LISTA_01_MATRIZES_E_SISTEMAS_LINEARES_AL_2022 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC
ÁLGEBRA LINEAR - 2022.1
GCET065 - T03 - BCET - Ter e Qui: 16h às 18h
Lista 01 - Matrizes e Sistemas Lineares 08/09/2022
Aluno(a):
Professor: Erikson Alexandre
I - Matrizes
(1) Sejam: A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[
−2 0 1
3 0 1
]
, C =
 −12
4
, D = [ 2 −1 ], E =
 1 03 −1
4 2

e F =
[
1 0
0 1
]
. Calcule, quando possı́vel:
(a) A + B
(b) B + F
(c) A · C
(d) C · A
(e) Et + (−A)
(f) C · D + 2E − At
(g) Ct · E − 3D
(h) E · F + At − Bt
(2) Dadas as matrizes A =
[
aij
]
2×2, tal que aij =
{
i + j , se i = j
0 , se i ̸= j
e B =
[
bij
]
2×2, tal que
bij = 2i − 3j, então A + B é igual a:
(a)
[
−1 4
−1 −2
]
(b)
[
1 −4
−1 −2
]
(c)
[
−1 4
1 2
]
(d)
[
1 −4
1 2
]
(e)
[
1 4
1 2
]
(3) Sendo as matrizes M = [mij]2×3, N = [nij]a×b, P = [pij]c×4, Q = [qij]d×e, é possı́vel determinar
M + N, N · P e P − Q, se:
(a) b − a = c − d
(b) a = b = c = d = e − 1
(c) b = a + 1, c = d = e = 4
(d) a · b = 6, a + 1 = b = c = d = e − 1
(e) b = c = d =
a + c
2
(4) O valor de x para que
[
−2 x
3 1
]
·
[
1 −1
0 1
]
seja uma matriz simétrica é:
(a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3
(5) Uma matriz quadrada A é ortogonal quando A é inversı́vel e A−1 = At.
(a) Determine se possı́vel x e y em R a fim de que a matriz A =
[ √
2 x
y
√
2
]
seja ortogonal.
(b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.
(6) Reduza as matrizes abaixo à forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das
mesmas.
1
2
(a) A =
 1 1 1 31 0 −1 1
0 1 2 2

(b) B =
[
1 −4
3 2
]
(c) C =
 6 3 −4−4 1 −6
1 2 −5

(d) D =
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1

(7) Usando as operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversı́veis e,
em caso afirmativo, determine a sua inversa.
(a) A =
[
1 3
2 7
]
(b) B =
 2 5 14 1 2
0 4 1
 (c) C =
 1 2 60 1 5
2 3 7
 (d) D = [ 1 2
3 4
]
(e) E =
 4 2 34 5 6
7 8 8

(8) Determine, se possı́vel, o valor de x para que a matriz A =
 0 2x 1x2 0 −x
x + 1 x3 0
 seja:
(a) simétrica (b) antissimétrica
(9) Mostre que:
(a) Se A e B são simétricas, então AB é simétrica se, e somente se, AB = BA.
(b) Se A e B são simétricas, então A + B e kA são simétricas, para todo escalar k.
(c) Se A e B são antissimétricas, então A + B e kA são antissimétricas, para todo escalar k.
(d) Para toda matriz A de ordem n, a matriz A + At é simétrica e a matriz A − At é antis-
simétrica.
(10) (a) Prove que toda matriz quadrada A é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz an-
tissimétrica.
(b) Ilustre o item (a) usando a matriz A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
.
(11) Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A =
[
1 1
0 0
]
.
(12) Para cada número real α consideremos a matriz: Tα =
[
cos α − sin α
sin α cos α
]
. Mostre que:
(a) TαTβ = T(α+β)
(b) T−α = Ttα
(13) Mostre que uma matriz A é inversı́vel se, e somente se, At é inversı́vel. Conclua que as operações
de inversão e de transposição comutam, ou seja, [At]−1 = [A−1]t, quando A é inversı́vel.
(14) Seja A = [aij] uma matriz antissimétrica. Demonstre que os elementos da diagonal principal são
todos nulos, ou seja, aii = 0 para i = 1, . . . , n.
3
(15) Seja A uma matriz idempotente de ordem n. Prove que B = I − A é uma matriz idempotente.
(16) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = A e BA = B. Mostre que A e B
são matrizes idempotentes.
(17) Considere A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
(a) se A é uma matriz simétrica, então Bt AB é uma matriz simétrica.
(b) se A é uma matriz antissimétrica, então Bt AB é uma matriz antissimétrica.
(18) Utilizando as propriedades de traço, mostre que não existem matrizes A e B, de ordem n, tais
que AB − BA = I.
(19) Considere a matriz real A dada por A =
[
a b
c d
]
com ad − bc ̸= 0.
(a) Mostre que
A−1 =
1
ad − bc
[
d −b
−c a
]
.
(b) O que podemos concluir se ad − bc = 0? Justifique sua resposta.
(20) Seja A uma matriz invertı́vel. Prove que, para qualquer escalar λ não-nulo,
(λA)−1 =
1
λ
A−1.
(21) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e B invertı́vel. Mostre que
tr(B−1 AB) = tr(A).
II - Sistemas Lineares
(22) Resolva os seguintes sistemas:
(a) S1 =

x + 2y − z = 2
2x − y + 3z = 9
3x + 3y − 2z = 3
(b) S2 =

2x − 3y + z = 2
3x + 2z = 0
5y − 2w = −5
y − z + w = −4
(23) Determine a solução do sistema abaixo, considerando o corpo dos números complexos.
{
2x + (i − 1)y + w = 0
3y − 2iz + 5w = 0
4
(24) Considere o sistema de equações lineares
S =

3x − 5y + 12z − w = −3
x + y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5
(a) Determine a solução do sistema;
(b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 no sistema acima, e então discuta a solução do novo
sistema em função do parâmetro real k;
(c) Admita, agora, que o sistema S, dado, seja homogêneo, isto é, todos os termos indepen-
dentes, das variáveis, são iguais a zero. Adicione a equação 2z − y − 2w = 0 neste sistema
homogêneo, e então obtenha a sua solução.
(25) Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio,
onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão
colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada
bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela
abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir
todo o alimento?
Alimento Bactéria 1 Bactéria 2 Bactéria 3
A 2 2 4
B 1 2 0
C 1 3 1
(26) A tabela abaixo dá a quantidade de proteı́na, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rações
R1, R2 e R3.
Ração Proteı́na Carboidrato Gordura
R1 0,1 0,2 0,3
R2 0,1 0,3 0,4
R3 0,1 0,1 0,2
Pergunta-se:
(a) Que quantidade de cada uma destas rações deve ser dada a um animal que precisa receber
0,7 Kg de proteı́na, 1,1 Kg de carboidrato e 1,8 Kg de gordura?
(b) Qual o custo mı́nimo para alimentar um animal, sabendo-se que os preços das rações R1, R2
e R3 são R$ 1,50, R$ 3,00 e R$ 2,00, respectivamente?
(27) Usando apenas as teorias dos sistemas de equações lineares e de escalonamento gaussiano, pro-
cure balancear, de forma mı́nima, a seguinte equação quı́mica, ou seja, determine os valores de
x, y, z e w inteiros positivos, na expressão abaixo:
xAl(OH)3 + yH2SO4 −→ zAl2(SO4)3 + wH2O
(28) Construir o polinômio interpolador quadrático dos pontos A = (1, 4), B = (−1, 10), C = (2, 7).
5
(29) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possı́vel e determinado
S =

3x − 7y = a
x + y = b
5x − 3y = 5a = 2b
x + 2y = a + b − 1
(30) Calcule o valor de k para que o sistema linear homogêneo admita apenas soluções próprias.
S =

x − y − z = 0
x − 2y − 2z = 0
2x + ky + z = 0
(31) Discuta, segundo o parâmetro m, os seguintes sistemas lineares:
(a) S1 =

x + y + z = 0
x − y + mz = 2
mx + 2y + z = −1
(b) S2 =

mx + y − z = 4
x + my + 2z = 0
y − z = 2
Bom Estudo!