solução geral da equação será y = c1 e + c2 e , onde c1 e c2 são constantes, 
-2x -3x
 
 
9. 
 
Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao 
número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 
anos, quando ela triplicará? Sugestão: dN/dt = kN 
 
 10 anos 
 
10. 
 
Dada função F(t) = 2t2 - 3t +4. Use a transformada de Laplace para determinar F(s) 
 
 
 4/s 3/s
3 - 2 + 4s -1
 
11. 
 
Determine a solução geral da equação diferencial x y/ dx - 2 x (dy/dx) + 2y 2 (d2 2 ) 
= x , x > 0 3 
 
 y = c1 e + c2 e + (1/2) e
t 2t 3t 
 
1.Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura 
constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF. Determine o 
tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF. 
 
 40 minutos. 
2. 
 
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 180ºC. Três minutos depois, 
sua temperatura passa para 150ºC. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 
27ºC, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for 26ºC. 
 
 50 minutos.