1-Intro_estatistica

Prévia do material em texto

Instrumentação Industrial - 1
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Características estáticas de instrumentos
Exatidão (Accuracy)
Aptidão de um instrumento de medição para dar respostas próximas a um
valor verdadeiro convencional. A exatidão é um conceito qualitativo e
normalmente é dada como um valor percentual do fundo de escala do
instrumento.
Ex.: Um voltímetro com fundo de escala 10V e exatidão ±1%. O erro
máximo esperado é de 0,1 V. Isto quer dizer que se o instrumento mede 1V,
o possível erro é de 10% deste valor (0,1V). Por esta razão é uma regra
importante escolher instrumentos com uma faixa apropriada para os valores
a serem medidos.
Obs.: O Termo precisão não deve ser utilizado como sinônimo de exatidão.
Classe de exatidão
Classe de instrumentos de medição que satisfazem a certas exigências
metrológicas destinadas a conservar os erro dentro de limites especificados.
Ex.: Seja o caso dos TPs e dos TCs. A escolha da classe de exatidão
dependerá da aplicação do equipamento, que deverão possuir classe de
exatidão igual ou superior. As aplicações mais comuns são as seguintes:
Instrumentação Industrial - 2
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Classe de exatidão Aplicação
Menor que 0,3
(não padronizado)
TC padrão, medições em laboratório, medições
especiais
0,3
Medidas de energia com fins de faturamento,
medições em laboratórios
0,6 e 1,2
Alimentação usual de amperímetros,
voltímetros, wattímetros, medidores
estatísticos, fasímetros, etc.
3
Aplicações diversas. Não deve ser usado em
medição de energia e potência.
Precisão
A precisão é um termo que descreve o grau de liberdade a erros aleatórios, ou
seja, ao nível de espalhamento de várias leituras em um mesmo ponto. A
precisão é frequentemente confundida com a exatidão. Um aparelho preciso
não implica que seja exato. Uma baixa exatidão em instrumentos precisos
decorre normalmente de um desvio ou tendência (bias) nas medidas, o que
poderá ser corrigido por uma nova calibração.
A figura a seguir procura ilustrar as características de exatidão e precisão de
um instrumento ou equipamento.
Instrumentação Industrial - 3
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Baixa precisão
Baixa exatidão
Alta precisão
Baixa exatidão
Alta precisão
Alta exatidão
Os graus de repetitividade e de reprodutibilidade são maneiras alternativas de
se expressar a precisão. Embora estes termos signifiquem praticamente a
mesma coisa, eles são aplicados a contextos diferentes.
A repetitividade descreve o grau de concordância entre os resultados de
medições sucessivas de um mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas
condições de medição. Estas condições são denominadas condições de
repetitividade e incluem o mesmo procedimento de medição, mesmo
observador, mesmo instrumento de medição utilizado nas mesmas condições,
mesmo local e repetição em curto período de tempo.
A reprodutibilidade expressa o grau de concordância entre os resultados das
medições de um mesmo mensurando, efetuadas sob condições variadas de
medição. Para que uma expressão de reprodutibilidade seja válida, é
necessário que sejam especificadas as condições alteradas, que podem incluir
o princípio de medição, método de medição, observador, instrumento de
medição, padrão de referência, local, condições de utilização e condições
climáticas.
Instrumentação Industrial - 4
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Tolerância
A tolerância é um termo muito próximo à exatidão e define o erro máximo que é
esperado em um determinado valor. Embora não seja uma característica
estática de instrumentos, é aqui mencionado porque a exatidão de alguns
instrumentos é especificada em termos de tolerância. Quando aplicado
corretamente, a tolerância de um componente manufaturado descreve o
máximo desvio de um valor especificado. Por exemplo, um resistor escolhido
aleatoriamente com valor nominal 1000Ω e tolerância 5% pode ter seu valor
real entre 950 e 1050Ω.
Faixa de indicação (range ou span)
É o conjunto de valores limitados pelas indicações extremas, ou seja, os
valores máximos e mínimos possíveis de serem medidos com determinado
instrumento. Para um mostrador analógico a faixa de indicação pode ser
chamada faixa de escala. Em algumas áreas, a diferença entre o maior e o
menor valor é denominado amplitude da faixa nominal (span).
Ex.: Para uma faixa de indicação nominal de -10V a +10V, a amplitude
da faixa nominal (span) é de 20V.
Tendência de um instrumento (bias)
É um erro sistemático da indicação de um instrumento que ocorre em toda a
sua faixa de indicação. A tendência é normalmente estimada pela média dos
erros de indicação de um número apropriado de medições repetidas e poderá
ser removida através de nova calibração ou simplesmente um ajuste de zero.
Linearidade e não-linearidade
A linearidade é uma característica normalmente desejável onde a leitura de
um instrumento é linearmente proporcional à grandeza sendo medida. O
gráfico da figura a seguir mostra a relação entre uma grandeza e o resultado de
medições. Nesta figura pode-se observar um certo grau de linearidade que
pode ser notada mesmo visualmente. No entanto, utilizar-se-á métodos
estatísticos, tais como um coeficiente de correlação, para saber o quão a curva
mostrada se aproxima de uma reta.
Instrumentação Industrial - 5
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
A não-linearidade, por sua vez, é definida como o máximo desvio de qualquer
uma das leituras com relação à reta obtida, e é normalmente expressa como
uma percentagem do fundo de escala.
Sensibilidade do instrumento
A sensibilidade é definida como a resposta de um instrumento de medição
dividida pela correspondente variação no estímulo. A sensibilidade pode
depender do valor do estímulo. Sendo assim, a sensibilidade pode ser
contabilizada como a inclinação da reta que define a relação entre a leitura e a
grandeza medida.
Ex.: A pressão de 2 bar produz uma deflexão de 10 graus em um
transdutor de pressão, a sensibilidade do instrumento é 5 graus/bar,
desde que a deflexão seja zero quando aplica-se zero bar.
Sensibilidade a distúrbios
Todas as calibrações e especificações de um instrumento são válidos somente
sob condições controladas de temperatura, pressão, etc. Estas condições
ambientais padrão são usualmente definidas na especificação do instrumento.
Em função da variação das condições ambientais, certas características
estáticas dos instrumentos podem se alterar lentamente. Sendo assim, a
sensibilidade a distúrbios é uma medida da extensão destas alterações. Tais
variações de condições ambientais podem afetar os instrumentos de duas
maneiras, conhecidas como deriva (drift) de zero e deriva de sensibilidade.
A deriva de zero descreve o efeito de como a leitura de zero de um
instrumento é modificada pela alteração nas condições ambientais. Em um
voltímetro, por exemplo, a deriva de zero relacionada à variações de
temperatura é dada em volts/oC. Se o zero deste voltímetro é modificado em
Instrumentação Industrial - 6
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
funções de outras condições ambientais, outros coeficientes deverão ser
determinados.
A deriva de sensibilidade ou deriva do fator de escala define o quão a
sensibilidade de um instrumento varia em função das condições ambientais.
As figuras a seguir exemplificam a existência de deriva de zero, deriva de
sensibilidade, e o caso onde ambas acontecem, respectivamente.
Exercício:
Uma balança de mola é calibrada em um ambiente à temperatura de 20oC com
as seguintes características deflexão/carga:
Carga (kg) 0 1 2 3
Deflexão (mm) 0 20 40 60
Instrumentação Industrial - 7
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Quando usado em um ambiente à temperatura de 30oC obtém-se as seguintes
características deflexão/carga:
Carga (kg) 0 1 2 3
Deflexão (mm) 5 27 49 71
Determine a deriva dezero e de sensibilidade por oC de mudança na
temperatura ambiente.
Solução:
A 20 oC - sensibilidade 20 mm/kg
A 30 oC - sensibilidade 22 mm/kg
Tendência (bias) = 5 mm (deflexão a carga zero)
Sensibilidade = 2 mm/kg
Deriva de zero / oC = 5 / 10 = 0,5 mm/ oC
Deriva de sensibilidade / oC = 2 / 10 = 0,2 (mm/kg)/ oC
Resolução
É a menor diferença entre indicações de um dispositivo mostrador que pode
ser significativamente percebida. Para um dispositivo mostrador digital, é a
variação na indicação quando o dígito menos significativo varia de uma
unidade. Este conceito também se aplica a um dispositivo registrador.
Zona morta
Intervalo máximo no qual um estímulo pode variar em ambos os sentidos, sem
produzir variação na resposta de um instrumento de medição. A zona morta
pode depender da taxa de variação e pode, muitas vezes, ser deliberadamente
ampliada, de modo a prevenir variações na resposta para pequenas variações
no estímulo.
Instrumentação Industrial - 8
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Características dinâmicas de instrumentos
As características estáticas dos instrumentos se referem somente a medidas
em regime permanente. As características dinâmicas, no entanto, descrevem o
seu comportamento durante o intervalo de tempo em que a grandeza medida
varia até o momento em que o seu valor medido é apresentado. Como nas
características estáticas, as características dinâmicas se aplicam somente
quando os instrumentos são utilizados sob condições ambientais especificadas.
Fora destas condições de calibração pode-se esperar alterações nestas
características dinâmicas.
Qualquer sistema de medida linear e invariante no tempo respeita a seguinte
relação entre entrada (qi) e saída (q0) em um tempo t maior que zero.
i0i1i1m
1m
1m
im
m
m000101n
1n
1n0n
n
n
qbq
dt
d
b...q
dt
d
b
q
dt
d
bqaq
dt
d
a...q
dt
d
aq
dt
d
a
++++
+=++++
−
−
−
−
−
−
a0, …, an, b0, …,bm são constantes.
Se for considerado que a grandeza a ser medida permanece constante durante
o tempo de leitura, então esta equação fica simplificada, podendo ser chamada
equação dinâmica.
i0000101n
1n
1n0n
n
n qbqaqdt
d
a...q
dt
d
aq
dt
d
a =++++
−
−
−
Simplificações adicionais podem ser consideradas quando esta equação é
aplicada a classes típicas de instrumentos.
Instrumento de ordem zero
A menos de a0, todos os outros coeficientes da equação dinâmica são iguais a
zero.
i000 qbqa = ou ii000 qKqa/bq ⋅=⋅=
Onde K é uma constante conhecida como sensibilidade do instrumento,
definida anteriormente.
Qualquer instrumento que se comporte segundo esta equação é dito ser de
ordem zero. Como exemplo, pode-se citar um potenciômetro usado para medir
Instrumentação Industrial - 9
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
movimento; a tensão de saída muda instantaneamente tão logo a haste do
potenciômetro se movimente ao longo de seu curso.
Instrumento de primeira ordem
A menos de a0 e a1, todos os outros coeficientes da equação dinâmica são
iguais a zero.
i00001 qbqaqdt
d
a =+
Se d/dt for substituído pelo operador D, tem-se:
i00001 qbqaqDa =+ ou D)a/a(1
q)a/b(
q
01
i00
0 +
=
Definindo-se K = b0/a0 como sendo a sensibilidade estática e τ = a1/a0 como a
constante de tempo do sistema, tem-se:
D1
qK
q i0 τ+
=
Resolvendo-se analiticamente esta equação, a saída q0 em resposta a um
degrau na entrada qi varia de maneira aproximada à figura a seguir. A
constante de tempo τ da resposta ao degrau é o tempo tomado quando a saída
atinge 63% do seu valor final.
O termopar é um bom exemplo de instrumento de primeira ordem. Se um
termopar à temperatura ambiente for colocado em água fervente, a tensão de
saída não irá instantaneamente para o nível de 100oC, mas irá gradativamente
conforme mostrado na figura anterior até atingir o seu valor definitivo.
Instrumentação Industrial - 10
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Um grande número de instrumentos pertence à classe de instrumentos de
primeira ordem e, na maioria destes casos, as constantes de tempo possuem
valores reduzidos. É conveniente salientar que em se tratando de sistemas de
controle, é de fundamental importância que esta constante de tempo seja
levada em consideração.
Calibração de instrumentos
A calibração de instrumentos é um conjunto de operações que estabelece, sob
condições específicas, a relação entre os valores indicados por um instrumento
de medição ou sistema de medição ou valores representados por uma medida
materializada ou um material de referência, e os valores correspondentes das
grandezas estabelecidas por padrões. Muitas vezes o termo aferição também
é empregado com o sentido de calibração; no entanto a tendência é o desuso
deste, já que em nível mundial não existe o seu sinônimo em inglês ou em
francês como acontece com o termo calibração (calibration ou étalonnage).
O resultado de uma calibração permite tanto o estabelecimento dos valores do
mensurando para as indicações, como a determinação das correções a serem
aplicadas. Além disto, uma calibração pode, também, determinar outras
propriedades metrológicas como o efeito das grandezas de influência.
O resultado de uma calibração pode ser registrado em um documento, algumas
vezes denominado certificado de calibração ou relatório de calibração.
Padrão
Medida materializada, instrumento de medição, material de referência ou
sistema de medição destinado a definir, realizar, conservar ou reproduzir uma
unidade ou um ou mais valores de uma grandeza para servir como referência.
Sendo assim, tem-se os seguintes tipos de padrões:
• Padrão de referência: Padrão, geralmente tendo a mais alta qualidade
metrológica disponível em um dado local ou em uma dada organização, a
partir do qual as medições lá executadas são derivadas.
• Padrão primário: Padrão que é designado ou amplamente reconhecido
como tendo as mais altas qualidades metrológicas e cujo valor é aceito sem
referência a outros padrões de mesma grandeza. Este conceito é
igualmente válido para grandezas de base e para grandezas derivadas.
• Padrão secundário: Padrão cujo valor é estabelecido por comparação a
um padrão primário da mesma grandeza.
Instrumentação Industrial - 11
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
• Padrão internacional: Padrão reconhecido por um acordo internacional
para servir, internacionalmente, como base para estabelecer valores a
outros padrões da grandeza a que se refere.
• Padrão nacional: Padrão reconhecido por uma decisão nacional para
servir, em um país, como base para estabelecer valores a outros padrões
da grandeza a que se refere.
• Padrão de trabalho: Padrão utilizado rotineiramente para calibrar ou
controlar medidas materializadas, instrumentos de medição ou materiais de
transferência. Um padrão de trabalho é, geralmente, calibrado por
comparação a um padrão de referência. O padrão de trabalho utilizado
rotineiramente para assegurar que as medições estão sendo executadas
corretamente é chamado padrão de controle.
• Padrão de transferência: Padrão utilizado como intermediário para
comparar padrões. O termo dispositivo de transferência deve ser utilizado
quando o intermediário não é um padrão.
• Padrão intinerante: Padrão, algumas vezes de construção especial, para
ser transportado entre locais diferentes, como, por exemplo, o padrão de
frequência de césio, portátil, operado por bateria.
Grandezas base e padrões associados
O sistema corrente de unidades - Sistema Internacional (SI) - adotado e
recomendado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas, se baseia nas sete
unidades de base seguintes.
Instrumentação Industrial - 12
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Grandeza
Física
Unidade
padrão
Definição
Comprimento m
O comprimento do caminho percorrido pela luz
em um intervalo de 1/299792458 segundos.
Massa kg
A massa do cilindro de platino-irídio mantido no
Bureau internacional de pesos e medidasem
Sèvres, França.
Tempo s
9192631770 períodos da radiação
correspondente à transição entre os dois níveis
hiperfinos do estado fundamental do átomo de
césio 133 (uma precisão de 1 em 1012 ou 1
segundo em 36000 anos)
Temperatura K
Fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica
do ponto tríplice da água.
Corrente A
Um ampère é a corrente que flui em dois
condutores paralelos, retilíneos, infinitamente
longos e de seção transversal desprezível,
imerso em vácuo, distantes um metro um do
outro, produz a força de 2 x 10-7 N por metro de
comprimento destes condutores.
Intensidade
luminosa
cd
Um candela é a intensidade luminosa em uma
dada direção de uma fonte que emite radiação
monocro-mática à frequência de 540 THz (Hz x
1012) com uma densidade de radiação de
1,4641 mW/esterradiano*.
Matéria mol
Quantidade de matéria de um sistema que
contém tantas entidades elementares quantos
são os átomos contidos em 0,012 kg de massa
do carbono 12.
* Um esterradiano é o ângulo sólido no qual, tendo o seu vértice no centro de uma esfera, corta uma área
da superfície desta esfera igual à área de um quadrado cujos lados têm o comprimento igual ao raio da
esfera.
Através destas unidades base pode-se obter as chamadas unidades derivadas.
Instrumentação Industrial - 13
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Rastreabilidade
Propriedade do resultado de uma medição ou do valor de um padrão estar
relacionado a referências estabelecidas, geralmente padrões internacionais ou
nacionais, através de uma cadeia contínua de comparações, cadeia de
rastreabilidade, todas tendo incertezas estabelecidas. Sendo assim, este
padrão pode ser dito rastreável. A figura a seguir apresenta um esquema de
uma cadeia de rastreabilidade.
Ferramental estatístico
Na ciência da instrumentação e controle, os métodos estatísticos se
apresentam como ferramentas fundamentais. A aplicação destas técnicas se
estende desde a calibração de um equipamento, através da comparação de
padrões de referência, até a análise dos dados obtidos em experimento.
Também em sistemas de controle, as técnicas de identificação de parâmetros
de funções de transferência buscam na estatística os princípios básicos para
os seu desenvolvimento.
Média e mediana
Qualquer medida está sujeita a erros aleatórios. A solução natural é tomar um
elevado número de medidas, se possível com diferentes observadores, e
extrair o valor mais provável deste conjunto de medidas. Para um conjunto de
medidas x1, x2, ... , xn, o valor mais provável é a média aritmética, x , dada por:
n
x...xx
x n21
+++=
onde n é o número de medidas.
Instrumentação Industrial - 14
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Uma outra técnica é tomar a mediana, que é definida pelo valor central do
conjunto de medidas quando ordenado ascendentemente ou
decrescentemente, ou seja:
2/)1n(xx +=
!
Média móvel
A média móvel é uma eficiente ferramenta de análise estatística e se baseia na
determinação da média ou da mediana para uma "janela" contendo um
determinado número de pontos (tamanho da janela), sendo que esta janela se
movimenta por todo o conjunto de pontos. O j-ésimo valor será dado por
N
x
x̂
2/Ni
2/Nij
j
j
∑
+
−==
Onde N é o tamanho da janela.
Desvio padrão e variância
A probabilidade de que o valor médio ou a mediana de um conjunto de dados
represente o valor verdadeiro da medida depende do grau de dispersão dos
valores deste conjunto. Definindo-se um desvio, di, dado pela diferença entre o
i-ésimo valor do conjunto de dados e o valor médio deste conjunto, o quão os
valores das n medidas estão espalhadas em relação à média pode ser
expresso pelo desvio padrão, σ, dado por:
1n
)xx(
1n
d...dd
n
1i
2
i2/12
n
2
2
2
1
−
−
=







−
+++
=σ
∑
=
A variância é dada pelo quadrado do desvio padrão.
Teorema central do limite
O teorema central do limite preconiza que a soma de n distribuições quaisquer,
quando n tende para o infinito, resulta em uma distribuição normal, ou
Gaussiana. Este fato pode ser observado aplicando-se o método de Monte
Carlo ou da convolução.
Instrumentação Industrial - 15
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Erro padrão da média
As análises anteriores são válidas estritamente quando o conjunto de medidas
contém infinitos valores. Na realidade, naturalmente, isto é impraticável e,
sendo assim, algum erro é esperado pela utilização destas equações nestas
condições. Se vários subconjuntos são tomados de uma população de dados
infinita então, pelo teorema central do limite, a média dos subconjuntos irão
formar uma distribuição normal em torno da média do conjunto infinito de
dados. O erro na média do conjunto finito de dados é usualmente expresso
pelo erro padrão da média, α, calculado por:
n/σ=α
Este tende para zero quando n tende para infinito. O valor obtido a partir do
conjunto de medidas será expresso por:
α±= xx
Regressão linear
Uma das técnicas mais extensivamente empregadas é a regressão linear e
ajuste de equações a conjuntos de dados, buscando os seguintes objetivos:
• Condensar dados obtendo fórmulas preditivas;
• Confirmar ou rejeitar uma relação matemática proposta;
• Modelagem matemática de sistemas; e,
• Comparações quantitativas de dois ou mais conjuntos de dados.
Considerando a análise de regressão linear onde trabalha-se com uma variável
dependente e uma variável independente. A variável independente, x, também
chamada variável de controle, pode assumir um valor qualquer dentro das
limitações físicas impostas pelo processo de análise. A variável dependente, Y,
é uma variável aleatória caracterizada por uma distribuição onde, para cada
valor de x, obtém-se como resposta uma realização Y, também denominada
variável de resposta. Assumindo que um conjunto de dados com n pares de
valores (xi,yi), i=1,…,n, tenha sido obtido a partir do processo em questão.
Deve-se tem sempre em mente que ao se aplicar uma regressão linear
assume-se as seguintes considerações:
• As variáveis Y e x são teoricamente relacionadas uma à outra pela equação
de uma reta:
x]Y[E 10 β+β=
• O conjunto de dados é representativo do processo;
Instrumentação Industrial - 16
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
• Os Yi, i=1,…,n, são valores independentes um do outro (autocovariância
nula);
• Os Yi são variáveis aleatórias que possuem uma mesma variância, σ2;
• Os erro aleatórios intrínsecos a Yi seguem uma distribuição normal.
Do ponto de vista prático, não é muito razoável acreditar que cada xi é
exatamente conhecido, sem erro. Entretanto, a técnica de regressão linear
requer que este seja conhecido com razoável precisão e que qualquer
incerteza associada a xi seja muito menor que a variabilidade inerente
associada a Yi. Esta restrição proíbe a aplicação da regressão linear a
situações nas quais tanto a variável dependente quanto a independente sejam
aleatórias simultaneamente observadas. Uma das técnicas para a análise de
tal situação é a convolução.
A equação anterior define a relação entre x e Y, mas ainda não é um modelo
matemático de regressão linear porque não considera a presença dos erros
inevitáveis no processo experimental. Este modelo matemático pode ser obtido
através da adição do erro εi.
i10i xY ε+β+β=
Onde εi representa uma variável aleatória unicamente associada a Yi, para
cada i=1,…,n. As variáveis εi são identicamente distribuídas N(0,σ) e cada εi é
estatisticamente independente de qualquer outro εj com j≠i (ruído branco).
Os parâmetros β0 e β1 são constantes cujos valores verdadeiros são
desconhecidos e devem ser determinados a partir dos dados. Cada valor xi
pode ser considerado como uma constante e, para cada um, tem-se uma
variável independente yi.
O lado direito desta equação possui uma variável aleatória εi. As outras três
são constantes. Posto que εi é distribuído N(0,σ), ambos lado direito e lado
esquerdo (Yi) são distribuídas como N(β0 + β1 xi ,σ).
A figura a seguirapresenta uma interpretação gráfica do conteúdo teórico desta
expressão. Note que o valor esperado (média) de Yi, E(Yi), varia linearmente de
uma maneira proporcional ao valor de xi. No entanto, a variância de Yi se
mantém constante, não importando o valor de xi. De um ponto de vista
tridimensional, a distribuição de probabilidade de Yi, f(Yi), forma um contorno
com idênticas funções de densidade normal, diferindo somente nas suas
médias, que seguem o lugar definido pela reta.
Instrumentação Industrial - 17
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Posto que o modelo tem a forma de uma linha reta de duas dimensões, β0 é o
intercepto de y e β1 é a inclinação da linha. Diferentemente de Yi = β0 + β1 xi +
β2 xi2 + εi - que é linear nos seus parâmetros e é de segunda ordem em xi - e
diferente de Yi = β0e(β1 xi) + εi, que é não linear nos parâmetros e de primeira
ordem em xi.
Com o modelo de regressão linear em mãos, deve-se investigar a técnica que
leva às melhores estimativas de β0 e β1 para se obter o melhor ajuste. No
entanto, surge a questão: Qual é o melhor ajuste? O melhor ajuste é aquele
que minimiza o erro total. Basta, afinal, definir a forma como se calcula este
erro total. Considerando que o erro é dado pela diferença entre o valor medido
e o valor verdadeiro, obtido pela regressão linear, pode-se citar três
alternativas:
Soma total dos erros: ∑ − )ŷy( ii
Dados três pontos distribuídos aleatoriamente no plano xy observa-se com este
critério que mais de uma reta atinge o objetivo de minimizar a soma total dos
erros, fato que o torna inconveniente.
Instrumentação Industrial - 18
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Instrumentação Industrial - 19
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Soma total dos módulos dos erros: ∑ − ii ŷy
Tomando-se os mesmos pontos analisados, pode-se obter as seguintes retas
alternativas empregando este critério.
A soma dos módulos dos erros no primeiro caso é igual a 4, enquanto que para
o segundo resulta 3, ou seja, seguindo este critério a segunda curva seria a
escolhida; no entanto observa-se, por este exemplo, a redundância de um
ponto, já que o resultado seria o mesmo caso ele não existisse, não
representando a realidade de maneira fidedigna. Sendo assim, este critério
pode ser descartado.
Soma total dos quadrados dos erros: ∑ − 2ii )ŷy(
Esta alternativa tem se mostrado superior em relação às anteriores pelos
seguintes motivos:
• Elevando ao quadrado, todos os erros se tornam positivos e o problema do
sinal é superado;
• Todos os dados contribuem para a identificação dos parâmetros;
• Elevando ao quadrado, são enfatizados os grandes erros e, pela natureza
do critério, estes pontos serão evitados (filtro);
• A álgebra é simples e de fácil implementação computacional.
Sendo assim, substituindo Yi, β0 e β1 por yi, b0 e b1 e isolando o resíduo, ei
(estimativa de εi), vem:
)xbb(ye 10ii +−=
Os valores dos parâmetros que resultarem da minimização da soma dos
quadrados dos resíduos, b0 e b1, são frequentemente chamados estimativas de
β0 e β1. Tem-se:
Instrumentação Industrial - 20
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
∑∑
==
−−==
n
1i
2
10i
n
1i
2
i )xbby(eFmin
Tomando a derivada parcial de F com relação a b0 e b1, e igualando a zero,
vem:
n
xby
b
n
1i
i1
n
1i
i
0
∑∑
==
−
=
e
∑ ∑∑
∑∑∑
= ==
===
−
−
=
n
1i
n
1i
i
n
1i
i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
1
xxxn
yxyxn
b
Em termos de estimadores tem-se:
i10i
11
00
xˆˆŶ
bˆ
bˆ
β+β=
=β
=β
Para o caso particular onde yi = b1 x, resulta:
∑
∑
=
==
n
1i
2
i
n
1i
ii
1
x
yx
b
que é a regressão linear sem intercepto.
Certas funções curvilineares podem ser linearizadas, e terem seus parâmetros
determinados pelo método de mínimos quadrados, procedendo-se a apenas
algumas mudanças de variáveis. A tabela a seguir mostra algumas destas
funções.
Instrumentação Industrial - 21
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Função Equação original Equação linearizada
Hiperbólica
10 x
x
y
β+β
=
x
1
y
1
10 β+β=
Exponencial )xexp(y 10 ββ= xlnyln 10 β+β=
Potência 1xy 0
ββ= xlnlnyln 10 β+β=
Logarítmica xlny 10 β+β= xlny 10 β+β=
Exponencial
inversa
)x/exp(y 10 ββ= x/lnyln 10 β+β=
Pseudo-
exponencial x10 e
1
y −β+β
= x10 ey
1 −β+β=
É curioso observar que a reta obtida por mínimos quadrados passa exatamente
pela coordenada definida pelo valor médio das variáveis independentes e das
variáveis dependentes.
Erros de medidas
Erro de medição
Erro, ou erro absoluto da medição, é o resultado de uma medição menos o
valor verdadeiro. Caso, na prática, o valor verdadeiro não possa ser
determinado, utiliza-se um valor verdadeiro convencional.
Erro relativo
Erro de medição dividido pelo valor verdadeiro. Caso, na prática, o valor
verdadeiro não possa ser determinado, utiliza-se um valor verdadeiro
convencional.
Erros sistemáticos
Os erros sistemáticos descrevem erros de leituras em sistemas medidas que
sistematicamente se apresentam de um lado da medida correta, isto é, ou são
sempre positivos ou sempre negativos. Estes erros são devidos à
Instrumentação Industrial - 22
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
características inerentes da fabricação do instrumento, tais como tolerâncias de
componentes, ou também devido ao uso, ou mal uso, do instrumento e
distúrbios ambientais. Tais erros podem ter sua influência minimizada através
do uso de arranjos eficientes de medição, modificação das entradas do
sistema, projeto adequado do instrumento, propiciando altos ganhos de
realimentação e redução de ruídos através de filtros, dentre outros.
Exemplo: Considere as seguintes situações onde para a medição da
resistência, R, de um circuito emprega-se uma fonte, E, um voltímetro,
V, e um amperímetro, A. ra e rv são resistência interna do amperímetro e
do voltímetro, respectivamente.
A resistência desconhecida será calculada pela relação entre a tensão,
VR, e a corrente, IR, medidos em seus terminais. Nas situações
apresentadas, no entanto, o que se consegue com as leituras no
voltímetro e amperímetros é:
R
raR
I
VV
I
V
R
+
==
rvR
R
II
V
I
V
R
+
==
Nestas duas alternativas observar-se-á sempre a presença de erros
sistemáticos devido à natureza real dos medidores.
Erros estatísticos
Os erros estatísticos ou erros aleatórios são perturbações na medida que
podem atuar positivamente ou negativamente sobre a medida em relação ao
seu valor verdadeiro, de modo que erros positivos e erros negativos ocorram
em igual número de vezes em uma série de medidas sobre uma mesma
grandeza. Em geral estes erros são de pequena magnitude, podendo,
aleatoriamente, atingir valores elevados. Estes erros podem ocorrer, por
exemplo, quando um observador humano tem que interpolar a medida em uma
escala analógica, por influência de ruídos elétricos. Na maioria dos casos os
erros aleatórios podem ser superados tomando-se a média aritmética de um
grande número de leituras de uma mesma grandeza. Devido à natureza
Instrumentação Industrial - 23
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
estatística deste erro, é comum expressar a medida em termos probabilísticos
associando ao resultado o seu intervalo de confiança.
Instrumentação Industrial - 24
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Expressão da incerteza
Incerteza de medição
A incerteza de medição é um parâmetro associado ao resultado de uma
medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser
fundamentadamente atribuídos a um mensurando. Este parâmetro pode ser,
por exemplo, um desvio padrão (ou múltiplo dele), o a metade de um intervalo
correspondente a um nível de confiança estabelecido. Existem outras
definições tais como a que preconiza que a incerteza de medição é a medida
do possível erro no valor estimado do mensurando como resultado de umamedida, ou aquela em que a incerteza é uma faixa de valores dentro do qual se
encontra o valor verdadeiro da grandeza a ser medida. Embora estes dois
últimos conceitos tradicionais sejam válidos, eles enfocam grandezas
desconhecidas tais como erro e valor verdadeiro. No entanto, qualquer
conceito que seja adotado, um componente da incerteza será sempre avaliado
a partir de dados disponíveis e informações correlatas.
A incerteza de medição compreende, em geral, muitos componentes. Alguns
destes componentes podem ser estimados com base na distribuição estatística
dos resultados das séries de medições e podem ser caracterizados por desvios
padrões experimentais. Os outros componentes, que também podem ser
caracterizados por desvios padrão, são avaliados por meio de distribuição de
probabilidades assumidas, baseadas na experiência ou em outras informações.
Entende-se que o resultado da medição é a melhor estimativa do valor do
mensurando, e que todos os componentes da incerteza, incluindo aqueles
resultantes dos efeitos sistemáticos, como os componentes associados com
correções e padrões de referência, contribuem para a dispersão.
As análises que se seguem partem do princípio que um mensurando Y é
designado uma saída ou um resultado, e que depende de um número de
grandezas de entrada Xi (i = 1, 2, ..., v) de acordo com a seguinte função G.
Y = G (X1, X2, ..., Xi, ..., Xv)
Formulação dos dados de entrada
Como medida da incerteza destes valores estimados xi, podem ser usados o
seu desvio padrão, 
ix
S , a variância, 2xi
S , ou os seus valores relativos, desvio
padrão relativo, ixx x/SS ii =′ , e variância relativa, 
2
ix
2
x )x/S()S( ii =′ . No caso
onde duas grandezas de entrada Xi e Xk forem correlacionadas, isto é, se uma
depende da outra com certo grau, deve-se estimar a covariância e a sua
contribuição na incerteza.
Instrumentação Industrial - 25
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Se a distribuição da população for conhecida, baseado na teoria ou na
experiência, o valor apropriado da variância baseada nesta distribuição deverá
ser adotado. Caso contrário considera-se as seguintes alternativas.
• Grandezas medidas repetidamente
Quando uma medida é repetida em determinadas condições, o valor estimado
de xi do verdadeiro valor da grandeza Xi é dado pela média aritmética dos
valore medidos individualmente vi,j (j=1, ..., n).
∑
=
==
n
1j
j,iii vn
1
vx
Uma estimativa do desvio padrão da distribuição dos valores será dada por:
∑
=
−
−
=
n
1j
2
ij,iv )vv(1n
1
S
i
O valor estimado da variância experimental de xi é:
2
v
2
x ii
S
n
1
S =
Se o número de medidas é menor que 10, o desvio padrão leva a uma sub-
estimativa da contribuição da incerteza. Neste caso, o valor da variância
experimental deverá ser determinado em função da experiência (ex.: com base
em medidas pretéritas) ou multiplicando-se os valores de Sv pelos fatores da
tabela a seguir:
Número de
valores
medidos
2 3 4 5 6 7 8 9
Fator
multiplicativo
7,0 2,3 1,7 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2
• Limites inferiores e superiores
Se somente os limites inferiores e superiores au,i e al,i puderem ser estimados
para o valor da grandeza de influência (ex.: limites do erro do instrumento de
medida, faixa de variação da temperatura, etc.), pode-se usar as seguintes
expressões:
Instrumentação Industrial - 26
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
( )i,li,ui aa2
1
x +=
( )2i,li,u2x aa12
1
S
i
−=
Se a diferença entre os valores limites for denotada por 2ai, tem-se:
2
i
2
x
a
3
1
S
i
=
Estas expressões correspondem às de uma distribuição retangular.
Obtenção dos resultados
O resultado de uma medida y, como um valor estimado do valor verdadeiro da
grandeza de saída Y, é calculado substituindo-se os valores de Xi por xi:
y = G (x1, x2, ..., xi, ..., xv)
Considerando que as grandezas de entrada não apresentem correlação, a
variância da saída será:
2
x
n
1i
2
i
2
y
i
S
X
G
S ∑
=




∂
∂=
Onde ∂G/∂Xi é a derivada parcial da função G com relação à grandeza Xi tendo
seu valor substituído por xi. Isto descreve o quão a grandeza de saída está
relacionada com cada grandeza de entrada. A variância do resultado da
medida é dada, pois, adicionando-se as variâncias correspondentes a cada
componente multiplicadas pelo quadrado das derivadas parciais relevantes.
Se a função G é linear para todas as entradas, o que ocorre frequentemente no
caso de medições diretas, todas as derivadas parciais são iguais a 1, ou
quando for possível utilizar as variâncias relativas e a função inclui um produto
ou quociente de grandezas de entrada. Nestes casos pode-se fazer:
∑
=
=
n
1i
2
x
2
y
i
SS ou ∑
=
′=′
n
1i
2
x
2
y )S()S( i , respectivamente.
A raiz quadrada da variância é o desvio padrão, que é uma medida da
incerteza combinada da grandeza de saída Y.
No campo das calibrações é usual empregar-se uma incerteza total da medida,
± u, obtida pela multiplicação do desvio padrão pelo fator k.
Instrumentação Industrial - 27
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
ySku ⋅=
No caso de uma distribuição normal usa-se o fator k=2 que limita a incerteza
total em um intervalo de confiança de aproximadamente 95%. Sendo assim,
em certificados de calibração, o resultado da medida y a incerteza total u
devem ser dadas na forma (y ± u).
Instrumentação Industrial - 28
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Ferramentas analógicas
Circuitos com amplificadores operacionais
Características básicas
O amplificador operacional (op-amp) é um dos componentes de circuitos mais
utilizados, principalmente pela sua versatilidade e baixo custo.
Com Vo=A.(V+ - V-)
As características ideais de um op-amp são:
1. Amplificação diferencial com ganho infinito;
2. Impedância de entrada infinita;
3. Impedância de saída nula.
No entanto, op-amps reais se comportam da seguinte maneira:
1. Possuem realmente alto ganho que, no entanto, cai com o inverso da
frequência, de maneira que o produto ganho frequência esteja entre 105 e
108;
2. A impedância de entrada é tipicamente 106 Ω para bipolares e 1012 Ω para
FET;
3. Quando V-=V+ a saída não é nula devido a desbalanços internos de tensão
e corrente (offset);
4. A saída em corrente fica limitada em 10 mA a ±10V.
Amplificador inversor
Características:
• 1120 V)R/R(V ⋅−=
• Zi = R1
• Zo → 0
• R3=R1//R2 para minimizar offset.
Instrumentação Industrial - 29
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Instrumentação Industrial - 30
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Amplificador não-inversor
Características:
• 1120 V)R/R1(V ⋅+=
• Zi → ∞
• Zo → 0
• R1//R2=Rfonte para minimizar offset.
Amplificador subitrator
Características:
• Para R1=R3 e
R2=R4: )VV()
R
R
(V 12
1
2
0 −⋅=
• R1//R2 = R3//R4 para minimizar offset.
Seguidor de tensão
Características:
• 10 VV =
• Zi → ∞
• Zo → 0
• R = Rfonte para minimizar offset.
Conversor corrente tensão
Características:
• IRV0 ⋅=
• Zi = R
• Zo → 0
Instrumentação Industrial - 31
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Amplificador somador
Características:
• 



+++⋅−=
n
n
2
2
1
1
0 R
V
...
R
V
R
V
RV
• )V...VV(RV n210 +++⋅−= para
R1=R2=...=Rn = R
• Zo → 0
Amplificador de instrumentação
Características:
• 



+⋅=
−
=
−+
±
1
2
3
40
R
R2
1
R
R
VV
V
G
• Zi → ∞
• Zo → 0
Filtro passa baixa
Características:
• 
2
c
12
2
2
12
1
0
)f/f(1
R/R
)CR(1
R/R
V
V
+
−=
ω+
−=
• Deslocamento de fase
 c2 f/fCRtan −=ω−=φ
• Em fc (frequência de corte) o ganho reduz
 3,01 dB, e acima, 20 dB por década.
Filtro passa alta
Características:
• 
2
1
2
1
0
)CR(1
CR
V
V
ω+
ω−=
• Acima de fc o ganho passa a ser -R2/R1
Instrumentação Industrial - 32
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. BortoniInstrumentação Industrial - 33
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Sistemas de aquisição de dados
Os sistemas de aquisição de dados vêm se firmando rapidamente como uma
alternativa de instrumentação que combina baixo custo com alta qualidade.
Tais sistemas podem ser encontrados como placas a serem instaladas
diretamente nos slots de PCs, instrumentos dedicados, controladores lógico
programáveis, unidades terminais remotas, etc. Podem contar com
conversores analógico- digitais, digitais- analógico, entradas e saídas digitais,
controladores e temporizadores, dentre outros.
Conversores D/A
O conversor digital para analógico (D/A) transforma um número binário de N
bits em uma tensão ou corrente de saída que pode ter 2N valores distintos.
Geralmente a relação entre entrada e saída é linear, mas outros tipos de
relação (ex.: logarítmica) também são encontradas. A figura a seguir traz uma
representação gráfica de um conversor de 3 bits, tendo oito níveis discretos na
saída compreendendo a faixa de 0 a 7/8 do fundo de escala (F.S.).
Nesta figura pode-se observar algumas características dos conversores D/A,
reais:
1. A resolução, ou erro de quantização, de um conversor D/A de N bits é a
maior diferença entre qualquer tensão dentro da faixa total de saída e a
tensão de saída mais próxima. No caso de um conversor D/A ideal, este é a
metade de um degrau, ou seja, 0,5 LSB. Devido à relação estreita entre
resolução e número de bits, a descrição resolução N-bits é frequentemente
utilizada.
Instrumentação Industrial - 34
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
2. O erro de exatidão absoluto é a diferença entre a saída real e a saída
ideal, normalmente expresso em unidades de LSB para comparação com o
erro de quantização.
3. O erro de exatidão relativa é a diferença a saída real e a linha reta que
passa pelos pontos medidos da escala. Posto que este erro é relativo à
linha reta, também é chamado erro de linearidade. É expresso em
unidades de LSB para comparação com o erro de quantização.
Existem vários circuitos capazes de exercer esta tarefa, porém os mais
utilizados são baseados em amplificadores operacionais. O primeiro e mais
simples esquema é o que se utiliza de um circuito somador com resistores em
peso binário.
Uma outra alternativa é a utilização de uma rede R-2R.
As principais características na especificação de um conversor D/A são:
• Modelo
• Resolução
• Entradas digitais
• Faixas de saída
• Impedância de saída
• Velocidade de conversão
• Linearidade
• Precisão
Instrumentação Industrial - 35
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
• Tempo de acomodação
• Coeficientes de deriva
• Alimentação
Conversores A/D
Os conversores analógicos- digitais são circuitos ou componentes que,
excitados por uma tensão ou corrente, produzem um código digital equivalente.
Para tanto, existem várias filosofias de conversão que podem ser
implementadas. A mais simples, porém menos utilizada é o conversor A/D
básico, mostrado na figura a seguir.
Nesta filosofia, após liberado o sinal de início da conversão - SC -, o contador
passa a gerar palavras digitais a partir de zero, simultaneamente o conversor
D/A produz um valor analógico equivalente à palavra gerada pelo contador.
Este valor é então comparado ao sinal analógico aplicado na entrada - Vent.
Enquanto o sinal gerado for menor que o aplicado, o contador continua
operando e gerando novos sinais analógicos formando a chamada tensão em
escada. Este ciclo se repete até que o sinal analógico gerado seja igual ao
aplicado na entrada. Nestas condições há o término da conversão e um sinal
de fim da conversão - EOC - é emitido.
A grande desvantagem deste método é a baixa velocidade. No pior caso
(entrada máxima) o contador tem que alcançar a contagem máxima antes que
a tensão em escada seja maior do que a entrada analógica. Para um conversor
de 8 bits isto significa 255 períodos de clock, enquanto que para um conversor
de 12 bits, o tempo de conversão é de 4095 períodos de clock.
Uma outra filosofia bem mais rápida é o chamado conversor flash. Este possui
2N-1 comparadores para determinar simultaneamente todos os N bits da
palavra digital de saída. Um conjunto de portas lógicas or-exclusive determina
a localização do comparador cuja entrada de referência mais se aproxima do
valor analógico de entrada.
Instrumentação Industrial - 36
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Outras técnicas existentes são o conversor contador prático, o conversor de
dupla inclinação, o de aproximações sucessivas, o que utiliza a conversão de
tensão para frequência e conversão de tensão para tempo, dentre outros.
A especificação básica de um conversor A/D passa por:
• Resolução
• Exatidão
• Linearidade diferencial
• Coeficientes de deriva
• Tempo de conversão
• Faixas de tensão de entrada
• Impedância de entrada
• Sinais de saída
• Estados de conversão
• Alimentação
Instrumentação Industrial - 37
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Sample-and-Hold
Alguns conversores analógico digitais exigem que a tensão analógica de
entrada permaneça constante durante todo o período de conversão. Como
muitas vezes os sinais que deseja-se medir varia no tempo, lança-se mão dos
circuitos sample-and-hold, S/H, (amostragem e retenção) para a execução
desta tarefa.
Existem amplificadores operacionais específicos para tanto, estes operam
como um típico op-amp no modo sample, mas no modo hold, a saída fica
idealmente constante, independentemente da entrada. Este valor constante é o
valor que estava na saída quando da mudança do modo sample para hold.
Esta mudança de modos se faz por uma entrada digital, 0 ou 1. A figura a
seguir mostra dois circuitos possíveis para a implementação do S/H e um
gráfico exemplificando como é feita esta operação.
Amostragem de sinais
A amostragem de sinais requer uma fina coordenação de um número de
elementos, principalmente quando deseja-se exatidão combinada com
velocidade. Neste aspecto, a velocidade de amostragem, ou taxa de
amostragem, possui algumas limitações. Seja, por exemplo, a amostragem de
uma onda senoidal com frequência f (Hz) e uma amplitude pico a pico de 2V0.
Esta onda é dada por:
)tf2sen(V)t(V 0 π=
A primeira derivada fornece a taxa de variação:
)tf2cos(Vf2dt/dV 0 ππ=
que possui um valor máximo 2πf V0. Se o conversor A/D possuir N bits de
resolução e uma taxa de amostragem T, para uma exatidão de conversão de
Instrumentação Industrial - 38
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
1/2 LSB tem-se que a entrada não deverá mudar de uma parte em 2N+1 = V0 2
-N
durante o tempo T:
T2
V
Vf2
N
0
0 <π ou 
T2
1
f
1Nmax π
= +
Estas equações fornecem importantes relações entre o tempo de conversão e
a máxima taxa de amostragem. Sejam os seguintes exemplos:
N=8, T=10µs → fmax = 62 Hz
N=8, T=50ns → fmax = 12 kHz
N=8, T=15ns → fmax = 41 kHz
Quando uma onda senoidal é amostrada seis vezes por ciclo, uma curva
passando por estes pontos fica próxima à curva original amostrada e a
frequência observada é igual à frequência verdadeira. Porém, quando a mesma
senóide é amostrada a uma frequência 6/5 da frequência verdadeira, uma
curva também poderá ser passada por estes pontos, porém, mesmo parecendo
uma senóide, possuirá uma frequência aparente cinco vezes menor do que a
original.
A frequência resultante f0 é uma função da frequência verdadeira f e da
frequência de amostragem fS. Para f/fS < 0,5, f0 = f. Quando f excede fS/2, a
frequência aparente f0 cai linearmente e chega a zero em f=fS, quando a onda é
amostrada exatamente uma vez por ciclo. Em geral, se a frequência de
amostragem é qualquer múltiplo da frequência verdadeira, a onda é amostrada
a uma mesma fase e a frequência aparente é zero.
É importante observar que se qualquer frequência acima de fS/2 que exista no
sinal amostrado irá aparecer nos dados amostrados comoondas de menor
frequência. Este fenômeno chamado aliasing é evitado somente quando a
maior frequência do sinal for amostrada ao menos duas vezes por ciclo. Este é
o teorema da amostragem de Nyquist.
Instrumentação Industrial - 39
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Em muitos casos utiliza-se filtros passa baixa com a função de mitigar os sinais
de frequências superiores à metade da frequência de amostragem, evitando
erros de cálculo na análise dos sinais obtidos. Estes filtros são comumente
denominados filtros anti-aliasing.
É muito comum adotar-se taxas de amostragem em potências de 2, como por
exemplo, 2, 4, 8, 16, 32, ... , 2n. Isto é feito, porque na maioria das vezes utiliza-
se a transformada rápida de Fourier para análise de dados, e que o número de
pontos dentro de um período seja uma potência de 2 é um pré-requisito para
viabilizar a sua aplicação.
Placas de aquisição de dados
Diversos fabricantes têm disponibilizado no mercado sistemas de aquisição de
dados de relativo baixo custo. Tais sistemas são placas de aquisição de dados
que são conectadas diretamente ao slots de computadores pessoais. Tais
placas podem conter conversores A/D, D/A ou ambos, e, em geral, seguem a
seguinte filosofia.
As principais características na especificação de uma placa de aquisição de
dados são:
Entradas analógicas
• Número de canais de entrada (monopolar/diferencial)
• Taxa máxima de amostragem
• Resolução (bits)
• Faixas de tensão de entrada
• Ganhos
Entradas analógicas
• Número de entradas analógicas
Instrumentação Industrial - 40
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
• Resolução
Instrumentação Industrial - 41
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Portas de I/O
• Número de canais de I/O digitais
• Contadores/temporizadores
Além destes considera-se ainda a existência de triggers analógicos e digitais,
gerenciamento de memória DMA, cabos e placa de conexão, softwares
compatíveis e drivers, dentre outros.
Instrumentação virtual
A instrumentação tradicional é auto-contida, tem capacidade de entrada e
saída de sinais e interface com o usuário fixa através de botões liga-desliga,
rotativos e outros. Dentro da caixa, um circuito especializado, podendo incluir
conversores A/D, condicionadores de sinais, microprocessadores, memórias e
um barramento interno que converte sinais do mundo real, analisa e apresenta
os resultados para o usuário. O fabricante define todas as funcionalidades do
instrumento - o usuário não pode mudar isso.
A instrumentação tem sempre elevado, largamente, o curso da tecnologia para
conduzir suas inovações. Componentes de rádio foram usados para abrir
caminho aos primeiros instrumentos eletrônicos. A tecnologia dos monitores de
televisão alavancou o uso em osciloscópios e analisadores. A tendência hoje é
que os computadores e notebooks sirvam como equipamentos para
instrumentação.
Instrumentos virtuais alavancam a arquitetura aberta do padrão da indústria de
computadores para fornecer o processamento, memória e capacidade de
exibição; enquanto que, mais baratas e de aplicação mais geral, as placas de
aquisição de dados, interface IEEE 488 (GPIB) e VXI, ligadas a um barramento
padrão fornecem as capacidades da instrumentação.
Controlando os computadores estão os programas que permitem que o usuário
desenvolva o seu sistema de medição de acordo com as suas necessidades.
Existem vários softwares no mercado para esta finalidade com recursos de
análise e visualização de dados. As figuras a seguir mostram algumas destas
potencialidades.
Instrumentação Industrial - 42
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
Instrumentação Industrial - 43
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni
A instrumentação virtual pode ser feita também combinando-se os recursos dos
computadores com instrumentos que permitem o seu controle através da
interface GPIB padrão IEEE 488 - instrumentos inteligentes. Desenvolvida na
década de 70, esta é uma interface paralela mundialmente padronizada para
sistemas de testes e medidas. O barramento possui 16 linhas onde oito (0 a 7)
são vias de dados e o restante indica o estado do sistema, que são:
DAV (data valid) - Apresenta um nível lógico 0 quando os dados são válidos.
NRFD (not ready for data) - Apresenta nível lógico 0 quando a unidade
receptora está preparada para receber dados.
NDAC (not data accepted) - Vai a nível lógico 0 quando a unidade receptora
terminou de receber dados.
ATN (attention) - É um sinal de controle geral usado para vários propósitos,
sendo principalmente para controlar o uso da linha de dados e especificar
os dispositivos emissor e receptor a serem usados.
IFC (interface clear) - O controlador usa esta linha de estado para colocar a
interface em estado de espera.
SRQ (service request) - É uma linha de interrupção que permite dispositivos de
alta prioridade, tais como alarmes, interrompa o tráfego corrente e tenha
acesso imediato ao barramento.
REN (remote enable) - Esta linha de estado é usada para especificar qual dos
conjuntos alternativos de programação dos dispositivos serão usados.
EOI (end of output ou identify) - Esta linha de estado é usada pelo emissor para
indicar que terminou a transmissão de dados.
As figuras a seguir apresentam a configuração e pinagem de um soquete
fêmea padrão GPIB e o fluxo de informações em um intercâmbio típico entre
um controlador e um instrumento inteligente.
Instrumentação Industrial - 44
Escola Federal de Engenharia de Itajubá - DON/IEE/EFEI - Prof. Bortoni