Avaliando Aprendizado - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III _ Passei Direto

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
1. 
 
Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo: 
I - \(t^{3}\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+ t \frac{dy}{dt}+y=t\) 
II - \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ t \frac{dy}{dt}+t^{2}y=e^{t}\) 
III - \( t^{2}\frac{dy}{dt}+ty=sen(t)\) 
Assinale a alternativa correta. 
 
 I, II e III são lineares. 
2. 
 
"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton 
(1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di 
Prima. Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
 (I) Chama- toda equação em que figura pelo menos uma se equação diferencial
derivada ou diferencial da função incógnita. 
(II) Cha de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ma-se ordem
ordem da função incógnita que figura na equação. 
(III) Chama- de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de se grau
mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. 
 
 (I), (II) e (III) 
3. 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
a) \(4(y')^5 + y'' -1\) 
b) \ {\partial^5y} \over {\partial x^5} } - ({ {\partial^2y} \over {\partial x^2} })^3 ({
= 0\) 
Em relação a ordem e grau das equações, podemos afirmar que: 
 
 A primeira tem ordem 2 e a segunda tem grau 1. 
4. 
 
Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as 
funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes. 
 
 0 
5. 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
I) \(4(y')^5 + y'' =1 \) 
II) \({\partial^5y \over \partial x^5} - {\partial^2y \over \partial x^2} = 0 \) 
III) \((y'')^3 + (y')^5 = x\) 
De acordo com as alternativas, determine a alternativa correta. 
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 A primeira e a segunda são de graus iguais a 1. 
6. 
 
Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante: 
\(y^2 cos (x) dx + (4+5y \ sen(x))dy = 0\) 
 
 \(y^5 sen(x) + y^4 = k\) 
7. 
 
Resolvendo a equação diferencial \(cosydy = \frac{dx}{x}\), obtemos: 
 
 sen y - ln x = C 
8. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
\(t^2s^{(2)}-ts=1-sen(t)\) 
 
 Ordem 2 e grau 1. 
9. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial \(cosydy = \frac{dx}{x}\), obtemos: 
 
 
 sen - ln x = C y 
10. 
 
Dadas as EDOs abaixo: 
I - \(t^{3}\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ 
\frac{dy}{dt}+ty^{2}=0\) 
II - \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ sen(t +y)y´+ y=sen(t)\) 
III - \( {(\frac{d^{2}y}{dt^{2}})}^{2}+t \frac{dy}{dt}+2y=t \) 
Assinale a alternativa correta. 
 
 I, II e III são não lineares. 
11. Determine o limite da função (t2 , cos t, t ) 3 parametrizada quando t tende a zero. 
 
 (0,1,0) 
12. 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 (2,cos 2, 3) 
 
13. 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
\(y^{(4)}+y^{(3)}+y^{(2)}+y´+y=1\) 
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 4ª ordem e linear. 
1. 
 
Sabendo que () = (cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se 
move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
2. 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 
variáveis separáveis 
\(\frac{dy}{dx}=e^{-7x}\) 
 
 \(y=-\frac{e^{-7x}}{7}+C\) 
3. 
 
 
Indique a solução correta da equação diferencial: dydx=7x³. 
 
 
 y=275x52+C 
4. 
 
Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais 
ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações. 
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,y toda função , n)=0 
definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a 
ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial 
F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no 
intervalo (a,b). 
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam 
a equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
 
 (I), (II) e (III) 
5. 
 
 
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial 
y' + 7y = 28? 
 
 4 
6. 
 
 
Resolva a seguinte equação diferencial ordinária utilizando a técnica de variáveis 
separáveis: 
\(dx + e^{3x} dy = 0\) 
 
 \(y = e^{-3x} / 3+ c\) 
7. 
 
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial 
y' + 4y = 32? 
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 8 
8. 
 
Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para 
auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos 
frequentemente geram uma equação que contém algumas derivadas de uma 
função desconhecida. Tal equação é chamada de . Para equação diferencial
iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma terminologia 
comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação 
diferencial se faz necessário cla ficar esta equações. ssi 
Três classificações primordiais são: 
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial) 
2. Segundo a ordem desta equação. 
3. Segundo a linearidade. 
Classifique as seguintes equações: 
a) dxdt=5(4-x)(1- x)
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x 
c) ∂4u∂x4+∂2u ∂t2=0 
d) d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0 
Admitindo os seguintes índices para a classificação: 
A=1: para E.D.O. 
A=2: para E.D.P. 
n: A ordem da Equação 
B=5: para equação linear 
B=6: para equação não linear 
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em: 
 
 8; 8; 11; 9 
 
9. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial separável xdy = ydx, obtemos: 
 
 ln y = ln x + C 
10. 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y')³ + e = 0. x
 
 
 Grau 3 e ordem 1. 
11. 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 
variáveis separáveis 
\(\frac{1}{x}dx+dy =0\). 
 
 \(y=-\ln |x|+c\) 
12. 
 
A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de 
bactérias no instante t. após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 
horas, 2500 bactérias. Podemos afirmar que o número inicial de bactérias é: 
 
 Aproximadamente 160 bactérias. 
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13. 
 
Resolvendo a equação diferencial xdy - ydx = 0, obtemos: 
 
 
 ln y = ln x + C 
14. 
 
Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y 2). 
 
 y=tg[x-ln|x+1|+C] 
15. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
 (y,,)2 - 3yy, + xy = 0 
 
 ordem 2 grau 2 
16. 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem 
linear: 
\(y´+6xy=0\) 
 
 \(y=ce^{-6x}\) 
17. 
 
Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR: 
a) d²y/dx²= -2x(dy/dx) + 2y 
b) dx/dt = k(4-x).(1- x)
encontramos: 
 
 (a)linear (b)não linear 
1. 
 
Sabendo que () = (  +cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula 
que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor 
aceleração. 
 
 V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) ( 
2. 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDOs homogêneas. 
I - \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+ 2y^{2}}{xy}\) 
II - \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+ y^{2}}{2xy}\) 
III - \(\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^{2}- 2y^{2}}\) 
 
 Todas são homogêneas. 
 
3. 
 
Uma função \(f(x,y)\) é dita homogênea de grau de homogeneidade n 
quando \(f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)\). Verifique se a função \(f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\) é 
homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 É função homogênea de grau 2. 
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4. 
 
 
Classifique a equação diferencial x^3 y" + xy' + (x^2 - 4)y = 0 de acordo com o tipo, a 
ordem e a linearidade: 
 
 equação diferencial ordinária de segunda ordem e linear; 
5. 
 
 
Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. 
 
 
 É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0 
6. 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = e . x
 
 
 Ordem 3 e grau 2. 
7. 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDO homogênea. 
I- \(\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{x}\) 
II - \(\frac{dy}{dx}=\frac{2y+x}{x}\) 
III - \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+ 2y^{2}}{xy}\) 
 
 Todas são homogêneas. 
8. 
 
Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular \(y_p\ ):
 
 \(y(x) = e^(2x) + k\) 
 
9. 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial , obtemos y´=f(x,y)
respectivamente: 
 
 1 e 1 
10. 
 
Seja . Determine F→(t)=(cost,sent) lim(h→0)F→(t+h) F→(t)h- 
 
 
 ( -sent, cos t) 
11. 
 
Uma função \(f(x,y)\)é dita homogênea de grau de homogeneidade n 
quando \(f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)\ ).
Verifique se a função \(f(x,y)=7x^{3}+2xy^{2}\) é homogênea e, se for, 
qual é o grau e indique a resposta correta. 
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 É homogênea de grau 3. 
12. 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)= 0 , com y(0)= 1 e y'(0)= 0 
 
 y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
13. 
 
Verifique se a função \(f(x,y)=x^{3}+xy^{2}e^{\frac{y}{x}}\) é
homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
Homogênea de 
grau 3. 
14. 
 
Dado um conjunto de funções , considere o determinante {f1,f2,...,fn}
de ordem n: 
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...f nf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f ́´n............f1n -1f2n-1...fnn-
1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira 
linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e 
assim por diante, até a (n- -ésima derivadas das funções na n-1)
ésima linha. Sejam as funções: = ;f(x) e2x 
 e g( x)=sen x 
 = h( x ) x2+ 3⋅x+1 
Determine o Wronskiano = W(f,g,h) em x 0. 
 
 
-2 
15. 
 
Uma função \(f(x,y)\)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando
 \(f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)\). 
Verifique se a função \(f(x,y)=5x^{4}+x^{2}y^{2}\) é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 É função homogênea de grau 4. 
16. 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, 
primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque 
a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
17. 
 
Dada uma função de modo que f(5,6)=7 e seu grau é igual a 1, podemos
afirmar que f(20,24) é: 
 
 28 
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18. 
 
 
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é 
SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes 
arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda 
solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para 
cada condição inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação 
diferencial. 
 
 Todas são corretas. 
19. 
 
Dadas as funções, determine quais são homogêneas. 
I - \(f(x,y)=4x^{3}+3y^{3}\) 
II - \(f(x,y)=x+xy\) 
III - \(f(x,y)=2x+x^{2}\) 
 
 Apenas a I. 
20. 
 
 
Dadas as funções abaixo, determine quais são homogêneas. 
I - \(f(x,y)=5x^{4}+x^{2}y^{2}\) 
II - \(f(x,y)=xy+y^{2}\) 
III - \(f(x,y)=x+ysen(\frac{y}{x})\) 
 
 Todas são homogêneas. 
 
1. 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x) 
 
 ordem 2 grau 3 
2. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - \(2xydx+(1+x^{2})dy\) 
II - \((ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0\) 
III - \ -y)dx+(x+y)dy=0\) ((x
 
 
 Apenas I e II. 
3. 
 
Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa aproximada 
de 1.500t-12 pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos após 1990. Em 
1999, a população deste lugar era de 39.000 pessoas. Qual era a população, em 1990? 
 
 30000 
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4. 
 
 
Calcule e de modo que satisfaça as condições dadas:C1 C2 y(x)=C1senx+C2cosx 
y(0)=2 y'(0)=1.; 
Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de 
Contorno. Marque a única resposta correta. 
 
 
C1=1 C2=2; 
PVI 
 
5. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x) 
 
 ordem 2 grau 1 
6. 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
\(y' = {{5y - 2x} \over {-5x + 3y^2}}\) 
 
 \(- 5xy + y^3 + x^2 = k\) 
7. 
 
 
Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent. 
 
 1 
8. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - \(ydx+xdy=0\) 
II - \ -2y)dx+(x+y)dy=0\) ((x
III - \((2x^{2}-y)dx+(x+y)dy=0\) 
 
 Apenas a I. 
9. 
 
Resolver a equação diferencial 4 = 1, com a condição y(2) = 2: 𝑥 − 𝑦² 
 
 𝑦 = 2𝑥 𝑥² − + 8 
 
10. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - \ xy+x^{2})dx+(-5)dy=0\) ((
II - \(xe^{xy}dx+ye^{xy}dy=0\) 
III - \(ye^{xy}dx+xe^{xy}dy=0\) 
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 Apenas a III. 
11. 
 
Uma solução da equação diferencial y´=y é a função: 
 
 y = e
x 
12. 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
\((y - x^2)dx - (y^2 - x) dy = 0\) 
 
 \(yx - \frac{x^3}{3} - \frac{y^3}{3} = k \) 
13. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 
 y = C1e
-t + C2e-t 
 
14. 
 
São grandezas escalares, exceto: 
 
 
 João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros. 
 
15. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - \(2xydx+(1+x^{2})dy\) 
II - \((x+sen(y))dx+(xcos(y)-2y)dy=0\) 
III - \((2xy+x)dx+(x^{2}+y)dy=0\) 
 
 I, II e III são exatas 
 
1. 
 
Identifique no intervalo[ - ] onde as funções são linearmente π,π {t,t2, t3}
dependentes. 
 
 t=0 
2. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determinequais são lineares. 
I - \(y´+\frac{4}{x}y=x^{4}\) 
II - \(y´-2xy=x\) 
III - \(y´-3y=6\) 
 
 I, II e III são lineares.